2025高考數(shù)學復習必刷題：立體幾何中的壓軸小題

第55講立體幾何中的壓軸小題

必考題型全歸納

題型一：球與截面面積問題

例L（2024?湖南長沙?高二長郡中學?？奸_學考試）已知三棱錐尸-ABC的四個頂點在球

。的球面上，PA=PB=PC,AABC是邊長為60的正三角形，PA=3PE>BA=3BF，

ZCEF=90°,過點E作球。的截面，截面面積最小值為（）

A.8兀B.16KC.27兀D.40兀

【答案】A

【解析】VPA=PB=PC,為邊長為6也的等邊三角形，，P-ABC為正三棱錐，

取AC的中點連接由公PM,則PMcBM=M,

PM、BMu平面所以AC_L平面PBu平面PBM,所以P5_LAC,

又丙=3而，~BA=iBF>EF//PB,：.EF1AC,又EFLCE,CE^\AC=C,

CE、ACu平面B4C,；.上平面抬C,平面RIC,

ZBPA=90°-APA=PB=PC=6,

尸—ABC為正方體尸8DC-A4RG的一部分，

可得外接球的半徑為R=-736+36+36=3也，

2

取AP的中點“，連接。8、AR,

可得O"=；A￡>i=30,EH=1,所以O￡2=i9,

過點E作球。的截面，設截面與棱R4、PC、PD的交點分別為區(qū)Q、G,

當OE垂直EQG時截面面積最小，此時E即為截面圓的圓心，

截面圓半徑為戶=尺2-0石2=8,截面面積為87t.

故選：A.

例2.（2024?四川綿陽?高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）四面體A3。的四個頂

點都在球。的球面上，AB=BC=CD=DA=4,AC=2D=2拒，點E，F(xiàn),G分別為棱

BC,CD,的中點，現(xiàn)有如下結論：①過點E,F,G作四面體A8CZ）的截面，則該截

面的面積為2；②四面體A8CD的體積為電I；③過E作球。的截面，則截面面積的最大

3

值與最小值的比為5：4.則上述說法正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】選項①中，如圖（1）所示，找的中點”，過點E,F,G做四面體ABCO的

截面即為面EfHG,

則EGHACHFH,EG//BD//GH,所以四邊形EFHG為平行四邊形，

找AC的中點0,連接8,因為AB=8C=CD=ZM=4,所以

DO±AC,BO_LAC,DO^\BO=O,DO,80u平面BOD,

所以AC_L平面BOD,BDu平面3QD,

所以AC13D,所以EGLEF,

所以四邊形EEHG為矩形，EF=>BD=及,EG=LAC=6,

22

所以截面的面積S=0x&=2,故①正確；

選項②中，RMCOD中,由勾股定理得：OD=\JCD2-OC2=V16-2=V14-

同理02=0D=&?,過點。作0M則?！?：。2=忘，所以由勾股定理得：

OM=ylOD2-DM2=V14-2=24,

所以S"所=-xBDxOM=-x2y/2x2y/3=2y/6,

由選項①可得：CO，平面80。，

所以憶“=k“=+2nx0=華，VD_ABC=VC_BOD+VA_BOD=^,故②錯誤；

選項③中，可以將四面體放入如圖（2）所示的長方體中，由題可求得，

AP=PC=2,尸8=2百，

所以外接球的半徑R=3+4+12=J,截面面積的最大值為5萬；平面尸CQB截得的面積

2

為最小面積，

半徑尺=也好土也=更運=2,截面積最小為4*所以截面面積的最大值與最小值的

22

比為5：4,故③正確.

D

B

圖⑴

A

圖（2）

例3.（2024?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學?？寄M預測）已知球。是正三棱錐

A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=y/3,

48=0，點E是線段A3的中點，過點E作球。的截面，則所得截面面積的最小值是

（）

,兀一兀一乃一兀

A.一B.—C.—D.一

2346

【答案】A

【解析】如圖，。I是A在底面的射影，

由正弦定理得，ABCD的外接圓半徑=C*J=1,

sin—

3

A

由勾股定理得棱錐的高|AOj=7（72）2-（1）2=1,

設球。的半徑為R,則忸o「=|oq「+忸Q「即尺2=（1一區(qū)了+仔，解得R=1,

所以|。q=0,即點。與。1重合,

在RtZ\A03中，點E■是線段A8的中點，\AO\=\BO\=l,

所以|OE|=lxsin4=比，當截面垂直于0E時，截面面積最小，

II42

此時半徑為JR2-OE2=￡,截面面積為兀X（￥）2='.

故選：A

變式L（2024.寧夏銀川?校聯(lián)考二模）2022年第三十二屆足球世界杯在卡塔爾舉行，第一

屆世界杯是1930年舉辦的，而早在戰(zhàn)國中期，中國就有過類似的體育運動項目：蹴鞠，又

名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米

糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5

月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名

錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個點A,B,C,P,AC1BC,

AC=BC=4,PC=6,則該鞠（球）被平面皿所截的截面圓面積為（）

2325

A.7兀B.—71C.8兀D.—7i

33

【答案】D

【解析】因為三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=3,而尸C=6,所以PC為外接球的直

徑，

如圖，將三棱錐P-ABC放入如圖所示的長方體，則AC=BC=4,

設長方體的另一棱長為。，所以2尺=6=，42+42+/，解得a=2,即PD=2,

設外接球的球心為。，所以尸A=PB=V?1不=26，AB=V42+42=4A/2>

上緇+人鹵一尸產(chǎn)32V10

設AB45的外接圓的半徑為r則cos/P4B=

2PAAB2X2A/5X4A/2-5

貝UsinNPAB=y/1-cos2ZPAB=手,

2丫PB_2出「10坦Q

所以sinNPABy/153，貝Ur=------，

-----3

5

25

所以該鞠（球）被平面上鉆所截的截面圓面積s=無產(chǎn)=—71

3

故選：D

變式2.（2024.全國?高三專題練習）在正方體ABCD-ABCA中，48=2,M,N分別為

A28C的中點，該正方體的外接球為球0,則平面AMN截球。得到的截面圓的面積為

（）

A.&B.乂C.西c14兀

D.——

5555

【答案】D

【解析】如圖，連接耳N,由題意易知MN||A百，

MN=AB、,故四邊形A瓦M0為平行四邊形.

設BCcB￡=",取的中點K,連接NK,

在RtA用KN中，臥=#>耶=1那=2,

故點K到與N的距離為孚，故點H到B、N的距離為。，

因此圓心0到平面AMN的距離為￡.由題易知球0的半徑R=6，

故平面AMN截球。得到的截面圓的半徑r==等，故截面圓的面積S=兀/=￡花.

故選：D

變式3.（2024.四川遂寧.射洪中學?？寄M預測）己知球O內(nèi)切于正方體

ABCD-A^C^,p,Q,M,N分別是4G，GR,CD,3c的中點，則該正方體及其內(nèi)切

球被平面MNPQ所截得的截面面積之比為（）

A.4A/2:itB.2>/2:itC.30:兀D.4:兀

【答案】A

【解析】如圖，易知正方體ABCO-AgGA的內(nèi)切球的球心。為的中點，

設球。切上下底面中心于點E,F,則球。的半徑R=:跖，

又易知球心。到平面MNP。的距離等于E到平面MNP。的距離，

設EG交0P于點G,則易證EG，平面MNPQ,

球心0到平面MNPQ的距離d=EG=^ECl,

設正方體ABC。-4月￡"的棱長為20，

貝=：斯=&,d=EG=^ECl=1,

球。被平面MNPQ所截的小圓半徑廠=正一筋=廳j=1,

???球。被平面腦VP。所截的小圓面積為兀/=兀，

又易知NM=2,PN=2y/2，

/.該正方體被平面MNP。所截得的截面面積為2x0=40,

該正方體及其內(nèi)切球被平面MNPQ所截得的截面面積之比為4后:兀，

故選：A

uuniuun

頂點均在球心為。的球面上，點E在AB上，AE=-AB,過點E作球。的截面，則截面

面積的最小值為（）

A.8兀B.10兀C.16KD.24兀

【答案】A

【解析】如圖，因為三棱錐的棱長均為6,所以點尸在平面A5C內(nèi)的射影H是疑。的中

心，

2

取的中點。，連接A。，則點H在上，且

所以瓦）=；3c=3,ADNABZ-BU=3日AH=三AD=26,貝|

PH=NAP2-AH?=2A/6-

設三棱錐P-ABC的外接球半徑為R,則OP=OA=R,

在△AO"中，AH2+（PH-R）2=R2,解得R=±&.

2

uuniuun

因為=所以AE=2,取AB的中點尸，則口=1,且。尸，AB,

所以0萬2=￡廠2+0尸2=石尸2+042_4尸2=12+［乎］-32=.

當過點E的球。的截面與OE垂直時，截面面積最小，

設截面圓的半徑為r,則r'N-OE』,

所以截面面積為S=7t/=8兀.

故選：A.

p

題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題

例4.（2024?福建三明.高一校考階段練習）如圖，在正方體ABCD-AqGR中，AB=2,

M,N分別為AA，qG的中點，E,尸分別為棱A3,8上的動點，則三棱錐

M-NE產(chǎn)的體積（）

Q

A.存在最大值，最大值為］B.存在最小值，最小值為:

4

C.為定值:D.不確定，與E,尸的位置有關

【答案】C

【解析】如下圖，連接在正方體中，M,N分別為AA，

百G的中點;，可得MV〃AB〃CD,DC"平面MEN,所以當尸在棱移動時，尸到平面

MEN的距離為定值，當E在棱AB移動時，E到的距離為定值，所以硒為定值,

則三棱錐M-NE戶的體積為定值.平面MEN即平面M4BN,作CH工BN于H,由于

AB1CH,可得CH_L平面MABN,由ABB^N~ACHB,可得

BB.CH2CH4>/5-j-?1....D..1./r/r

---==>—尸==>CZ/=，而SMEN=—xMNXBN=—X2XA/5=，5,

BNBC425△22

xCH=

VM-NEF二§SyMENi-

故選：c.

例5.（2024?四川成都??？寄M預測）如圖，在四棱柱ABCO-ABC。中，底面ABC。為

正方形，底面A5CD,M=2AB,M、N分別是棱3片、上的動點，且

DV=4”,則下列結論中正確的是（）

A.直線AC與直線MN可能異面

B.三棱錐4-的體積保持不變

C.直線AC與直線所成角的大小與點〃的位置有關

7T

D.直線AD與直線MN所成角的最大值為］

【答案】B

【解析】連接NC,MC,因為四棱柱ABCD-A耳CR中，

DN=B、M,底面ABC。為正方形，44,，底面ABCO

顯然四邊形CM41M為平行四邊形，

所以直線4C與直線MN一定相交，A錯誤;

連接NC1,MC],取AG的中點。，連接NO,M0,

因為NG=M41,MG=2，由三線合一可知：NO±AG-MO^AG，

因為MOcNO=O,所以AG，平面MON,

DN=B1M,

設四邊形D84A的面積為S,貝IJS.MON=；s為定值，

故9-GMN=J-OMN+"G—OMN=為定值，

三棱錐A的體積保持不變，B正確;

ClBi

連接80,BQ,

因為四邊形ABCD為正方形，所以

又DD,±底面ABCD,ACu平面ABCD,

所以。RLAC,

因為BD^DD^D,所以AC,DBBR,

因為MNu平面DBBR,

所以ACLMN,

直線AC與直線所成角的大小與點M的位置無關，C錯誤;

過點N作NH//AD交4A于點H,連接HM,

則為直線AQ與直線MN的夾角，且4HM=90。，

其中tan/HMW=O叫，其中為定值，

NH

故要想直線AD與直線MN所成角的最大，只需最大，

設正方形邊長為m則HN=a,

顯然當N與點2重合，M與8重合時，HM最大,最大值為后不了=氐,

HMl

此時tanN/ZMWu——=>/5,故D錯誤.

例6.（多選題）（2024?福建三明?統(tǒng)考三模）如圖，正方體A3。-A4q。的棱長為2,

點E是AA的中點，點尸是側面A844內(nèi)一動點，則下列結論正確的為（）

A.當尸在48上時，三棱錐歹-CRE的體積為定值

B.CE與B尸所成角正弦的最小值為1

C.過2作垂直于CE的平面。截正方體ABC。-AqGR所得截面圖形的周長為6后

D.當3/LCE時，△3CF面積的最小值為半

【答案】ABD

【解析】對于A選項，連接C2、AtB,如下圖所示:

在正方體ABCD-AqCR中，\DJIBC且A2=BC,

故四邊形A8C2為平行四邊形，所以，A、BHCD\,

因為42<2平面。。4，CRu平面CRE,所以，48〃平面CRE,

當歹在4出上時，點尸到平面CD、E的距離等于點A到平面CRE的距離,

1112

所以，％-c*=5-<?*=匕-&*=§S2Ml*,C￡>=§X5x2x1x2=3,A對;

對于B選項，連接BE,

因為Bbu平面AA由8,所以，CE與即所成的最小角為直線CE與平面A4由8所成的

角，

因為8cl平面9瓦3,所以，CE與平面①瓦B所成角為N3EC,

因為BEu平面,所以，BC1.BE,

因為鹿=JAB2+AE2=&+產(chǎn)=若,BC=2,

所以，CE=yjBC2+BE2=74+5=3>

所以，sinZBEC=g=3,故CE與跖所成角正弦的最小值為B對;

CE33

對于C選項，分別取線段48、AD的中點M、N,連接AC、AG、BR、

BD、MN,D\N、BXM,

因為四邊形A4GR為正方形，則四2±AG,

又因為A4,±平面A4G2,4。u平面aqGA,則用?！繫,

因為A41cAG=a，4C|U平面AAGC,所以，與2,平面441c0,

因為CEu平面A41GC,則CEL與2，

在RtAABE和RuBBtM中，AE=BM,AB=BB},NBAE=/gBM=90°,

所以,RtAABE^RtABBjM,則ZBMBt=ZAEB,

所以，ZABE+ZBMBl=ZABE+ZAEB=90°,則NBOM=90。，即4M，BE,

因為3C工平面4/^^平面的百氏則用WL8C,

因為BCnBE=E,BC、BEu平面BCE,所以，與加，平面BCE,

因為CEu平面BCE,所以，CE±B.M,

因為Af、N分別為AB、A￡＞的中點，則MM/皿，

因為BBJ/DR且BB]=DR,故四邊形3BQ。為平行四邊形，所以，B.DJ/BD,

所以，MNHBR,則N、M、耳、2四點共面，

因為CE_LBQ,CE±B.M,B.Mr\BxD}=B},B}M、BRu平面BRNM,

所以，。石，平面瓦。加0,

過2作垂直于CE的平面a截正方體ABCD-AqG。所得截面，則截面為梯形片2M0,

由勾股定理可得B[M=y]BB；+BM2=722+12=卡,

同理可得=MN=e，B\D\=2叵,

所以，截面周長為4R+MN+4M+RN=20+0+6+石=3夜+2有，C錯；

對于D選項，由C選項可知，CE，平面4RM0,則點F的軌跡為線段用M,

因為平面A44B,防u平面A41百2,則8C_L3R,

當時，4M時，即當點尸與點。重合時，8尸的長取最小值，

kBM-BB,BM-BB.1x22小

此時，BFnin=?..=/~

BMJBM'BB；Vl+45

所以，S&BCF=BFN半,口對?

故選：ABD.

變式5.（多選題）（2024?廣東梅州?統(tǒng)考三模）已知正方體的棱長為2,

。1為四邊形AAGQ的中心，P為線段AQ上的一個動點，。為線段CQ上一點，若三棱

錐。-尸皿的體積為定值，則（）

A.DQ=2QC]B.DQ=QCX

C.O\Q=0D.0,2=73

【答案】BC

【解析】連接AC,交BD于點0,連接。G，

隊G

AB

因為。1為四邊形AAG。的中心，所以AQ//OG,

又OGu平面BDG，AQO平面BDG，所以A。"/平面BDG，

因為三棱錐的體積等于三棱錐尸-。應＞的體積，且為定值,

所以AQ//平面所以平面。8。與平面BDG為同一平面，

所以。為CR與DG的交點，所以。Q=QG，故A錯誤，B正確；

因為正方體的棱長為2,所以qQ=jF+『=0.故C正確，D錯誤.

故選：BC.

變式6.（多選題）（2024?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習）如圖，正方體ABCD-AgGR的

棱長為2,線段瓦。上有兩個動點及/，且EP=0,以下結論正確的有（）

B.A.CLAE

C.正方體ABCD-4BC0的體積是三棱錐A-2EF的體積的12倍

D.異面直線AE,BR所成的角為定值

【答案】ABC

【解析】A：易知。G〃AB,/CQ4=45°,所以京.旗=7^X2XCOS45O=2，正確;

B：建立如圖空間直角坐標系，則C（0,0,0）,A（2,2,2）,A（2,2,0）,〃（2,0,2）,

4（022）,

所以再=（2,2,2）,AD；=（O,-2,2）,=（-2,0,2）,

所以離?值=0,"?折=0,即揖，肛，CA^IAB,',

因為AQcA瓦=A,AQ,A與u平面A。4,

所以4CL平面AR用，又AEu平面所以ACLAE,正確;

C：連接B￡）,AC,交于。，則AC13O,

因為。R_1_平面ABCD,ACu平面ABCD,所以。2-LAC,

又2?？?01=，BD、。2（=平面叫烏￡）,所以AC,平面BBQ。，

所以匕.BEF=gSaBEFXAO=^x^xEFxBB1XABxsin45°=^x^X5/2x2x2x^-=-1,又

CDABXX

%-1Gq=222=8,

所以正方體ABCD-AQG。的體積是三棱錐A-BEF的體積的12倍，正確；

D：當點E在2處，尸為3百的中點時，由正方體性質(zhì)易知AE〃8G，異面直線AE,8尸所

成的角是/EBG，

由2月J.面AUGA,FGu面A4ca，則即，F(xiàn)G，正方形中顯然用。JFG，

BB[cBR=B[,且BB]、耳。1<=面口用瓦），故/G，面2瓦2￡>,Mu面AAB。，

當E在42的中點時，尸在耳的位置，由正方體性質(zhì)易知回//84，異面直線AE,8尸所成

的角是/EM，

由四，面4耳。2，昭<=面44。。|,則故tan/EAAL^3

/i/L

綜上，戶C[=S，BF>BBt=A4,,即tan/FBC尸tanZEAA，即兩個角不相等，錯誤.

變式7.（多選題）（2024?廣東深圳?高三紅嶺中學?？计谀┮阎庵鵄BC-A/8/G的

底面邊長為1,AA/=1,點P滿足而=4前+”西，其中下列選項正確

A.當2=1時，△AB/P的周長為定值

B.當必=1時，三棱錐P-48C的體積為定值

C.當時，有且僅有兩個點尸，使得A/PJ_BP

D.當〃=g時，有且僅有一個點P,使得48,平面AB/尸

【答案】BCD

【解析】因為點尸滿足麗=4就+〃函，其中；le[0』],〃e[0,l],

所以點P在矩形BCGq內(nèi)部（含邊界）.

對于A項，當2=1時，麗=祝+〃甌=麗=〃甌.

即此時Pe線段CG，

因為AP+4尸為變值,

故AABi尸的周長不是定值，故A項錯誤；

對于B項，當〃=1時，BP=ABC+BB^=BB^+AB^,

故此時尸點的軌跡為線段BG，而4G〃BC,所以用￡〃平面A8C,

則點尸到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B項正確;

1—.1—..

對于C項，當2=5時，BP=-BC+]LiBBi,

取3C,8G的中點分別為。，H,則麗=苑+〃函，

所以尸點的軌跡為線段Q",

不妨建系解決，以Q4方向為x軸，QB方向為丁軸，方向為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A倬,0,11,P(0,0,〃)，

I2)\2J

所以郎=[一《,0,〃_11,而

【2J<2>

所以〃=?；颉?1,故”，。均滿足，故C項正確；

對于D項，當〃=!時，BP=XBC+-BB.,

22

取B耳，CG的中點為M,N,BP=BM+AMN，

所以尸點的軌跡為線段肱V,

設P(0,y。,，，因為A[#,O,OJ,

—.(J31)—?(J31,

所以AP=---,y09-,AB二一--,-,-1,

I2k227

311八1

所cr以tI]+a%_]=0n%=_]，

此時點P與N重合，故D項正確.

ZJ

故選：BCD

變式8.（多選題）（2024?福建廈門?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體

ABCO-A4G2中，點尸滿足麗=九豆心+〃甌，其中則（）

B.當幾=；時，有且僅有一個點尸，使得AP工平面A3。

C.當〃=：時，有且僅有一個點P,使得4尸〃AB

D.當彳+〃=；時，三棱錐尸-A3。的體積為定值

【答案】AD

【解析】如圖建立空間直角坐標系，

貝”(1,0,。)出(1,O,1),C(1,1,。),

因為麗=2配+〃函，Ae[o,l],//e[o,l],所以(與-l,yp,Zp)="0,1,0)+〃(0,0,1)

所以「

對于選項A,則2(1,4〃),4(0,0,0),所以1?=(1,4〃),9=Jl+力+),

因為Xe[0,l],〃e[0,l],所以|心區(qū)后,故A答案正確;

對于選項B,4(0,0,1),5(1,0,0),D(0,1,0),48=(1,0,-1),4D=(0,1,-1),

11-1

當4=5時，,AP=(LQ,〃),設面A^BD的法向量為力=(%,y,z),

n-AiB=0fx—z=0

令y=i,所以3=(1』,i)，

n-A^D=0[y-z=0

若AP工平面4肛則而=蘇，=無解，所以不存在點尸，使得AP2平

面48。,故選項B錯誤;

對于選項C,當〃=g時，P(l,4g)，4P=(l,4-f,通=(1,0,0),

若A尸〃AB,則率=加麗，(l,A,-1)=m(l,0,0),無解，所以不存在點P,使得

\P//AB,故C錯誤；

對于選項D,AA加為邊長為夜的等邊三角形，所以S“=gx0x后xg咚,

點P到平面\BD的距離為盟J=|1+”〃|,當2+〃=(時，

l?lV32

點P到平面4出。的距離為定值，則三棱錐尸一的體積為定值，故D選項正確.

故選：AD.

變式9.(多選題)(2024?湖南?校聯(lián)考模擬預測)如圖，ABCD-AB'C'D'為正方體.任作平

面a與對角線AC'垂直，使得a與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形

的面積為S,周長為/.則()

A.S為定值B.S不為定值C./為定值D./不為定值

【答案】BC

【解析】將正方體切去兩個正三棱錐4-ABD與C'-OFC后，得到一個以平行平面A3。

與DB'C為上、下底面的幾何體V,

在上取一點E',作E7〃3'D,E'S//AB,再作7M//AD,MR//CD',QSI/B'C,

則六邊形E'TMRQS即為平面a,

V的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊

平行,

將V的側面沿棱A的剪開，展平在一張平面上，得到一個平行四邊形A2坦A,

而多邊形卬的周界展開后便成為一條與A'A平行的線段（如圖中￡罵），顯然E￡=A4,

故/為定值.

當￡位于A0中點時，多邊形W為正六邊形，而當E移至A處時，W為正三角形,

易知周長為定值/的正六邊形與正三角形面積分別為芻2與今2,故S不為定直

BfCDf

EZS；

f

A^——BDA]

故選：BC

變式10.（多選題）（2024?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考模擬預測）已知三棱錐

P-ABC,PA=BC=2,PB=AC=PC=AB=3,。為棱PC上一點，且尸￡>=XOC,過點

。作平行于直線外和BC的平面。，分別交棱尸氏AB,AC于耳尸,G.下列說法正確的是

B.四邊形OE/G的周長為定值

C.四邊形的DEFG面積為定值

D.當4=1時，平面a分三棱錐尸-ABC所得的兩部分體積相等

【答案】ABD

【解析】取BC的中點連

因為AB=AC,PB=PC,所以AHJ_3C,PHIBC,

因為AHcPH=H,A",尸"u平面PA”，

所以3cl平面PAH,因為Blu平面PAH,所以3cle4,

因為上4〃c,PAu平面PAC,平面P4Cna=DG,

所以R4//DG,同理可得RV/EF,BC//DE,BC//FG,

又因為所以DELDG,EF±DE,EFLFG,DGLFG,

所以四邊形DEFG為矩形，故A正確；

因為PA—BC=2,PB=AC=PC—AB—3,PD=ADC,

2

所以PC=(4+1)DC,因為ZJG〃巴4,所以上4=(2+1)DG,所以防=OG=——,同理

2+1

可得。石=尸6=——,

丸+1

442

所以四邊形。EFG的周長為2跖+2。石=「+-=4為定值，故B正確；

2+11+2

92夕A1

四邊形的DEFG面積為EFDE=——=C一;不是定值，故C不正確；

當4=1時，D,E,F,G分別為棱PC,PB,AB,AC的中點，

多面體BCDEFG的體積為眩-BCF+^C-DEFG=P-BCF^C-DEFG=~^P-ABC^C-DEFG，

多面體PADEFG的體積為VA.PDE+VA_DEFG=A-PBC+VA.DEFG，

因為％-ABC=Kl-PBC，Vc-DEFG=^A-DEFG，

多面體BCDEFG的體積等于多面體PADEFG的體積，即平面a分三棱錐P—ABC所得的兩

部分體積相等，故D正確.

故選：ABD

變式1L（多選題）（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預測）在正方體中，點P滿足

BP=XBC+/JBBX,其中2?0』],^e[0,l],則下列說法正確的是（）

A.當彳=〃時，AP〃平面ACQ

B.當〃=1時，三棱錐尸-A5C的體積為定值

C.當2=1時，△P2D的面積為定值

TTTT

D.當彳+〃=1時，直線與2P所成角的取值范圍為y,-

【答案】ABD

【解析】對于A選項，如下圖，當九=〃時，P點在面對角線BG上運動，

又Pe平面AGB,所以APu平面AGB,

在正方體4BCO-A耳GR中，?.?43〃62且43=62,則四邊形為平行四邊形,

所以，M//BG，?.?/12cz平面ABC，26匚平面426，，42〃平面42（?1,

同理可證AC//平面426，

VAr>,nAC=A,所以，平面AGB〃平面AC2，

???A/U平面ABG，所以，4尸〃平面AC2,A正確;

對于B選項，當〃=1時，如下圖，尸點在棱4G上運動，

三棱錐尸-ABC的體積=〃“BC=：S躅c-Aq為定值，B正確;

對于C選項，當；1=1時，如圖，尸點在棱CQ上運動，過尸作PELBD于E點,

則其大小隨著PE的變化而變化，C錯誤;

對于D選項，如圖所示，當幾+〃=1時，P,C,q三點共線,

因為A片〃C。且=8,所以四邊形44CD為平行四邊形，所以

所以NDJBi或其補角是直線\D與2P所成角,

TT1T

在正△A4C中，/R尸4的取值范圍為y,-,D正確.

故選：ABD.

題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題

例7.（2024福建福州?福州四中?？寄M預測）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框

架A3C2ABE尸的邊長均為2,活動彈子N在線段A3上移動（包含端點），彈子M,。分

別固定在線段石尸，AC的中點處，且“0,平面ABCD,則當/MNO取最大值時，多面體

M-BCQN的體積為（）

A6R3石「有26

A?D.U.Un.-------

2233

【答案】A

【解析】因為MOL平面A3CD,ONu平面A5CO,所以MOLON,

所以AAWO為直角三角形，所以當NO最短時，/MNO取最大值，

即NOJ_AB時，/MNO取最大值，

因為"，。分別固定在線段所，AC的中點處，

所以ON=1,M7V=2,所以cos/M2Vo=絲=,，

MN2

因為/MNO為銳角，所以NMNO=60。，所以OM=百，

所以多面體M-BCON的體積為V=；x；（l+2）xlx石=#,

故選：A

例8.（2024.山東青島.高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體

積為36兀，則該正四棱錐的體積最大值為（）

A.18B.—C.—D.27

34

【答案】B

【解析】如圖，設正四棱錐的底面邊長AB=2a,高PO=h,外接球的球心為則

0D=\/2a，

4

因為球的體積為1無36無，所以球的半徑為R=3,

在中，MD2=OD2+OM2,即3?=2/+（〃-3）2,

所以正四棱錐的體積為卜=；S〃=gx4a2/2=g[9-（/7-3）2]/7

2

整理得丫=一§〃+4/（〃>0）,則1，=-2/+8//=-2/2（/7-4）,

當0<力<4時，V>0,當/z>4時，V'<0,

9

所以V=一§川+4*（〃>0）在（0,4）上遞增，在（4,+co）上遞減,

所以當場=4時，函數(shù)取得最大值-2x43+4x4?=空，

33

故選：B

例9.（2024.陜西西安?西安市大明宮中學?？寄M預測）已知正方體ABCD-A耳￡0的棱

長為2拒，尸是正方形（含邊界）內(nèi)的動點，點尸到平面A出。的距離等于冥1,則

3

2P兩點間距離的最大值為（）

A.2x/3B.3C.38D.276

【答案】D

【解析】由題意可知：BIC=AB=AD=BD=4,BQ=2遍,

設三棱錐用-A2D的高為"

因為！.4皿=%一4q8，貝1］工文/7義工義4義4義也=」義2應、工義2&、2后，

32232

解得場=羋，即點用到平面ABD的距離等于越，

33

又因為44〃co,且44=CD,則四邊形4四8為平行四邊形，則A。〃4C,

AOu平面ABD,4Cu平面AB。，所以qc〃平面4以九

即點p的軌跡為線段與c,

因為平面24GC,4Cu平面BqGC,所以CO,4C,

在Rt△耳CD中，D,P兩點間距離的最大值為。4=2#.

故選：D.

變式12.(2024?河南?校聯(lián)考模擬預測)點P是圓柱上底面圓周上一動點，AABC是圓柱下

底面圓的內(nèi)接三角形，已知在AASC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若

c=2,C=60°,三棱錐P-ABC的體積最大值為gg,則該三棱錐外接球的表面積為

()

,19r28-53r43

A.—71B.-71C.—71D.—71

3393

【答案】B

【解析】在AABC中，由余弦定理可得

4=c2=a2+b2—2aoeosC=a2-^-b2—ab>2ab—ab=ab,

即次?W4,當且僅當a=Z?=2時，等號成立，

所以，S.ABr=—absinC=^-ab<^-x4=y/3，

△ABC244

設圓柱的高為3則%ABC4且力，

1—/loC3Z\/1DC3

/II

/II

1/I?I\

I\

/I

/\B\

/居二於J

c

因為三棱錐的P-A3c體積的最大值為述，則走〃=2叵，所以，h=2,

333

222r

圓柱底面圓半徑廠=o.60=F=、3,

2sin60733

設三棱錐尸-ABC的外接球的半徑為H,則該三棱錐的外接球和圓柱的外接球為同一個

球，

則★='1+/=]+[￥]=Z,因此，三棱錐外接球的表面積為4兀尺2=事兀.

故選：B.

變式13.（2024.貴州畢節(jié).?？寄M預測）如圖，A3是半球的直徑，。為球心，AB=2,P

為此半球大圓弧上的任意一點（異于A8）,P在水平大圓面493內(nèi)的射影為。，過。作

QR_LA5于R,連接尸尺。尸，若二面角P-鉆-。的大小為三，則三棱錐尸-OQR的體積

的最大值為（）

【答案】A

【解析】由P。/平面ABQ,ABu平面AB。，得尸。工A8,

又「?？凇３?。，尸。，。氏匚平面尸。尺，于是平面PQR,

7T

PRu平面PQR,有因此ZPR。為二面角尸一AB-Q的平面角，即/PRQ=§,

設PR=2a,則PQ=#a,QR=a,在RtZ\OPQ中，0尸=1,OQ=y]l-3a2;在RtVORQ

中，<77?=V1-4a2>

則V