2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：古典概型與概率的基本性質(zhì)（學(xué)生版）

第89講古典概型與概率的基本性質(zhì)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)事件的概率

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表

示.

知識(shí)點(diǎn)2、古典概型

(1)定義

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含"個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣

本點(diǎn)，則定義事件A的概率尸(4)=：=墻.

知識(shí)點(diǎn)3、概率的基本性質(zhì)

(1)對(duì)于任意事件A都有：04尸(A)41.

(2)必然事件的概率為1,即P(Q)=1；不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件8互斥，則「(4113)=2(4)+「(3).

推廣：一般地，若事件A，A.彼此互斥，則事件發(fā)生(即A，從中

有一個(gè)發(fā)生)的概率等于這〃個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：

尸(4+4+...+4)=p(A)+p(4)+...+p(4).

(4)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件8互為對(duì)立事件，則P(A)=1-P(B),

P(B)=1-P(A),且P(AU3)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的單調(diào)性：若A=8,則P(A)4P(8).

(6)若A,3是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則P(/^3)=2(4)+「(8)-2(4。3).

【解題方法總結(jié)】

1、解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)”與事件A中所包含的基本事件

數(shù).

因此要注意清楚以下三個(gè)方面：

(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性；

(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè);

（3）事件A是什么.

2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：

（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A;

（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)機(jī)；

“、到中八一?八A包含的基本事件的個(gè)數(shù)平山本出，,血力

（4）利用公式P（A）=——甘一由一附乂的——求出事件A的概率.

基本事件的息數(shù)

3、解題方法技巧：

（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和.

②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖

法.

必考題型全歸納

題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題

例L（2024?高一課時(shí)練習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）

①?gòu)膮^(qū)間［1［0］內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1,2,3,…，10中任取一個(gè)數(shù)，求

取到1的概率；③在正方形ABC。內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)P,求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上

拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列關(guān)于古典概型的說(shuō)法正確的是（）

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；

③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為%隨機(jī)事件A若包含上個(gè)樣本點(diǎn)，

則P（A）=￡.

n

A.②④B.②③④C.①②④D.①③④

例3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列有關(guān)古典概型的四種說(shuō)法：

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；

③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；

k

④已知樣本點(diǎn)總數(shù)為〃，若隨機(jī)事件A包含％個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率尸（A）=—.

n

其中所正確說(shuō)法的序號(hào)是（）

A.①②④B.①③C.③④D.①③④

變式1.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，

試驗(yàn)方案如下：選6只小白鼠，隨機(jī)地將其中3只分配到試驗(yàn)組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)

境，另外3只分配到對(duì)照組且飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量

（單位：g）.則指定的兩只小鼠分配到不同組的概率為（）

A.—B.-C.1D.-

10525

變式2.（2024?青海西寧?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）乒乓球是中國(guó)的國(guó)球，擁有廣泛的群眾基

礎(chǔ)，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉.某小學(xué)體育課上，老師讓小李同學(xué)從7個(gè)乒乓球

（其中3只黃色和4只白色）中隨機(jī)選取2個(gè)，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是

（）

A.-B.-C.—D.1

77142

變式3.（2024?河北保定?統(tǒng)考二模）三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測(cè)試，每人要從100m跑、

引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出兩個(gè)項(xiàng)目參加測(cè)試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完

全相同的概率是（）

A.—B.-C.—D.—

1231212

變式4.（2024?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將2個(gè)不同的小球隨機(jī)放入甲、乙、丙3個(gè)

盒子，則2個(gè)小球在同一個(gè)盒子的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

5283

題型二：古典概型與向量的交匯問(wèn)題

例4.（2024?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正九邊形A4…&，從中,&4，…，審中

任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為（）

A.1B.-C.-D.-

2399

例5.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知a,6e{-2,-l,l,2},若向量而=（a,b）,n=（l,l）,

則向量而與5所成的角為銳角的概率是（）

例6.（2024?甘肅武威?甘肅省武威第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)

m,n,則向量（利,〃）與向量（T,D的夾角9>g的概率是（）

A.4B.-C.—D.—

231212

變式5.（2024?四川成都?四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）從集合口,2,4｝中隨機(jī)抽

取一個(gè)數(shù)從集合｛2,4,5｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b,則向量沅=（a,6）與向量萬(wàn)=（2,-1）垂直的

概率為（）

A.-B.-C.-D.-

9933

變式6.（2024?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）從集合｛0,1,2,3｝中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)。,從集合

｛3,4,6｝中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)6,則向量方=0,。）與向量￡=（1,-2）垂直的概率為（）

1

ABC.一D-?

-A-I4

變式7.（2024?湖北?高考真題）連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為根和“，記向量

1=（根,〃）與向量5=（1,-1）的夾角為凡則。10卷的概率是（）

A-HB-Ic-nD-i

題型三：古典概型與幾何的交匯問(wèn)題

例7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)

或用小石子表示數(shù)，他們將1,3,6,10,15,稱為三角形數(shù)；將1,4,

9,16,25,稱為正方形數(shù).現(xiàn)從200以內(nèi)的正方形數(shù)中任取2個(gè)，則其中至少

有1個(gè)也是三角形數(shù)的概率為（）

24C,”

A.—B.—D

919178-日

y/5—1

例8.（2024?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模）把腰底比為:1（比值約為0.618,稱為黃金比）

2

的等腰三角形叫黃金三角形，長(zhǎng)寬比為0:1（比值約為1.414,稱為和美比）的矩形叫和

美矩形.樹(shù)葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國(guó)唐、宋時(shí)期的單檐建筑中存在較多

的0:1的比例關(guān)系,常用的A4紙的長(zhǎng)寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條

AO=叵圖二是長(zhǎng)方體，EF=4i,EG=2硝=2.在圖一圖

對(duì)角線構(gòu)成的圖形）,

2

二所有三角形和矩形中隨機(jī)抽取兩個(gè)圖形，恰好一個(gè)是黃金三角形一個(gè)是和美矩形的概率

為（）

例9.（2024?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，這是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大

致圖案，它是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個(gè)三角形

區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（）

變式8.（2024?江西?校聯(lián)考二模）圓周上有8個(gè)等分點(diǎn)，任意選這8個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)

成一個(gè)四邊形，則四邊形為梯形的概率是（）

10「12-14-16

AA.—B.—C.—D.—

35353535

變式9.（2024?廣東深圳?高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》是古

希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書(shū)于公元前300年.漢語(yǔ)的最早譯本是

由中國(guó)明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書(shū)于1607年.該書(shū)前6

卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎

包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容.某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進(jìn)行選

修，則學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

7777

變式10.（2024?河北張家口?張家口市宣化第一中學(xué)校考三模）如圖，將正方體沿交于

同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，截取后的剩余部分

稱為“阿基米德多面體”，它是一個(gè)24等邊半正多面體.從它的棱中任取兩條，則這兩條棱

所在的直線為異面直線的概率為()

23236969

變式11.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))《九章算術(shù).商功》指出“斜解立方，得兩遒堵.斜解

遭堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉膈.陽(yáng)馬居二，鱉膈居一，不易之率也.合兩鱉腌三而一，驗(yàn)之以

其形露矣.”意為將一個(gè)正方體斜切，可以得到兩個(gè)遹堵，將遭堵斜切，可得到一個(gè)陽(yáng)

馬，一個(gè)鱉腌(四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐)，如果從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)頂點(diǎn)

得到三棱錐，則得到的三棱錐是鱉席的概率為()

18r16〃12一8

AA.—B.—C.—D.—

29292929

題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問(wèn)題

一_3、

例10.(2024?四川遂寧?統(tǒng)考三模)己知me」g2+lg5,log43，U，tanl),從這四個(gè)數(shù)

中任取一個(gè)數(shù)機(jī)，使函數(shù)/(x)=V+2mx+l有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.

例11.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知四個(gè)函數(shù)：(1)<(x)=x,(2)力(x)=sinx,

(3)力(x)=tanx,(4)%(力=葭，從中任選2個(gè)，則事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅

有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.

例12.(2024?河南信陽(yáng)?河南省信陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模)在-2,-1,0,1,2

的五個(gè)數(shù)字中，有放回地隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)字分別作為函數(shù)>=依2+3a-2中°,b的值，則該

函數(shù)圖像恰好經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的概率為.

變式12.(2024?四川遂寧?統(tǒng)考一模)若函數(shù)y=/(x)的定義域和值域分別為4={1,2,3}

和8={1,2},則滿足/(I)豐/(3)的函數(shù)概率是.

變式13.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六

23

個(gè)定義域?yàn)镋的函數(shù)：<(x)=x,f2(x)=x,f3(x)=x,力(x)=sinx,%(x)=cosx,

九(x)=2|x|+l.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每次抽出后均不放回，若

取到一張寫(xiě)有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為X,則X<3的概率

為.

變式14.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)于定義域?yàn)?。的函?shù)/'（X）,若對(duì)任意的

x^x^D,當(dāng)王時(shí)都有則稱函數(shù)/（尤）為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)

的定義域。=｛1,2,3,4,5｝,值域?yàn)锳=｛6,7,8｝,則函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的

概率是.

變式15.（2024?上海?高三專題練習(xí)）從3個(gè)函數(shù)：Jv一=人?J丫一_尤人2和y=x中任取2個(gè)，

其積函數(shù)在區(qū)間（一*0）內(nèi)單調(diào)遞增的概率是.

題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題

例13.（2024?江西鷹潭?統(tǒng)考一模）斐波那契數(shù)列｛月｝因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為"兔子數(shù)列".因"趨向于無(wú)窮大

時(shí)，冬無(wú)限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下

工+i

遞推方法定義：數(shù)列｛耳｝滿足耳=B=1,Fn+2=Fn+t+Fn,若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取

2項(xiàng)，則抽取的2項(xiàng)至少有1項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（）

1r13r14

AA.—B.—C.—D.—

15151515

例14.（2024?全國(guó)-高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)

列”，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4=%=1，

4+2=?！?4+1，先從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，是質(zhì)數(shù)的概率是（）

517

A.B,-C.-D.

124312

例15.（2024?黑龍江?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎吵楠?jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為每次

抽獎(jiǎng)互不影響.構(gòu)造數(shù)列同，使得第〃次未中獎(jiǎng),，記

Sa=q+c?+…+g（，eN*）,則國(guó)=1的概率為（）

變式16.（2024?山東濰坊?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列｛%｝共有10項(xiàng)，且滿足：4=1,

%=11,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為2或-2,從滿足上述條件的所有數(shù)列中任取一個(gè)數(shù)列，則

取到的數(shù)列滿足每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為-2的項(xiàng)都相鄰的概率為（）

A.-B.-C.-D.—

93918

變式17.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列｛耳｝因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列因w趨向于無(wú)窮大

時(shí)，與無(wú)限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以

下遞推方法定義：數(shù)列｛匕｝滿足￡=&=1,Fn+2=Fn+l+Fn,若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽

取1項(xiàng)，則抽取項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（）

A.|B.—C.-D.—

210310

變式18.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）記數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和為S",已知

2

Sn=an-4an+b,在數(shù)集｛-1,0,1｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為a,在數(shù)集｛-3,0,3｝中隨機(jī)抽取

一個(gè)數(shù)作為6.在這些不同數(shù)列中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)列｛《｝，則｛4｝是遞增數(shù)列的概率為

（）

1223

A.-B.-C.-D.-

3934

變式19.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛a,｝（〃eN*）的前九項(xiàng)和為且

S“=2a”-1,若數(shù)列也｝滿足。也=f2+11〃-32,從5<〃W10,"eN*中任取兩個(gè)數(shù)，貝U

至少一個(gè)數(shù)滿足。=2的概率為（）

A.1B.-C.—D.-

25123

變式20.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公比為-2,在該數(shù)

列的前六項(xiàng)中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)4“，a?（m,neN"）,則a,“一a”28的概率為（）

A.-B.-C.-D.y

5432

題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合

例16.（2024?四川宜賓?統(tǒng)考二模）2022年中國(guó)新能源汽車銷量繼續(xù)蟬聯(lián)全球第一，以

比亞迪為代表的中國(guó)汽車交出了一份漂亮的“成績(jī)單”，比亞迪新能源汽車成為2022年全球

新能源汽車市場(chǎng)銷量冠軍，為了解中國(guó)新能源車的銷售價(jià)格情況，隨機(jī)調(diào)查了10000輛新

能源車的銷售價(jià)格，得到如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

⑴估計(jì)一輛中國(guó)新能源車的銷售價(jià)格位于區(qū)間［5,35）（單位：萬(wàn)元）的概率，以及中國(guó)新

能源車的銷售價(jià)格的眾數(shù)；

⑵現(xiàn)有6輛新能源車，其中2輛為比亞迪新能源車，從這6輛新能源車中隨機(jī)抽取2輛，

求至少有1輛比亞迪新能源車的概率.

例17.（2024?北京西城?高三北京市第三十五中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）為了解某中學(xué)高一年

級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的（1）班?（8）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨

機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀

的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，V軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

舛0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O123456787

（1）若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生

身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；

⑵若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)X表示2人中身體

素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

（3）假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相

等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“短=1”表示第七班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)

優(yōu)秀，“募=0”表示第七班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（左=1,2,…,8）.寫(xiě)出方差

D信），。值）,。（芻）,。值）的大小關(guān)系（不必寫(xiě)出證明過(guò)程）.

例18.（2024?四川成都?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某重點(diǎn)大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科

生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時(shí)間

（單位：h）整理后得到如下表格：

課余學(xué)習(xí)時(shí)間[1，3）[3,5)[5,7)[7,9)[9，川

人數(shù)510254020

（1）估計(jì)這1。0名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)；

⑵根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9）和[9,11],這兩組中抽取6人，再?gòu)倪@6人

中隨機(jī)抽取2人，求抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在[7,9）的概率.

變式21.（2024?海南?？?高三統(tǒng)考期中）為促進(jìn)全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足

人民群眾的健身和健康需求，國(guó)家相關(guān)部門(mén)制定發(fā)布了《全民健身計(jì)劃（2021—2025

年）》.相關(guān)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了我國(guó)2018年至2022年（2018年的年份序號(hào)為1,依此類推）健身

人群數(shù)量（即有健身習(xí)慣的人數(shù)，單位：百萬(wàn)），所得數(shù)據(jù)如圖所示：

（1）若每年健身人群中放棄健身習(xí)慣的人數(shù)忽略不計(jì)，從2022年的健身人群中隨機(jī)抽取5

人，設(shè)其中從2018年開(kāi)始就有健身習(xí)慣的人數(shù)為X,求E（X）；

（2）由圖可知，我國(guó)健身人群數(shù)量與年份序號(hào)線性相關(guān)，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明.

-磯％-y）

附：相關(guān)系數(shù)，=”.參考數(shù)據(jù):3=280,￡＞：=55,

快小冬一『-

55________

yy-=397262,E%%=4429,J52620以229.4.

z=li=l

變式22.(2024?江西宜春?高三江西省豐城拖船中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)某市教師進(jìn)城考試

分筆試和面試兩部分，現(xiàn)把參加筆試的40名教師的成績(jī)分組：第1組［75,80),第2組

［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100］.得到頻率分布直方圖如圖

(1)分別求成績(jī)?cè)诘?,5組的教師人數(shù)；

(2)若考官?zèng)Q定在筆試成績(jī)較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名進(jìn)入面試，

①己知甲和乙的成績(jī)均在第3組，求甲和乙同時(shí)進(jìn)入面試的概率；

②若決定在這6名考生中隨機(jī)抽取2名教師接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名教師被

考官。面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

變式23.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美

的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一。為了通

過(guò)插花藝術(shù)激發(fā)學(xué)生對(duì)美的追求，某校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插

花比賽。比賽按照百分制的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師

以及20名學(xué)生會(huì)代表組成，各參賽小組的最后得分為評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分.比賽結(jié)束

后，得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布

表，如下所示：

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)

[72,76)1

[76,80)5

[80,84)12

[84,88)14

[88,92)4

[92,96)3

[96,100]1

定義評(píng)委對(duì)插花作品的“觀賞值”如下所示:

分?jǐn)?shù)區(qū)間[72,84)[84,92)[92,100]

觀賞值123

(1)估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；

(2)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出1個(gè)用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來(lái)

看該校會(huì)選哪一組，請(qǐng)說(shuō)明理由(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)從40名評(píng)委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組

插花作品的“觀賞值”高的概率.

【解題方法總結(jié)】

求解古典概型的交匯問(wèn)題的步驟

（1）將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；

（2）判斷事件是否為古典概型；

（3）選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（4）代入古典概型的概率公式求解.

題型七：有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率

例19.（2024?遼寧鞍山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中

有3個(gè)紅色球，2個(gè)白色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則第2次摸到紅色球

的概率為.

例20.（2024?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預(yù)測(cè)）已知紅箱內(nèi)有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，

白箱內(nèi)有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同.第一次從紅箱內(nèi)取出一球

后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，以

此類推，第左+1次從與第上次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去.則第

3次取出的球是紅球的概率為.

例21.（2024?湖北?校聯(lián)考三模）袋中有形狀和大小相同的兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，甲、

乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的

概率是.

變式24.（2024?浙江?校聯(lián)考二模）袋中有形狀大小相同的球5個(gè)，其中紅色3個(gè)，黃

色2個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)連續(xù)摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)有兩種顏色的球被摸到時(shí)停止摸球，記隨

機(jī)變量J為此時(shí)已摸球的次數(shù)，則EC）=.

變式25.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）小穎和小星在玩抽卡游戲，規(guī)則如下：桌面上放有5

張背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有兩種顏色的圖案，其中一張為紫色，其余為藍(lán)色.現(xiàn)

將這些卡牌背面朝上放置，小穎和小星輪流抽卡，每次抽一張卡，并且抽取后不放回，直

至抽到印有紫色圖案的卡牌停止抽卡.若小穎先抽卡，則小星抽到紫卡的概率為.

變式26.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）袋中有大小質(zhì)地均相同的1個(gè)黑球，2個(gè)白球，3個(gè)紅

球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)，不放回，直到某種顏色的球全部取出為止，則最后

一個(gè)球是白球的概率是.

題型八：概率的基本性質(zhì)

例22.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)工廠共生產(chǎn)一精密儀器1200

件，其中甲工廠生產(chǎn)了690件，乙工廠生產(chǎn)了510件，為了解這兩個(gè)工廠各自的生產(chǎn)水平，

質(zhì)檢人員決定采用分層抽樣的方法從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取80件樣品，已知該精密儀器

按照質(zhì)量可分為A,民C,。四個(gè)等級(jí).若從所抽取的樣品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，恰好抽

3

到甲工廠生產(chǎn)的A等級(jí)產(chǎn)品的概率為二，則抽取的氏CD三個(gè)等級(jí)中甲工