2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：復(fù)數(shù)

第39講復(fù)數(shù)

知識梳理

知識點一、復(fù)數(shù)的概念

(1)i叫虛數(shù)單位，滿足『=-1,當(dāng)一eZ時，*=1,產(chǎn)產(chǎn)短=一1,嚴+3=—「

(2)形如a+〃(a,6eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作〃+友eC.

①復(fù)數(shù)z=o+砥a,beR)與復(fù)平面上的點Z(a,6)---對應(yīng)，a叫z的實部，b叫z的虛

部；》=0。2€氏2點組成實軸；6w0,z叫虛數(shù)；b/0且a=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對

應(yīng)點組成虛軸(不包括原點).兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共輾復(fù)數(shù).

②兩個復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d￡R)相等o(，(兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點)

\b=d

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)a+初3,6cH)的模，也就是向量無的模，即有向線段反'的長

度，其計算公式為IZ1=1a+從1=&+必,顯然，日=|a-M=+戶,Z.』=a2+/.

知識點二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運算法則

1、復(fù)數(shù)運算

(1)(a+沅)±(c+di)=(a±c)+(I±d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)?(a-bi)=z=a2+b2=\z|2

v(注意Z?=|z『)

z+z=2a

其中|z|=力2+方,叫z的模；W=4-4是z=a+沅的共朝復(fù)數(shù)(a*eR).

a+bi(a+bi)■(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

(3)(C2+472^O)

c+di(c+di)■(c—di)c2+d'

實數(shù)的全部運算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)幕運算法則)

都適用于復(fù)數(shù).

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)4/2分別對應(yīng)的向量西，亞為鄰邊作平行四邊形OZZZ,對角線QZ表示的

向量無"就是復(fù)數(shù)4+Z?所對應(yīng)的向量.Z]-Z2對應(yīng)的向量是Z?Z].

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)對應(yīng)平面內(nèi)的點z(a,b)；

(2)復(fù)數(shù)z=a+陽對應(yīng)平面向量無；

(3)復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都

表示復(fù)數(shù).

(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6eR)的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點z(a,b)到原點的距離.

3、復(fù)數(shù)的三角形式

(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=a+bz?都可以表示成r(cos6+isine)形式，其中??是復(fù)數(shù)z的

模；。是以x軸的非負半軸為始邊，向量成所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)

z=a+6i的輻角.r(cosO+isin。)叫做復(fù)數(shù)2=。+次的三角表示式，簡稱三角形式.

(2)輻角的主值

任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2萬的整數(shù)倍.規(guī)定在

04范圍內(nèi)的輻角6的值為輻角的主值.通常記作argz,即0<argz<2;r.復(fù)數(shù)的代

數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.

(3)三角形式下的兩個復(fù)數(shù)相等

兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.

(4)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算

①兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即

rx(cos0x+isinr2(cos02+isin02)=rg[cos(q+01)+isin(q+%)]

②復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義

復(fù)數(shù)4/2對應(yīng)的向量為鬲，區(qū)，把向量西繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角％(如果

%<。，就要把西繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)角冏|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼鸟R倍，得到向

量OZ,OZ表示的復(fù)數(shù)就是積Z[Z2.

(5)復(fù)數(shù)三角形式的除法運算

兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的

輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即'i(cosa+isinq)=二[8$(4_d)+7511?_62)]-

L

^(cos^2+zsin^2)r2

必考題型全歸納

題型一：復(fù)數(shù)的概念

例1.(2024?河南安陽?統(tǒng)考三模)已知(l+2i)(a+i)的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)。

A.—B.—C.gD

332-4

【答案】A

【解析】由于(l+2i)(a+i)=a—2+(l+2a)i,

(l+2i)(a+i)的實部與虛部互為相反數(shù)，故a-2+(l+2“)=0,;.a=g,

故選：A

例2.(2024?浙江紹興?統(tǒng)考二模)己知復(fù)數(shù)z滿足z(若-i)=2i,其中i為虛數(shù)單位，貝心

的虛部為（）

A.BB.烏C.--D.一也

2222

【答案】A

/l\2i2i（石+i）-2+2月i16

【解析】因為z抬-i=2i,=r\lr\=-4=一不+一

''V3-i（A/3-i）（V3+i）422

所以Z的虛部為也.

2

故選：A.

例3.(2024.海南海口?校聯(lián)考一模)若復(fù)數(shù)z="-4+(a-2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為

()

A.2B.2或-2C.-2D.-4

【答案】C

,,.a2—4=0

【解析】因為復(fù)數(shù)z=〃-4+(a-2)i為純虛數(shù)，貝IJ有解得a=-2,

a-2片0

所以實數(shù)。的值為-2.

故選：C

例4.(多選題)(2024?河南安陽?安陽一中?？寄M預(yù)測)若復(fù)數(shù)z=*，則()

A.|z|=V17B.z的實部與虛部之差為3

C.z=4+iD.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限

【答案】ACD

【解析】?一言(3-⑴(l+i)ji

0T(i+i)一

；.z的實部與虛部分別為4,-1,

22

|Z|=^4+(-1)=^7,A正確；

z的實部與虛部之差為5,B錯誤;

z=4+i,C正確；

z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(4,-1),位于第四象限，D正確.

故選：ACD.

例5.(2024?遼寧?校聯(lián)考一模)若z是純虛數(shù)，|z|=l,則六的實部為.

【答案】1

【解析】Z是純虛數(shù)，且忖=1,則有Z=±i,故4=1土i,實部為1.

故答案為：1.

【解題方法總結(jié)】

無論是復(fù)數(shù)模、共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運算都要認清復(fù)數(shù)包括實部和虛部兩部

分，所以在解決復(fù)數(shù)有關(guān)問題時要將復(fù)數(shù)的實部和虛部都認識清楚.

題型二：復(fù)數(shù)的運算

例6.(2024.黑龍江哈爾濱?哈師大附中統(tǒng)考三模)己知復(fù)數(shù)2=魯，則忖-2=()

1—1

A.1+iB.1C.1-iD.i

【答案】A

【解析】依題意，z==J=i,則|z|=lE=-i,

,(l-+i[)(Rl+i)2

所以|z|-z=l+i.

故選：A

例7.(2024?河北衡水?模擬預(yù)測)若(i—l)(z—2i)=2+i,貝此=()

【答案】B

■々刀4"匚Y小口/rr/曰2+i(2+i)(l+i)1+3i..1i

【角牛析】由已矢口得z=---------1-21=----------------+21=----------1-21=-----1—，

1-i2222

>■7~11.

故選：B.

例8.(2024?陜西榆林?高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知復(fù)數(shù)Z滿足(z-2i)i=3+i,則2=

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

【答案】A

【解析】因為(z—2i)i=3+i,

所以z=2±l+2i=(3+i)(-i)

+2i=l-3i+2i=l-i.

1i(-i)

故選：A.

例9.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足3z+i=l-4iz,則|z|=()

A.2B.C.正D.-

2555

【答案】C

【解析】解法一：由32+1=1-短得2=鼠==所以|z|=*,故選C.

解法二：由3z+i=l—4iz得(3+4i)z=l-i,所以5|z|=&,即|z|=^,

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

zr=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),則

(1)zx±z2=a±c+(b±d)i

(2)zx-z2=ac—bd+{ad+bc)i

/_、z,ac+bdbe-ad.八、

⑶VE+E"z)

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

例10.(2024?河南鄭州.三模)復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)上3對應(yīng)的點位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

3-i3-i3-i（3-i）（l+i）

【解析】由題得=2+i,即復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（2,1）,

1+i2023-1+i31（fQ+i）

在第一象限.

故選：A.

例11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)Z］與z=3+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對

稱，貝|」白=（）

2+1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】因為復(fù)數(shù)Z與z=3+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，所以z=3-i,

3-i（3-i）（2-i）5-5i

所以1712+i-（2+i）（2-i）=l-i

5

故選：B.

例12.（2024?湖北?校聯(lián)考三模）如圖，正方形0ABe中，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+5i,則頂

C.-l+7iD.-2+7i

【答案】A

【解析】由題意得：礪=（3,5）,不妨設(shè)C點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為〃+歷（可0肉0）,則反=.⑼,

22CL——5

由方，聞阿=困，得a+b=32+52―

3a+5b=0b=3

即。點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5+3i,

由礪=函+玄得：B點對應(yīng)復(fù)數(shù)為（3+5i）+（—5+3i）=-2+8i.

故選：A.

例13.（2024?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)，40對應(yīng)的點分別為

Z|(0,2),Z2(l,-1),則，

B.73C.V2

【答案】C

z2i

【解析】由題意，知Z=2i,z2=l-i,所吧=±=-1+1,所以”也.

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實質(zhì)是復(fù)平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐

標、縱坐標，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點.

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共物復(fù)數(shù)

例14.（2024?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知2-i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程

f+"+C=0（"0￡R）的一個根，貝!J6+c=（）

A.9B.1C.-7D.2i-5

【答案】B

【解析】已知2-i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于X的方程％2+樂+。=0（。,。￡11）的一個根，

則（2—i）+/?（2—i）+C=0,BP4-4i-l+2Z?-Z?i+c=0,即1，

\b=-4

解得《‘，故"c=L

[c=5

故選：B.

例15.(2024?貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知Z]=a+2i,Z2=2+M,(?,&eR),若

+z1)+(z2z2)i=4+13i,貝|()

A.a=2,Z?=3B.a=—2,b=—3

C.a=2,b=±3D.a=-2,b=±3

【答案】C

222

【解析】由已知可得，4+Z]=a+2i+a-2i=2。，z2z2=2+Z?=b+4,

所以（Zi+z1）+（z2^）i=++4^i=4+13i,

2〃=4a=2a=2

所以有%4=13'解得b=3或

b=—3.

故選：C.

例16.（2024?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z=3+4i,且z+a）=9-4i，其中a是實數(shù),

則（）

A.a=-2B.。=2C.a=lD.a=3

【答案】B

【解析】因為z=3+4i,所以彳=3—4i,

所以3+4i+3a-4ai=3+3a+（4-4a）i=9-4i,

所以3+3a=9,4—4a=—4,解得a=2.

故選:B.

例17.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+4i,貝心的共輾復(fù)數(shù)的虛部為

（）

A.2B.-AC.4D.-2

【答案】B

【解析】設(shè)2=々+/,（a,6cR）,則|z|=揚+/,

則z+|z|=2+4i,即a+Jq2+加+歷=2+4i，

::產(chǎn)母解得a=-3

所以

b=4

所以z=-3+4i,N=—3-4i,

所以z的共輾復(fù)數(shù)的虛部為T.

故選：B.

例18.（2024?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z=3+4i,S.z+az+bi=9,其中。，b是實

數(shù)，貝U（）

A.a=—2,b=3B.a=2,b=4

C.a=1,Z?=2D.a=2,b=-4

【答案】B

【解析】因為z=3+4i,所以z=3-4i，貝I由z+“z+Z?i=9得:

3+4i+a(3-4i)+歷=9,即(3+3a)+(4+&-4a)i=9,

[4+b-4a=0a=2

故13+34=9解得:

b=4

故選：B.

【解題方法總結(jié)】

復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dia-c^b-d(a,b,c,d^R)

共朝復(fù)數(shù)：a+bi=c+dioa=c且Z?=—d(a,b,c,dGR).

題型五：復(fù)數(shù)的模

例19.(2024?河南?統(tǒng)考二模)若(i+l)(z-l)=2,則|彳+1|=

【答案】M

【解析】由(i+l)(z—l)=2可得z=3+l=^^+l=2-i,

1+12

故1=2+i，貝!1|彳+l|=|3+i|=J32+12=弧,

故答案為：V10

例20.(2024?上海浦東新?統(tǒng)考三模)已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=|z|=2,則z3=.

【答案】-8

【解析】設(shè)2=。+歷，則z-2=a-2+歷，

a2+b2=4

所以■{‘、22'解得。=1力=±括，

"2)+62=4

當(dāng)a=l,b=6時，z=l+舊i,故z?=(l+曲『=l+2"+3i2=-2+2?,

z3=(-2+2/)(1+曲)=-2+6i2=-8；

當(dāng)a=l,b=一括時，z=l-6i，^z2=(1-V3i)2=l-2V3i+3i2=-2-2A/31,

z3=(-2-2后)(1-同=-2+6i2=-8

故答案為：-8

例21.(2024?遼寧鐵嶺校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)復(fù)數(shù)句，Z?滿足㈤=邑|=2,Z1+z2=V3+i,則

IZ1-z21=.

【答案】2百

【解析】方法一：設(shè)馬=〃+初,(〃￡凡/?￡氏)，z2=c+di,(c^R,dG/?),

Z]+Z2=a+c+(b+d)i=V3+i,

I「,又區(qū)|二區(qū)|=2,所以〃2+人2=4,c2+d2=4f

[b+d=l

「.(a+c)2+(b+d)2—a?+c?_|_片_|_d2+2(ac+bd)—4

:.ac+bd=—2

22

/.\zx—z2\=\(a—c)+(b—d)i\_^(tz—c)+(b—d)—^8—2(ac+bd^

=78+4=2A/3.

故答案為：

方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)4*2所對應(yīng)的點為乙/，而=無]+必，

由已知\OP\=5/371=2=|OZ]|=I0Z2I,

平行四邊形。Z/Z?為菱形，且AOPZKAOPZ2都是正三角形，.?./ZQZ2=120。,

22222

|Z[Z21=|OZJ+|OZ21-21OZ,||OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(-1)=12

/.|z,—z2|=|Z1Z2|=2y/3.

Zy---------------『

【解題方法總結(jié)】

Iz|=y/a2+b1

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式

例22.（2024?四川成都?成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函

數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式e*=cosx+isinx（x6R,i為虛數(shù)單位），這個公式

在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，下面四個結(jié)果中

不成立的是（）

/r-\2022

A.泌+1=0B.-+—i=1

122

C.卜"+e-[v2D.-2<ex-e-ix<2.

【答案】D

【解析】對于A,當(dāng)了=兀時，因為e，"=cos7t+isin7r=-l,所以產(chǎn)+1=0,故選項A正

確；

<]n\2022z\2022(K.)2022

對于B,—H———i=Icos—+isin—I==?674兀1=85674兀+15111674兀=1,

”2J133jJ

故選項B正確；

對于C,由=cosx+isin無，e-u=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以+e士=2cosx，得出卜"+叫=|2cosx區(qū)2,故選項C正確；

對于D,由C的分析得ei'-e』=2isinx,推不出-24e丘-”42,故選項D錯誤.

故選：D.

例23.(2024?全國?高三專題練習(xí))任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi(a,》eR)都可以表示成

z=r(cos6+isin8)(rN0,eeR)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)

現(xiàn)：[r(cos61+isin^)]"=rn(cosnd+isinn3)(neZ),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.則

(1-公產(chǎn)=()

A.1B.22022C.-22022D.i

【答案】B

【解析】

222

...（1-4）2必=2?。22,竽萬）+isin1一爭萬=2°;

故選：B.

例24.（2024.河南.統(tǒng)考模擬預(yù)測）歐拉公式/=cose+isin6把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)

單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.若復(fù)數(shù)z滿足（S"+i）-z=l,則

Z的虛部為（）

A，—2B.—C.1D.—1

2

【答案】B

【解析】由歐拉公式知：

em=cos兀+isin兀=—1,「.（3兀+i）?z=（-1+i）-z=i,

._i_i（T—i）J—ijL

■Z--l+i-（-l+i）（-l-i）-2_52'

?t-z的虛部為.

故選：B

例25.（2024?全國?高三專題練習(xí)）棣莫弗公式（cosx+isin%）"=cosnx+isinnx（其中i為虛數(shù)

單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)

Z\2023

cos^+isin^在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由棣莫弗公式知，

023

(兀..7iV2023K..2023n

cos—+ism—=cos------1-ism-----=cos337兀+isin(337兀+弓

[66)66

/兀、../兀、y31.

=cos（兀+—）+ism（兀+—）=------1,

6622

/\2023

復(fù)數(shù)cosC+ising在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標為—，位于第三象限.

Vo0722

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故選：C.

【解題方法總結(jié)】

一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=a+初都可以表示成r（cose+isin。）形式，其中r是復(fù)數(shù)z

的模；。是以1軸的非負半軸為始邊，向量正所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)

數(shù)Z=Q+次的輻角.r（cos^+zsinO'）叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡稱三角形式.

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

例26.（2024.上海閔行.上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）若|z+l-i|