2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：多元最值問(wèn)題

第27講多元最值問(wèn)題

知識(shí)梳理

解決多元函數(shù)的最值問(wèn)題不僅涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識(shí)，還涉及到消元

法、三角代換法、齊次式等解題技能.

必考題型全歸納

題型一：消元法

例1.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知正實(shí)數(shù)無(wú)，y滿足lnx=ye*+lny,則的最大

值為.

【答案】

e

【解析】由lnx=ye'+lny得ln2=ye"所以土出土=沈"，貝[用?！?In2?匕叼,

xx

因?yàn)閤>0,e，>0,0骨、n，所以In—>0,

c；uy

令〃x)=xe，(x>0),則/(x)=eYx+l)>0,所以f(x)在(0,+向上單調(diào)遞增,

所以由北=ln；e叱，即“x)=(ln￡|,得x=lnj,所以、=]

所以尸尸=鼻_二=二，

eee

y—1O—y

令g(x)=^^(%>0)，貝Ijg'(幻=—^，

ee

令g<x)>0,得0<x<2；令g'(x)<0,得％〉2,

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(%)max=8(2)=4"，即y-e-x的最大值為

ee

故答案為：—.

e

例2.(2024?廣東梅州?高三五華縣水寨中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知實(shí)數(shù)W滿足：

Int

m-em=(n-l)ln(n-1)=t(t>0),則—---的最大值為___________.

m(n-V)

【答案】-

e

【解析】由已知得，m>0,n-l>0,ln(n-l)>0,

令〃%)=%](%>0),則f(x)=(x+l)ex>0,

\/⑴在(。,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)椤癳”=(n-1)In(n-l),

所以/(a)=/(ln(〃-1)),

\ntIm

m{n-\)t'

令g⑺>0),

所以g?)=7必，

則當(dāng)re(o,e)時(shí)，g(t)>0,g(f)單調(diào)遞增;當(dāng)re(e,+8)時(shí)，g'(t)<0,g⑺單調(diào)遞減;

所以g(r)max=g(e)=L

e

故答案為：-.

e

例3.(2024?天津和平?高三天津一中?？茧A段練習(xí))對(duì)任給實(shí)數(shù)x>y>0,不等式

X2-2/<cx(y-x)恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為.

【答案】272-4

【解析】因?yàn)閷?duì)任給實(shí)數(shù)無(wú)>丁>0，不等式%2-2/4cx(y-x)恒成立,

2

-2

所以c4

孫一爐x2

X

y

令一=，>1,則=/(%)，

yt-t2

t2-4t+20一2+&)?—2—0)

f'3=22

t-t2t-t2

當(dāng)f>2+立時(shí),函數(shù)")單調(diào)遞增；當(dāng)1<Y2+M時(shí),r(0<0,函數(shù)/⑺單調(diào)

遞減,

所以當(dāng)r=2+&時(shí)，/⑺取得最小值，”2+0）=2點(diǎn)-4,

所以實(shí)數(shù)c的最大值為20-4

故答案為：20-4

題型二：判別式法

例4.（2024?重慶渝中?高一重慶巴蜀中學(xué)校考期中）若x,yeR,4x2+y2+xy=l,則當(dāng)

X=時(shí)，工+）取得最大值，該最大值為

J15/X

【答案】

3030

[解析]令x+y=r,則y=/一%,

貝U4x2+y2+xy=4x2+(7—x)~+x(f—x)=4x?—tx+t2=1,

即4元2Tx+產(chǎn)一1=0,

4A<(<4岳

由△=?—16(產(chǎn)一1)20,解得:

1515

故x+y<-------，

15

_4厲

,解得:岳7V15

故＜x+y=zrx=-----y--------

3030

4x2+y2+xy=l

所以當(dāng)且僅當(dāng)尤=巫，、=巫時(shí)，等號(hào)成立,

3030

故答案為：巫，地1

3015

例5.（2024?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在ABC中，2cosA+3cos5=6cosC,貝1JcosC的最大值為

【答案】幽口

6

2

【解析】令cosA二%cos3=y,cosC=z,則2x+3y=6z,gpy=2z--x.

因?yàn)閏os?A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=l,

所以X2+12Z-：X]+z?=l-2x12z-gx]z,

整理得(藍(lán)-gz卜+14z2_|z卜+5z?-1=0,

-卜一豹-4(5z2-l)^-y^>0,

化簡(jiǎn)得(z+1)(2-1)卜2+y-^>0,

于是4z?+￥-號(hào)WO,得

396

所以cosC的最大值為反二1.

6

故答案為：巫匚.

6

例6.(2024?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)非零實(shí)數(shù)a,b滿足標(biāo)+廿二*若函數(shù)y=半!存在最大

值M和最小值m,則M-m=.

【答案】2

【解析】化簡(jiǎn)得至(Jy%2—6+y—6=0,根據(jù)A20和片+/=4得至!掾，解得

答案.0=?：；,貝！]/2—"+,一6=0,貝！JA=〃2一4y(y—Z?)〉O,

BP4y2-Ayb-a1<0,a2+b2=4,故4y?-4^Z?+Z?2-4<0,

[2y-(O+2)][2y-9-2)]<0,即一工”等，即加=/，加=等，

M—m=2.

故答案為：2.

變式1.(2024?江蘇?高三專題練習(xí))若正實(shí)數(shù)滿足(2孫-iy=(5y+2)(y-2),則了+[

的最大值為.

【答案】--1

2

【解析】令x+七=，，。>°),則(2孫-l)2=(2*-2)￡=(5y+2)(y-2),即

(4/2-5)y2+(8-8r)y+8=0,因此

A=(8—&7-32(4/-5)>0-2產(chǎn)+4—7M0,解得：0<?<-1+^,當(dāng)r=-l+攣時(shí),

22

4?—46\/2—835—24A/2m.］附目./土3y/2,

y=2=^>°，%=7=>0,因止匕%~的取大值為-----1

4』-517-12近12亞-162y2

故答案為：竽」

變式2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）選a,beR,2>0,若/+勸？=4,且a+匕的最大

值是石,貝（I彳=

【答案】4

a+b=dcc

【解析】令a+b=d,由Y+加=4消去。得：（/+加=4,即

(A+Y)b~—2db+d~—4=0,

而6eR,A>0,貝ijA=(24)2-4(4+Did?-4)20,42V4(2+1)

A.

-2產(chǎn)）々Z+l

~T~

依題意q答=&,解得a=4.

故答案為：4

題型三：基本不等式法

例7.設(shè)x、y、z是不全是0的實(shí)數(shù).則三元函數(shù)/（x,y,z）=/U的最大值是.

x+y+z

【答案噌

【解析】引入正參數(shù)限「1.

222

因?yàn)?入2+>2.2丸孫，juy+z..2juyz,所以,

2212N2、'2

孫"萬(wàn)苫+方、,薛，v+市

29^+2217

兩式相加得孫+yz,,—x+V+——Z

2〃

人41〃1/口L1

令萬(wàn)=五+，=而，侍彳=忘，〃=&

故孫+W,x2+y2+z2).

因此，〃x,y,z）=x2；y2；z2的最大值為岑

例8.（2024?天津和平?高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)陽(yáng)〉滿足2/+盯-9=1,則

x—2y

的最大值為

5x2-2xy+2y2

【答案】正

4

【解析】由2/+孫一/=1,得(2x-y)(x+y)=l,

設(shè)2x—y=/,兀+y=—,其中，wO.

11211

則x=-t-\——,y=-------1從而x—2y="5%2—2xy+2y2=/H——,

33t3t3

、1_x-2yu

記"二'一7’則5V+2/=/^，

不妨設(shè)〃>0,則224,

M+—2Jwx—

\u

當(dāng)且僅當(dāng)"=2,即"=五時(shí)取等號(hào)，即最大值為巫.

u4

故答案為：叵.

4

nn+nc

例9.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a,b,c,則一；,的最大值為_________

GeZI及2IY

【答案】逅

4

ab+bc

【解析】2a2+b2+c2（當(dāng)且僅

當(dāng)缶=旦，%=

33

ab+bc的最大值為手

'2/+/+。2

故答案為：手

題型四：輔助角公式法

例10.（2024.江蘇蘇州.高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)角a、夕均為銳角，則

sina+sin月+cos(a+萬(wàn))的范圍是

【答案】

【解析】因?yàn)榻?。、夕均為銳角，所以5皿。,以）5%5皿尸,35月的范圍均為（0,1）,

所以sin(°+/?)=sinacosp+cosasin/<sina+sin4,

所以sina+sin/?+cos(a+〃)>sin(a+/)+cos(a+尸)=V^sin1a+,+巳

因?yàn)镺va〈工,0＜尸＜烏，乙＜1+,+二＜生,

22444

收1

所以夜sin|a+尸+：）＞0x----=1,

2

sina+sin/?+cos(a+/?)=sina+sin￡+cosacos4一sinasin0

=(l-sin/?)sina+cosacos尸+sin°<J(l-sin砰+cos2〃+sin/?

=^2(l-sin+sin/?,

當(dāng)且僅當(dāng)。一sin0cosa=sinacos〃時(shí)取等，

令Ql-sin0=t,/￡(0,1),sin尸=1一〃，

/r-*\2

所以=j2(l-sin月)+sin/="+l—產(chǎn)=」

I2J22

則sina+sin力+cos(a+0的范圍是：[ig.

故答案為：[1]

例11.y=cos(a+/?)+cosa-cos#一1的取值范圍是

【答案】[T-]

2

[解析】y=cosacos分一sinasin0+cosa-cosf3-\

=(cos/?+l)cosa—(sinp)sina—(cos/?+l)

=J(cos尸+1)?+sin2/3sin(6Z+夕)一(cos6+1)

=42+2cosPsin(cr+°)-(cosJ3+1)

因?yàn)閟in(a+o)￡[-1,1]，

所以-,2+2cos[3-(cos0+1)效*,2+2cos°-(cos/+1),

令,=也+cos0,貝1J/￡[0,5/2],

貝！J—/效/，

-4,（當(dāng)且僅當(dāng)％=0即cos/=1時(shí)取等）;

（當(dāng)且僅當(dāng)r=￥即cos￡=-g時(shí)取等）.

故y的取值范圍為［-4,，.

題型五：柯西不等式法

例12.（2024.廣西欽州.高二統(tǒng)考期末）己知實(shí)數(shù)對(duì),b^R,（i=l,2…，心,且滿足

a；+a；++%=1,廳+b；++b：=1,貝!|%伉+的4++。也最大值為（）

A.1B.2C.n也D.2\[n

【答案】A

【解析】根據(jù)柯西不等式，(a；+城+L+a；)(6；+6；+L+b^>(a^+a2b2+L+anbn),故

axbx+a2b2++anbn<l,又當(dāng)q=々=%=%=…=凡=2=；時(shí)等號(hào)成立，故

7rl

砧+a2b2++anbn最大值為1

故選：A

例13.(2024?陜西渭南?高二?？茧A段練習(xí))已知x,y,z是正實(shí)數(shù)，且無(wú)+y+z=5,則

x2+2y2+z2的最小值為.

【答案】10

【解析】由柯西不等式可得(-+2y2+z2)/+(9)+FN(x+y+z)2,

2

所以g(d+2y2+z?”25,即/+2y2+z>10,

x6yz

當(dāng)且僅當(dāng)7—1-7即x=2y=z也即尤=2,y=l,z=2時(shí)取得等號(hào)，

正

故答案為：10

例14.(2024.江蘇淮安?高二校聯(lián)考期中)已知Y+y2+z2=l,。+36+人=16，則

(x-a)2+(y-￡>)2+(z-c)2的最小值為.

【答案】9

[解析]Va+3b+屈c(diǎn)=16</+32+(6)2yja1+b2+c~=47?2+b2+c2

______abc

???>4,當(dāng)且僅當(dāng),=§=能時(shí)等號(hào)成立,即。=11=3,。=述，

V(%—?)2+(y—Z?)2+(z—<?)2=1-2(w+勿+cz)+〃+Z72+c2

>1-2dx2+/+z「+〃+。'+q2+=]_2y]a2+b2+c2+tz2+Z72+c2

abc

=Z"+/+。2-1)>9當(dāng)且僅當(dāng)一=—=一時(shí)等號(hào)成立，Wx=-,y=-,z=^

xyz4'44

故答案為：9

變式3.(2024?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知次、,、z-,且s=而i+萬(wàn)兩+石T3,

/=Jx+l+"y+l+Jz+1,則一一』的最小值為.

A.3A/5B.4AA0

C.36D.45

【答案】C

【解析】由s+3=(Jx+2+Jx+1)+(Jy+5+Jy+1)+(Jz+10+Jz+1),

149

s—t-—--_|—._|—_

A/無(wú)+1+Jx+2Jy+1+Jy+5Jz+1+Jz+10

知52-2=(S+"(ST)N(1+2+3)2=36.

當(dāng)Jx+1+Jx+2=;“y+l+Jy+5)=§(jz+l+Jz+10)時(shí),取得最小值36.

故答案為C

變式4.(2024?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)a、b、c、d為實(shí)數(shù)，且片+62+°2一屋+4=0.則

3a+26+C—4同的最大值等于.

A.&B.0C.-72D.一2忘

【答案】D

【解析】由題意得/+/+。2+22=1,所以

42d2^(a2+b2+c2+22)32+22+12+(72)22(3a+2b+c+2忘了(利用柯西不等式).

從而，41d以3a+2b+c+2&|>3a+2b+c+2y/2.

故3O+26+C-4|MV-20.

當(dāng)且僅當(dāng)a=3>/2，b=2-\/2，c=>/2,d=±4-\/2時(shí)，等號(hào)成立.

題型六：權(quán)方和不等式法

例15.(2024?甘肅.高三校聯(lián)考)已知%>0,y>0,且;;----+7=1,則x+2y的最小值為

2x+yy+1

【答案】A/3+-

【解析】設(shè)x+2y=4(2x+y)+%(y+l)+f,

133

可解得4=5,4=T，=—5，

,133

從而x+2y=—(2x+y)+—(^+1)--

；11

=(2x+y)+|(y+l)----+----..A/3+-,

2x+yy+122

當(dāng)且僅當(dāng)T+f“事時(shí)取等號(hào).

故答案為：A/3+—.

7i

例16.已知實(shí)數(shù)滿足尤>y>0且尤+y=1,則一二——I--------的最小值是

尤+3yx-y

3+2也

【答案】

-2-

21(&+1)3+20

【解析】----1----N------=-----

x+3yx-y2x+2y2

當(dāng)"1r工時(shí)，.夜=：應(yīng)取等號(hào)-

2h2

例17.已知〃>1)>1,則+―的最小值是

b-1a-1

【答案】8

a2b2(“+6)2_(f+2『4

【解析】a-\-b—2=t>0j=t+-+4>8.

h—1ci—1a+b—2tt

a+b—2=2

當(dāng)〃_匕時(shí)，即Q=2力=2,兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立.

、Z7-1a-1

變式5.己知x,y>0/+還=1,則乒了的最小值是

【答案】30

333

【解析】1」+迪=P22(1+2尸36

---r+—>—

%y

優(yōu)F92(尤z+yz2

12

x2y2

即當(dāng)二時(shí),即x=3,y=3&，有收+J?的最小值為3乖>.

12V2?

—+------=1

%y

題型七：拉格朗日乘數(shù)法

例18.元>0,y>0，孫+x+y=17,求兀+2丁+3的最小值.

【解析】令F(x,y,A)=x+2y+3-2(xy+尤+y-17)

rf

Fx=1-Ay-A=0,Fy=2-Ax-A=0,F/=-(xy+x+y)+17=0,

聯(lián)立解得尤=5,y=29X=故x+2y+3最小為12.

例19.設(shè)為實(shí)數(shù)，若4爐+/+孫=i,則2x+y的最大值是

【答案】—

5

【解析1令￡=2%+>+4(4尤2+丁+盯_]),

4=2+82%—32y=0x=±--

10

由v&=,解得<

1+2Xy—34%=0工員

22

LA=4x+y+xy-l=0y=±-r-

附曰4古曰c而M2而

所以2x+y的取大值是---1——=---.

題型八：三角換元法

例20.(2024?山西晉中?高三祁縣中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=-3工3一3工+3-'-3'+3,

若/(3。2)+/(/_1)=6,則6/1+廿的最大值是

【答案】昱

3

【解析】設(shè)g(x)=f(x)?3,所以g(x)=一3/_3%+3一、一3尤,

所以g(-%)=—3(—x)3+3x+3"-3",g(―x)+g(x)=0,

所以g(-x)=-g(x),所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，

由題得，(%)=-9/一3-3-"In3-3、In3<0,

所以函數(shù)g(x)是減函數(shù)，

因?yàn)?(3/)+/e2_1)=6,

所以/(3叫一3+/僅2_1)_3=0,

所以g(3Y)+g,2-1)=0,

所以g(3/)=g(l,2),所以3a2=I_62,..3/+〃=1,設(shè)a=#cosa6=sin。，

不妨設(shè)cos。>0,

所以ajl+b，=y-cosOjl+sin?。=f/(l+sii?⑶芯6=/Jq+sir？0)(1-sir?ff)

=。一釜,所以的最大值為

故答案為走

3

例21.(2024?浙江溫州?高一校聯(lián)考競(jìng)賽)2x2+xy+y2^l,貝U+孫+2丁的最小值為

【答案】一

2cos0cos0

【解析】根據(jù)條件等式可設(shè)x=q^，y=sin。-,，代入所求式子，利用二倍角公式

和輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出最值.2x2+xy+y2=1,則

7/r2

—+—+xy+/=l,即

44

、「JlxXE2cos8?八cos6

設(shè)^—=cos6,]+y=sin6,則冗=幣,y=sin8---j=-

生智。-cos?

X2+xy+2y2=-sin+2sin^-

w

4cos202sin。cos。

+2sin26>

7

4「1+cos2。sin20

+1-cos20

7<2)47

_159

sin20——cos28+—

一一正77

=4fsin（26+0）+[,其中夕是輔助角，且tane=\^

當(dāng)sin（28+9）=-l時(shí)，原式取得最小值為-41+9.

故答案為：T-+9

7

題型九：構(gòu)造齊次式

2xy孫

例22.（2024?江蘇?高一專題練習(xí)）已知%>0,?>0,則x2+8/+x2+2y亍的最大值是

【答案】I

3(2

2xy3x)+12孫3

【解析】由題意,yx

x2,+8y2/+2y?x4+10x2y2+I6J74-^-^216(

+10

yX

2

+)4人)+

土十”

y%yx

y%

^t=-+~,則］=土+曳22/=生=4,當(dāng)且僅當(dāng)土=生，即x=2y取等號(hào),

yxyx\yxyx

2

又由〉=/+*在［4,+8）上單調(diào)遞增，

t

2929

所以y=/+±的最小值為《，BP/+->J,

t2t2

----------------<-----=—

所以（2+竺）+：,+23，

yx￡4yt

yx

所以意力二手的最大值是g.

故答案為：g.

例23.（2024?河南?高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)〃,6>。，若。+?=1,則

3a1,,,、

丁+二的A最E3小值為（）

bab

A.12B.2石C.6用D.8

【答案】A

【解析】由、+乙，a+2b=l,a,b>0,

bab

所以即+_1=衛(wèi)+("+2”

babbab

3aa2+4ab+4Z?2

=——+-------------

bab

3aa.4b

=——+—+4+——

bba

4。4b八c4a4b..

——+——+4>2'---------+4=8o+4=1i2n

baba

當(dāng)且僅當(dāng)4芋/7=4竺h=。=6=I:時(shí)，取等號(hào),

ba3

所以1"^—^的最小值為：12,

bab

故選：A.

例24.(2024?天津南開?高三統(tǒng)考期中)已知正實(shí)數(shù)〃，b,。滿足2向+9/-°=0,則

—的最大值為.

c

【答案】J/0.25

4

【解析】a2-2ab+9b2-c=0,^c=a2-2ab+9b2,

)?正實(shí)數(shù)。，b,c

ab_ab_1

22

貝U~-a-2ab+9b-￡+%_2

ba

則4+也2

ba

a9b

當(dāng)且僅當(dāng)7=—，且〃，b>0,即〃=3b時(shí)，等號(hào)成立

ba

a9b-/八

—+-----2>4>0

ba

-------------<—

則〃9b4

—i......-z

ba

所以，藝的最大值為，

c4

故答案為：—■

4

題型十：數(shù)形結(jié)合法

例25.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)〃制=卜2(a,beR)在區(qū)間［0,c］

(c>0)上的最大值為則當(dāng)M取最小值2時(shí)，a+b+c=

【答案】2

【解析】解法一：因?yàn)楹瘮?shù)y=Y+ax+6是二次函數(shù),

所以/⑺二9+雙+4(a,beR)在區(qū)間［0,c］(c>0)上的最大值是在［0,c］的端點(diǎn)取

到或者在x=-|處取得.

若在x=0取得，則6=±2；若在取得，則匕-(=2；

若在尤=c取得，貝U|c~+。。+闿=2；

進(jìn)一步，若6=2,則頂點(diǎn)處的函數(shù)值不為2,應(yīng)為0,符合題意；

若匕=-2,則頂點(diǎn)處的函數(shù)值的絕對(duì)值大于2,不合題意；

2

由止匕推斷b=幺，即有6=2,a+c=0,

4

于是有a+b+c-2.

解法二：設(shè)g(x)=%2,h(x)=-ax-b,則〃x)=|g(x)-〃(x)|.

首先作出g(無(wú))=d在xe［0,c］時(shí)的圖象，顯然經(jīng)過(guò)(0,0)和卜,的直線為4(力=5

該曲線在［0,c］上單調(diào)遞增；

其次在g(x)=f圖象上找出一條和九(x)=cx平行的切線，

不妨設(shè)切點(diǎn)為(玉,%)，于是求導(dǎo)得到數(shù)量關(guān)系2%=c.

結(jié)合點(diǎn)斜式知該切線方程為飽(x)=ex-。.

因止匕=即得c=4.此時(shí)〃(x)=cx—號(hào)，

gp/z(x)=4x-2,那么a=-4,b=2.從而有a+Z?+c=2.

xlnx,x>0

例26.(2024?江蘇揚(yáng)州?高三階段練習(xí))已知函數(shù)〃%)=2x+4e,x40'右再且

f(Xl)=f(X2)則后-％|的最大值為()

A.2e—B.2e+lC.\/5eD.—e

e2

【答案】D

【解析】當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=xlnx,

求導(dǎo)/'(x)=lnx+l,令八尤)=0,得尤=’

e

當(dāng)時(shí),r(x)<0,“X)單調(diào)遞減；當(dāng)xe%+8)時(shí),/^x)>0,〃尤)單調(diào)遞

增；

作分段函數(shù)圖象如下所示:

設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為不，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)y=/（尤）于另一點(diǎn)3,設(shè)點(diǎn)3的橫坐標(biāo)

為巧，并過(guò)點(diǎn)8作直線y=2x+4e的平行線/,設(shè)點(diǎn)A到直線/的距離為d,

由圖形可知，當(dāng)直線/與曲線y=相切時(shí)，d取最大值，

令廣⑺=lnx+l=2,得工=6,切點(diǎn)坐標(biāo)為（e,e）,

此時(shí)，辰,

故選：D

xInxx〉0

例27.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=/,若x產(chǎn)甚且

IX\1,X_U

則上-引的最大值為（）

A.20B.2C.72D.1

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，過(guò)點(diǎn)A作＞軸的垂線交函數(shù)y=/（x）于另一點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)B

的橫坐標(biāo)為了2,并過(guò)點(diǎn)3作直線y=*+i的平行線/,設(shè)點(diǎn)A到直線/的距離為d,計(jì)算出直

線/的傾斜角為?，可得出人-%|=國(guó)，于是當(dāng)直線/與曲線y=xlnx相切時(shí)，d取最大

值，從而上一百取到最大值.當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=xlnx,

求導(dǎo)/'(x)=lnx+l,令/'(x)=0,得尤=:

當(dāng)xe(0,1時(shí)，尸(力<0,單調(diào)遞減;當(dāng)xe時(shí)，制x)>0,單調(diào)遞

增；

如下圖所示：

設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為玉，過(guò)點(diǎn)A作丫軸的垂線交函數(shù)>=/(尤)于另一點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)3的橫坐標(biāo)

為巧，并過(guò)點(diǎn)3作直線>=*+1的平行線/，設(shè)點(diǎn)A到直線/的距離為d,歸-司=國(guó)，

由圖形可知，當(dāng)直線，與曲線V=xlnx相切時(shí)，d取最大值，

令/'(x)=lnx+l=l,得x=l,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

止匕時(shí)，d—『——,「.卜]—91x=xJ2=2,

1n1max

故選：B.

JQ0<X<]

變式6.(2024?江蘇?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=’若存在實(shí)數(shù)小巧

滿足04E〈入242,且/(%)=/(工2)，則尤2-玉的最大值為()

ee

A.—B.—1C.1—In2D.2—In4

22

【答案】B

x,O<x<l,

【解析】〃x）=的圖象如下

ln（2x）,l<x<2

存在實(shí)數(shù)4，巧滿足。<玉<X2<2,且〃％）=〃工2），即石=ln（2w）

x2e^1,^-,則/Tn。%）

令g（x）=%—ln（2x）,,貝必，（力=^>

g（x）在“微上單調(diào)遞增,故gGL”=g[j=]T

故選：B

題型十一：向量法

例28.（2024?江蘇南通?高一海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友

的一封信中曾提出一個(gè)關(guān)于三角形的有趣問(wèn)題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點(diǎn)，使它到三

角形每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，現(xiàn)已證明：在，ABC中，若三個(gè)內(nèi)角均小于120。，則當(dāng)點(diǎn)

P滿足？APB2Ape?BPC120?時(shí)，點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)尸被

人們稱為費(fèi)馬點(diǎn).根據(jù)以上知識(shí)，已知。為平面內(nèi)任意一個(gè)向量，b和c是平面內(nèi)兩個(gè)互

相垂直的向量，且|=2,|c|=3,則I。-b|++6|+-c|的最小值是

【答案】3+26

【解析】以）為x軸，c為y軸，建立直角坐標(biāo)系如下圖，設(shè)a=（尤,y）

則b=(2,0),c=(0,3),

22

|a-c|=J尤2+(y—3)2,卜-q=J(x_2『+y2,卜+6卜^(x+2)+y,

.?.卜一4+,一N+|a+H即為平面內(nèi)一點(diǎn)(x,y)至1］(0,3),(2,0),(-2,0)三點(diǎn)的距離之和，

由費(fèi)馬點(diǎn)知：當(dāng)點(diǎn)P(尤,y)與三頂點(diǎn)A(0,3),3(-2,0),C(2,0)構(gòu)成的三角形ABC為費(fèi)馬點(diǎn)

時(shí),一d+,一q+卜最小，

將三角形ABC放在坐標(biāo)系中如下圖：

現(xiàn)在先證明ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。：

\AB\=\BC\=A/22+32=V13,|BC|=4,cosNBAC」"同=￡>0，

|AB|2+|BC2-ACl21

cosZABC=cosZACB=J_L_J----------L=>0,

2\AB\.BC岳

：.ABC為銳角三角形，滿足產(chǎn)生費(fèi)馬點(diǎn)的條件，又因?yàn)橐籄BC是等腰三角形，

點(diǎn)P必定在底邊8C的對(duì)稱軸上，即y軸上，ZBPC=nO°,:.APCB=3Qi,

|PO|=|OC|.tanZPCB=2x,即尸［誓］,

現(xiàn)在驗(yàn)證/BPA=120°：

cosZBPA=lgPl~AB\=-1,...ZBPA=nQ）,同理可證得/CPA=120°,

2\BP\.AP2

即此時(shí)點(diǎn)竽）是費(fèi)馬點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)4B,C的距離之和為

|BP|+|CP|+|AP|=2x-^=+3—=3+2-\/3,即卜一4+卜一+,的最小值為

3+2〃；

故答案為：3+2^3.

例29.（2024?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末）已知平面向量”，b，c滿足忖=1，慟=2,

\a^=a-b,c.（c-j）=0,則Ic-af+ic->『的最小值為.

【答案】—~^3

【解析】令OA=a，OB=b，OC=C，。8中點(diǎn)為。，OO中點(diǎn)為尸，E為AB的中點(diǎn),

由|〃|二1,\b\=2,\af=a-b,得l=lx2xcos<a,Z?>,

則cos<>=—，<a,b>=600即ZAOB=：60。，所以

2

卜+『一2x2xlx；=G所以

AB=7OA2+OB2-2,OAOBcosZAOB=1

AO-+AB-=OB-,即NQ4B=90°,ZA130=30。，所以

回《回二鼻旦也="因寸

EF=VSF2+BE2-2BF-BEcosZABO=

yUJ（2J2222

c-(c-1)=0,所以"]℃—0"=0即OC（OC_Q0）=O,所以O(shè)CDC=0,

所以點(diǎn)c的軌跡為以0。為直徑的圓，

2(|c-a|2+|C-M2)=2(|G4|2+ICBI2)

=4|CE|2+\AB\2=4\CE\2+(可

=4|CE|2+3..4(1EFl--)2+3=7-,

當(dāng)且僅當(dāng)C、E、E共線且C在線段跖之間時(shí)取等號(hào).

Ic-a|2+|c-i>|2的最小值為彳—6.

2

例30.(2024?湖北武漢.高一湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末)已知向量a,b滿足

(a+b”=0,卜+4可=4,則k+可+忖的