2025高考數(shù)學復習必刷題：古典概型與概率的基本性質(zhì)（學生版）

第89講古典概型與概率的基本性質(zhì)

知識梳理

知識點1、隨機事件的概率

對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表

示.

知識點2、古典概型

(1)定義

一般地，若試驗E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間。包含"個樣本點，事件A包含其中的k個樣

本點，則定義事件A的概率尸(4)=：=墻.

知識點3、概率的基本性質(zhì)

(1)對于任意事件A都有：04尸(A)41.

(2)必然事件的概率為1,即P(Q)=1；不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件8互斥，則「(4113)=2(4)+「(3).

推廣：一般地，若事件A，A.彼此互斥，則事件發(fā)生(即A，從中

有一個發(fā)生)的概率等于這〃個事件分別發(fā)生的概率之和，即：

尸(4+4+...+4)=p(A)+p(4)+...+p(4).

(4)對立事件的概率：若事件A與事件8互為對立事件，則P(A)=1-P(B),

P(B)=1-P(A),且P(AU3)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的單調(diào)性：若A=8,則P(A)4P(8).

(6)若A,3是一次隨機實驗中的兩個事件，則P(/^3)=2(4)+「(8)-2(4。3).

【解題方法總結(jié)】

1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)”與事件A中所包含的基本事件

數(shù).

因此要注意清楚以下三個方面：

(1)本試驗是否具有等可能性；

(2)本試驗的基本事件有多少個;

（3）事件A是什么.

2、解題實現(xiàn)步驟：

（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A;

（3）分別求出基本事件的個數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)機；

“、到中八一?八A包含的基本事件的個數(shù)平山本出，,血力

（4）利用公式P（A）=——甘一由一附乂的——求出事件A的概率.

基本事件的息數(shù)

3、解題方法技巧：

（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

①任一隨機事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和.

②求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖

法.

必考題型全歸納

題型一：簡單的古典概型問題

例L（2024?高一課時練習）下列概率模型中，是古典概型的個數(shù)為（）

①從區(qū)間［1［0］內(nèi)任取一個數(shù)，求取到1的概率；②從1,2,3,…，10中任取一個數(shù)，求

取到1的概率；③在正方形ABC。內(nèi)畫一點P,求點P恰好為正方形中心的概率；④向上

拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024?全國?高一專題練習）下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（）

①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；

③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為%隨機事件A若包含上個樣本點，

則P（A）=￡.

n

A.②④B.②③④C.①②④D.①③④

例3.（2024?全國?高三專題練習）下列有關(guān)古典概型的四種說法：

①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；

②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；

③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；

k

④已知樣本點總數(shù)為〃，若隨機事件A包含％個樣本點，則事件A發(fā)生的概率尸（A）=—.

n

其中所正確說法的序號是（）

A.①②④B.①③C.③④D.①③④

變式1.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習）一項試驗旨在研究臭氧效應，

試驗方案如下：選6只小白鼠，隨機地將其中3只分配到試驗組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)

境，另外3只分配到對照組且飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量

（單位：g）.則指定的兩只小鼠分配到不同組的概率為（）

A.—B.-C.1D.-

10525

變式2.（2024?青海西寧?高三統(tǒng)考開學考試）乒乓球是中國的國球，擁有廣泛的群眾基

礎(chǔ)，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉.某小學體育課上，老師讓小李同學從7個乒乓球

（其中3只黃色和4只白色）中隨機選取2個，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是

（）

A.-B.-C.—D.1

77142

變式3.（2024?河北保定?統(tǒng)考二模）三位同學參加某項體育測試，每人要從100m跑、

引體向上、跳遠、鉛球四個項目中選出兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完

全相同的概率是（）

A.—B.-C.—D.—

1231212

變式4.（2024?湖北?高三校聯(lián)考階段練習）將2個不同的小球隨機放入甲、乙、丙3個

盒子，則2個小球在同一個盒子的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

5283

題型二：古典概型與向量的交匯問題

例4.（2024?重慶?高三統(tǒng)考階段練習）已知正九邊形A4…&，從中,&4，…，審中

任取兩個向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為（）

A.1B.-C.-D.-

2399

例5.（2024?全國?高三專題練習）已知a,6e{-2,-l,l,2},若向量而=（a,b）,n=（l,l）,

則向量而與5所成的角為銳角的概率是（）

例6.（2024?甘肅武威?甘肅省武威第一中學?？寄M預測）連擲兩次骰子分別得到點數(shù)

m,n,則向量（利,〃）與向量（T,D的夾角9>g的概率是（）

A.4B.-C.—D.—

231212

變式5.（2024?四川成都?四川省成都市玉林中學校考模擬預測）從集合口,2,4｝中隨機抽

取一個數(shù)從集合｛2,4,5｝中隨機抽取一個數(shù)b,則向量沅=（a,6）與向量萬=（2,-1）垂直的

概率為（）

A.-B.-C.-D.-

9933

變式6.（2024?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）從集合｛0,1,2,3｝中隨機地取一個數(shù)。,從集合

｛3,4,6｝中隨機地取一個數(shù)6,則向量方=0,。）與向量￡=（1,-2）垂直的概率為（）

1

ABC.一D-?

-A-I4

變式7.（2024?湖北?高考真題）連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為根和“，記向量

1=（根,〃）與向量5=（1,-1）的夾角為凡則。10卷的概率是（）

A-HB-Ic-nD-i

題型三：古典概型與幾何的交匯問題

例7.（2024?全國?高三專題練習）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家在沙灘上面畫點

或用小石子表示數(shù)，他們將1,3,6,10,15,稱為三角形數(shù)；將1,4,

9,16,25,稱為正方形數(shù).現(xiàn)從200以內(nèi)的正方形數(shù)中任取2個，則其中至少

有1個也是三角形數(shù)的概率為（）

24C,”

A.—B.—D

919178-日

y/5—1

例8.（2024?四川達州?統(tǒng)考二模）把腰底比為:1（比值約為0.618,稱為黃金比）

2

的等腰三角形叫黃金三角形，長寬比為0:1（比值約為1.414,稱為和美比）的矩形叫和

美矩形.樹葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國唐、宋時期的單檐建筑中存在較多

的0:1的比例關(guān)系,常用的A4紙的長寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條

AO=叵圖二是長方體，EF=4i,EG=2硝=2.在圖一圖

對角線構(gòu)成的圖形）,

2

二所有三角形和矩形中隨機抽取兩個圖形，恰好一個是黃金三角形一個是和美矩形的概率

為（）

例9.（2024?江西?高三校聯(lián)考階段練習）如圖，這是第24屆國際數(shù)學家大會會標的大

致圖案，它是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)用紅色和藍色給這4個三角形

區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（）

變式8.（2024?江西?校聯(lián)考二模）圓周上有8個等分點，任意選這8個點中的4個點構(gòu)

成一個四邊形，則四邊形為梯形的概率是（）

10「12-14-16

AA.—B.—C.—D.—

35353535

變式9.（2024?廣東深圳?高三深圳市福田區(qū)福田中學?？茧A段練習）《幾何原本》是古

希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學巨著，大約成書于公元前300年.漢語的最早譯本是

由中國明代數(shù)學家、天文學家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年.該書前6

卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎

包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容.某高校要求數(shù)學專業(yè)的學生從這7章里任選4章進行選

修，則學生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

7777

變式10.（2024?河北張家口?張家口市宣化第一中學?？既＃┤鐖D，將正方體沿交于

同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分

稱為“阿基米德多面體”，它是一個24等邊半正多面體.從它的棱中任取兩條，則這兩條棱

所在的直線為異面直線的概率為()

23236969

變式11.(2024?全國?高三專題練習)《九章算術(shù).商功》指出“斜解立方，得兩遒堵.斜解

遭堵，其一為陽馬，一為鱉膈.陽馬居二，鱉膈居一，不易之率也.合兩鱉腌三而一，驗之以

其形露矣.”意為將一個正方體斜切，可以得到兩個遹堵，將遭堵斜切，可得到一個陽

馬，一個鱉腌(四個面都是直角三角形的三棱錐)，如果從正方體的8個頂點中選4個頂點

得到三棱錐，則得到的三棱錐是鱉席的概率為()

18r16〃12一8

AA.—B.—C.—D.—

29292929

題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題

一_3、

例10.(2024?四川遂寧?統(tǒng)考三模)己知me」g2+lg5,log43，U，tanl),從這四個數(shù)

中任取一個數(shù)機，使函數(shù)/(x)=V+2mx+l有兩不相等的實數(shù)根的概率為.

例11.(2024?全國?高三專題練習)已知四個函數(shù)：(1)<(x)=x,(2)力(x)=sinx,

(3)力(x)=tanx,(4)%(力=葭，從中任選2個，則事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅

有一個公共點”的概率為.

例12.(2024?河南信陽?河南省信陽市第二高級中學校聯(lián)考一模)在-2,-1,0,1,2

的五個數(shù)字中，有放回地隨機取兩個數(shù)字分別作為函數(shù)>=依2+3a-2中°,b的值，則該

函數(shù)圖像恰好經(jīng)過第一、三、四象限的概率為.

變式12.(2024?四川遂寧?統(tǒng)考一模)若函數(shù)y=/(x)的定義域和值域分別為4={1,2,3}

和8={1,2},則滿足/(I)豐/(3)的函數(shù)概率是.

變式13.(2024?全國?高三專題練習)一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六

23

個定義域為E的函數(shù)：<(x)=x,f2(x)=x,f3(x)=x,力(x)=sinx,%(x)=cosx,

九(x)=2|x|+l.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每次抽出后均不放回，若

取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，設(shè)抽取次數(shù)為X,則X<3的概率

為.

變式14.（2024?全國?高三專題練習）對于定義域為。的函數(shù)/'（X）,若對任意的

x^x^D,當王時都有則稱函數(shù)/（尤）為“不嚴格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)

的定義域。=｛1,2,3,4,5｝,值域為A=｛6,7,8｝,則函數(shù)為“不嚴格單調(diào)增函數(shù)”的

概率是.

變式15.（2024?上海?高三專題練習）從3個函數(shù)：Jv一=人?J丫一_尤人2和y=x中任取2個，

其積函數(shù)在區(qū)間（一*0）內(nèi)單調(diào)遞增的概率是.

題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題

例13.（2024?江西鷹潭?統(tǒng)考一模）斐波那契數(shù)列｛月｝因數(shù)學家萊昂納多?斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為"兔子數(shù)列".因"趨向于無窮大

時，冬無限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列由以下

工+i

遞推方法定義：數(shù)列｛耳｝滿足耳=B=1,Fn+2=Fn+t+Fn,若從該數(shù)列前10項中隨機抽取

2項，則抽取的2項至少有1項是奇數(shù)的概率為（）

1r13r14

AA.—B.—C.—D.—

15151515

例14.（2024?全國-高三專題練習）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)

列”，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列｛風｝滿足4=%=1，

4+2=?！?4+1，先從該數(shù)列前12項中隨機抽取1項，是質(zhì)數(shù)的概率是（）

517

A.B,-C.-D.

124312

例15.（2024?黑龍江?黑龍江實驗中學?？既＃┮阎吵楠劵顒拥闹歇劼蕿槊看?/p>

抽獎互不影響.構(gòu)造數(shù)列同，使得第〃次未中獎,，記

Sa=q+c?+…+g（，eN*）,則國=1的概率為（）

變式16.（2024?山東濰坊?高三統(tǒng)考階段練習）數(shù)列｛%｝共有10項，且滿足：4=1,

%=11,每一項與前一項的差為2或-2,從滿足上述條件的所有數(shù)列中任取一個數(shù)列，則

取到的數(shù)列滿足每一項與前一項的差為-2的項都相鄰的概率為（）

A.-B.-C.-D.—

93918

變式17.（2024?全國?高三專題練習）斐波那契數(shù)列｛耳｝因數(shù)學家萊昂納多?斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列因w趨向于無窮大

時，與無限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列由以

下遞推方法定義：數(shù)列｛匕｝滿足￡=&=1,Fn+2=Fn+l+Fn,若從該數(shù)列前10項中隨機抽

取1項，則抽取項是奇數(shù)的概率為（）

A.|B.—C.-D.—

210310

變式18.（2024?全國?高三專題練習）記數(shù)列｛%,｝的前〃項和為S",已知

2

Sn=an-4an+b,在數(shù)集｛-1,0,1｝中隨機抽取一個數(shù)作為a,在數(shù)集｛-3,0,3｝中隨機抽取

一個數(shù)作為6.在這些不同數(shù)列中隨機抽取一個數(shù)列｛《｝，則｛4｝是遞增數(shù)列的概率為

（）

1223

A.-B.-C.-D.-

3934

變式19.（2024?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛a,｝（〃eN*）的前九項和為且

S“=2a”-1,若數(shù)列也｝滿足。也=f2+11〃-32,從5<〃W10,"eN*中任取兩個數(shù)，貝U

至少一個數(shù)滿足。=2的概率為（）

A.1B.-C.—D.-

25123

變式20.（2024?全國?高三專題練習）已知等比數(shù)列｛%｝的首項為1,公比為-2,在該數(shù)

列的前六項中隨機抽取兩項4“，a?（m,neN"）,則a,“一a”28的概率為（）

A.-B.-C.-D.y

5432

題型六：古典概率與統(tǒng)計的綜合

例16.（2024?四川宜賓?統(tǒng)考二模）2022年中國新能源汽車銷量繼續(xù)蟬聯(lián)全球第一，以

比亞迪為代表的中國汽車交出了一份漂亮的“成績單”，比亞迪新能源汽車成為2022年全球

新能源汽車市場銷量冠軍，為了解中國新能源車的銷售價格情況，隨機調(diào)查了10000輛新

能源車的銷售價格，得到如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

⑴估計一輛中國新能源車的銷售價格位于區(qū)間［5,35）（單位：萬元）的概率，以及中國新

能源車的銷售價格的眾數(shù)；

⑵現(xiàn)有6輛新能源車，其中2輛為比亞迪新能源車，從這6輛新能源車中隨機抽取2輛，

求至少有1輛比亞迪新能源車的概率.

例17.（2024?北京西城?高三北京市第三十五中學校考開學考試）為了解某中學高一年

級學生身體素質(zhì)情況，對高一年級的（1）班?（8）班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨

機各抽10名學生進行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀

的人數(shù)散點圖如下（x軸表示對應的班號，V軸表示對應的優(yōu)秀人數(shù)）：

舛0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O123456787

（1）若用散點圖預測高一年級學生身體素質(zhì)情況，從高一年級學生中任意抽測1人，求該生

身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；

⑵若從以上統(tǒng)計的高一（2）班和高一（4）班的學生中各抽出1人，設(shè)X表示2人中身體

素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學期望；

（3）假設(shè)每個班學生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相

等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學，用“短=1”表示第七班抽到的這名同學身體素質(zhì)

優(yōu)秀，“募=0”表示第七班抽到的這名同學身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（左=1,2,…,8）.寫出方差

D信），。值）,。（芻）,。值）的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）.

例18.（2024?四川成都?校聯(lián)考模擬預測）某重點大學為了解準備保研或者考研的本科

生每天課余學習時間，隨機抽取了100名這類大學生進行調(diào)查，將收集到的課余學習時間

（單位：h）整理后得到如下表格：

課余學習時間[1，3）[3,5)[5,7)[7,9)[9，川

人數(shù)510254020

（1）估計這1。0名大學生每天課余學習時間的中位數(shù)；

⑵根據(jù)分層抽樣的方法從課余學習時間在[7,9）和[9,11],這兩組中抽取6人，再從這6人

中隨機抽取2人，求抽到的2人的課余學習時間都在[7,9）的概率.

變式21.（2024?海南?？?高三統(tǒng)考期中）為促進全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足

人民群眾的健身和健康需求，國家相關(guān)部門制定發(fā)布了《全民健身計劃（2021—2025

年）》.相關(guān)機構(gòu)統(tǒng)計了我國2018年至2022年（2018年的年份序號為1,依此類推）健身

人群數(shù)量（即有健身習慣的人數(shù)，單位：百萬），所得數(shù)據(jù)如圖所示：

（1）若每年健身人群中放棄健身習慣的人數(shù)忽略不計，從2022年的健身人群中隨機抽取5

人，設(shè)其中從2018年開始就有健身習慣的人數(shù)為X,求E（X）；

（2）由圖可知，我國健身人群數(shù)量與年份序號線性相關(guān)，請用相關(guān)系數(shù)加以說明.

-磯％-y）

附：相關(guān)系數(shù)，=”.參考數(shù)據(jù):3=280,￡＞：=55,

快小冬一『-

55________

yy-=397262,E%%=4429,J52620以229.4.

z=li=l

變式22.(2024?江西宜春?高三江西省豐城拖船中學校考開學考試)某市教師進城考試

分筆試和面試兩部分，現(xiàn)把參加筆試的40名教師的成績分組：第1組［75,80),第2組

［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100］.得到頻率分布直方圖如圖

(1)分別求成績在第4,5組的教師人數(shù)；

(2)若考官決定在筆試成績較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名進入面試，

①己知甲和乙的成績均在第3組，求甲和乙同時進入面試的概率；

②若決定在這6名考生中隨機抽取2名教師接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名教師被

考官。面試，求X的分布列和數(shù)學期望.

變式23.(2024?全國?高三專題練習)插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美

的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一。為了通

過插花藝術(shù)激發(fā)學生對美的追求，某校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插

花比賽。比賽按照百分制的評分標準進行評分，評委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師

以及20名學生會代表組成，各參賽小組的最后得分為評委所打分數(shù)的平均分.比賽結(jié)束

后，得到甲組插花作品所得分數(shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分數(shù)的頻數(shù)分布

表，如下所示：

分數(shù)區(qū)間頻數(shù)

[72,76)1

[76,80)5

[80,84)12

[84,88)14

[88,92)4

[92,96)3

[96,100]1

定義評委對插花作品的“觀賞值”如下所示:

分數(shù)區(qū)間[72,84)[84,92)[92,100]

觀賞值123

(1)估計甲組插花作品所得分數(shù)的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；

(2)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出1個用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來

看該校會選哪一組，請說明理由(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(3)從40名評委中隨機抽取1人進行調(diào)查，試估計其對乙組插花作品的“觀賞值”比對甲組

插花作品的“觀賞值”高的概率.

【解題方法總結(jié)】

求解古典概型的交匯問題的步驟

（1）將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；

（2）判斷事件是否為古典概型；

（3）選用合適的方法確定樣本點個數(shù)；

（4）代入古典概型的概率公式求解.

題型七：有放回與無放回問題的概率

例19.（2024?遼寧鞍山?統(tǒng)考模擬預測）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中

有3個紅色球，2個白色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則第2次摸到紅色球

的概率為.

例20.（2024?黑龍江哈爾濱?哈九中校考模擬預測）已知紅箱內(nèi)有3個紅球、2個白球，

白箱內(nèi)有2個紅球、3個白球，所有小球大小、形狀完全相同.第一次從紅箱內(nèi)取出一球

后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，以

此類推，第左+1次從與第上次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去.則第

3次取出的球是紅球的概率為.

例21.（2024?湖北?校聯(lián)考三模）袋中有形狀和大小相同的兩個紅球和三個白球，甲、

乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的

概率是.

變式24.（2024?浙江?校聯(lián)考二模）袋中有形狀大小相同的球5個，其中紅色3個，黃

色2個，現(xiàn)從中隨機連續(xù)摸球，每次摸1個，當有兩種顏色的球被摸到時停止摸球，記隨

機變量J為此時已摸球的次數(shù)，則EC）=.

變式25.（2024?全國?模擬預測）小穎和小星在玩抽卡游戲，規(guī)則如下：桌面上放有5

張背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有兩種顏色的圖案，其中一張為紫色，其余為藍色.現(xiàn)

將這些卡牌背面朝上放置，小穎和小星輪流抽卡，每次抽一張卡，并且抽取后不放回，直

至抽到印有紫色圖案的卡牌停止抽卡.若小穎先抽卡，則小星抽到紫卡的概率為.

變式26.（2024?浙江?模擬預測）袋中有大小質(zhì)地均相同的1個黑球，2個白球，3個紅

球，現(xiàn)從袋中隨機取球，每次取一個，不放回，直到某種顏色的球全部取出為止，則最后

一個球是白球的概率是.

題型八：概率的基本性質(zhì)

例22.（2024?全國?高三專題練習）某企業(yè)有甲、乙兩個工廠共生產(chǎn)一精密儀器1200

件，其中甲工廠生產(chǎn)了690件，乙工廠生產(chǎn)了510件，為了解這兩個工廠各自的生產(chǎn)水平，

質(zhì)檢人員決定采用分層抽樣的方法從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取80件樣品，已知該精密儀器

按照質(zhì)量可分為A,民C,。四個等級.若從所抽取的樣品中隨機抽取一件進行檢測，恰好抽

3

到甲工廠生產(chǎn)的A等級產(chǎn)品的概率為二，則抽取的氏CD三個等級中甲工