2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：直線的方程

第57講直線的方程

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線/與X軸相交，則以X軸正方向?yàn)槭歼叄@交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與/重合所成的角

稱為直線/的傾斜角，通常用西分，7,..表示

（1）若直線與x軸平行（或重合），則傾斜角為0

（2）傾斜角的取值范圍ee[O,萬(wàn)）

2、直線的斜率

設(shè)直線的傾斜角為夕，則a的正切值稱為直線的斜率，記為左=tana

（1）當(dāng)&=工時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率

（3）斜率與傾斜角都是刻畫(huà)直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣

（與直線方程相聯(lián)系）

（4）網(wǎng)越大，直線越陡峭

（5）傾斜角a與斜率％的關(guān)系

當(dāng)左=0時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；

當(dāng)左＞0時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨左的增大而增大；

當(dāng)左＜0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角左隨的增大而減??；

3、過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式

已知直線上任意兩點(diǎn)，A（X1,%）,必）貝麟=之——

馬一再

（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān).

（2）若占=尤2，則直線鉆的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90。

4、三點(diǎn)共線.

兩直線AB,AC的斜率相等-4B、C三點(diǎn)共線；反過(guò)來(lái)，AB、C三點(diǎn)共線，則直線

AB,AC的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在.

知識(shí)點(diǎn)二：直線的方程

1、直線的截距

若直線/與坐標(biāo)軸分別交于（。,0）,（0,》），則稱a,6分別為直線/的橫截距，縱截距

（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可為0（不要顧

名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）

（2）橫縱截距均為。的直線為過(guò)原點(diǎn)的非水平非豎直直線

2、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)-y^k^x-x^不含垂直于無(wú)軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y一必二

兩點(diǎn)式不含直線元=者（占…）和直線y=x（x片%）

截距式2+2=1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

(A2+B20)

3、求曲線（或直線）方程的方法：

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直

接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線

方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）

4、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若點(diǎn)《，鳥(niǎo)的坐標(biāo)分別為（占，%）,（%,為）且線段￡￡的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（尤，y），則

<2，此公式為線段打8的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

[2

5、兩直線的夾角公式

若直線y=0+々與直線y=5瓦的夾角為a,則tan"葭

必考題型全歸納

題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算

例1.（2024.四川眉山.仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè)）己知a是直線x—2y+3=。的傾斜角，則

A/2sincr+—+sincr,,、

I4）的值為（z）

cosla

A.1B.拽4A/5n375

LJ.--------

3320

【答案】B

【解析】法一：由題意可知=；12

tana（a為銳角）,sm?=-^=cosy,

c^sina+—+sina..“u,/

八2.3I4/sina+cosa+sina454,

cos2a=cosa-sin2a=—,----------------------------=--------------------------=—r=x—=——

5cos2acos2。J533

法二：由題意可知tana=；,（a為銳角）.?.cosa=2sina,sina=[,

A/2sina+—\+sina

I4J_sincr+cosa+sma4sin<7_4_4^/5.

cos2acos2cr-sin2a3sin2a3sina3

故選：B.

例2.（2024.重慶?重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線/的一個(gè)方向向量為

P=lsiny,cos-I,則直線/的傾斜角為（）

71一兀一2兀一4兀

A4.—B.—C.—D.—

6333

【答案】A

兀

cos-h

【解析】由題意可得：直線/的斜率左=-3-=^-=tan^，即直線/的傾斜角為

sin"366

3

故選：A

例3.（2024.江蘇宿遷.高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過(guò)4-1,3）,3（6,-6）兩

點(diǎn)的直線的傾斜角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【解析】經(jīng)過(guò)A（-l,3）,8（6-揚(yáng)兩點(diǎn)的直線的斜率為工=-V3，

-1-V3

因?yàn)橹本€的傾斜角大于等于0。小于180。，

故經(jīng)過(guò)4-1,3）,8（石,-百）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是120。，

故選：D

變式1.（2024.全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，若直線4,J4的斜率分別為匕&人，則（）

A.kx<k3<k2B.&<K<右

C.kx<k2<k3D.k3<k2<k{

【答案】A

【解析】解析設(shè)直線乙4/的傾斜角分別為

則由圖知?！鉽%<%<90。<a{<\80°,

所以tanax<0,tana2>tan%>0,

即上iv0,左2>%>0.

故選：A

變式2.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）直線>=-6+3的傾斜角為（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】C

【解析】直線>=一瓜+3的傾斜角為a,因?yàn)橹本€的斜率為k=tana=-迅,

(F?a180，所以。=120。.

故選：c.

變式3.（2024?全國(guó)?高二課堂例題）過(guò)兩點(diǎn)A（4,y）,3（2,-3）的直線的傾斜角是135。，則

y等于（）

A.1B.5C.—1D.—5

【答案】D

【解析】由斜率公式得心B=2上9=9,且直線的傾斜角是135。，

AB4-22

所以配=tanl35°=-l,即苫1=一1,解得y=-5.

故選：D.

變式4.（2024.高二課時(shí)練習(xí)）直線/經(jīng)過(guò)4（2,1）,?。﹥牲c(diǎn)，那么直線/的斜

率的取值范圍為（）.

A.（0,1]B.（-co,l]C.（-2,1]D.[l,+oo）

【答案】B

【解析】勺=*1=1_療41,故那么直線/的斜率的取值范圍為（-②』.

故選：B

變式5.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)一尤2的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)，則在此動(dòng)點(diǎn)處

切線的傾斜角的取值范圍為（）

「3兀[「兀）「3兀A

A.0,——B.0,—U-r■，兀

L4JLL4）

c-?匕3兀T1Dc.匕「兀彳3兀]

【答案】B

【解析】設(shè)切線的傾斜角為則ae[0,兀），???/'（力=/-2X=（X—1）2—GT,

二切線的斜率左=tanaN-l,則ce。，"|）.

故選：B

【解題方法總結(jié)】

正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式左=比』，根據(jù)該公

xl—x2

式求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率，當(dāng)占=%，%*%時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角為90,求斜

率可用々=tana(aw90),其中a為傾斜角，由此可見(jiàn)傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割.牢

記“斜率變化分兩段，90是其分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.這可通過(guò)畫(huà)正切

函數(shù)在上的圖像來(lái)認(rèn)識(shí).

題型二：三點(diǎn)共線問(wèn)題

例4.(2024?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知三點(diǎn)(2,-3),(4,3),(5,在同一條直線上，則實(shí)數(shù)左

的值為()

A.2B.4C.8D.12

【答案】D

幺-3

【解析】由題意，三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的直線斜率相等，得3-(-3)解得左=12.

4-2-5-4

故答案為：D.

例5.(2024?遼寧營(yíng)口?高二?？茧A段練習(xí))若三點(diǎn)A(0,8),C(〃7,T)共線，貝i]

實(shí)數(shù)加的值是()

A.6B.-2C.-6D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)槿c(diǎn)4(0,8),8(-4,0),C(機(jī)T)共線,

所以^AB=&BC，

可徨8一°O

可侍：0-(Y)--4-,n'

4

即F一=2,解得〃?=-6；

-4-m

故選：C

例6.(2024?重慶渝中?高二重慶復(fù)旦中學(xué)?？茧A段練習(xí))若三點(diǎn)〃(2,2),N(?,

0),Q(0,b),(ab^O)共線，則1+'的值為()

ab

A.1B.—1C.—D.—

22

【答案】C

【解析】因?yàn)槿c(diǎn)M(2,2),N(〃，0),Q(0,8),(必。0)共線，所以

—,即必=2(°+力，所以故選c.

2-a2-0abz

變式6.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若平面內(nèi)三點(diǎn)A（l,-a）,BQ,/）,c（3,/）共線,

則a=（）

A.1±近或0B.三叵或0

C.注^D.竺^或0

22

【答案】A

23

【解析】由題意知fc4B=fc4C,即“,即以區(qū)―2。-1）=0,解得。=?；?。=1土

2-13-1

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

斜率是反映直線相對(duì)于x軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變,

即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等.這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因.

題型三：過(guò)定點(diǎn)的直線與線段相交問(wèn)題

例7.（2024?吉林?高三?？计谀┮阎c(diǎn)A（1,3）,B（-2,-1）.若直線/:y=Mx-2）+1與線段

相交，則％的取值范圍是（）

A.k>-B.k<-2

2

C.k>-^k<-2D.-2<k<-

22

【答案】D

【解析】由已知直線/恒過(guò)定點(diǎn)P（2,l）,

如圖所示，若I與線段AB相交，則kPA<k<kPB,

￡

2

所以一2必或

故選:D.

例8.（2024?高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)〃（2,-3）和N（-3,-2）,直線/：>=依-a+1與線段MN

相交，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

33

A.—或。B.-4<a<—

44

33

C.-<a<4D.——<a<4

44

【答案】A

【解析】直線/方程可整理為：y=a（x-l）+l,則直線/恒過(guò)定點(diǎn)

3

.直線/與線段"N相交，，直線/的斜率aVT或

4

故選：A.

例9（2024.全國(guó).高三專題練習(xí)）已知4（2,0）,3（0,2）,若直線y=左（％+2）與線段有

公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[l,+oo）

C.[0,1]D.（-<?,-l]u[l,+oo）

【答案】C

【解析】由于直線>=左"+2）的斜率為后，且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2,0）,設(shè)此定點(diǎn)為“.

而直線的斜率為輸=告9=0,直線MB的斜率為布=o：j：）=l，

要使直線>=%（》+2）與線段A8有公共點(diǎn)，只需。外4L

故選：C.

變式7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（-2,3）,B（3,2）,若直線辦+y+2=0與線段

A3沒(méi)有交點(diǎn)，則。的取值范圍是（

54

C.

253

【答案】B

【解析】直線辦+>+2=0過(guò)定點(diǎn)C（0,—2）,M^c=-|,^c=|,

由圖可知直線與線段A3沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，斜率-。滿足-弓5<-a<：4,

變式8.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線x-ay+2a=0和以M（3,5）,N（4,-2）為端點(diǎn)的

線段相交，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<lB.-\<a<\

C.〃4一1或D.。（一1或aZl或a=0

【答案】C

【解析】直線X-金+2“=0,即x+a（2-y）=0,其恒過(guò)定點(diǎn)A（0,2）,

根據(jù)題意，作圖如下:

4

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)N時(shí)，其斜率取得最小值三=-1,

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)M時(shí)，其斜率取得最大值1,

故-1W—解得a￡（—oo,—1]D[1,+OO）.

故選：C.

變式9.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A（2,-3）,B（-3,-2）,直線/過(guò)點(diǎn)尸（1,1）且與線段

相交，則直線/的斜率上的取值范圍是（）

33

A.k<-4^k>—B.-4<k<—

44

143

C.k<——或D.——<k<4

434

【答案】A

【解析】如圖，%=：其=]，由題可知應(yīng)滿足％同理L=lzV=_4,由題可知

1-（-3）441-2

應(yīng)滿足kWY.

故選：A

變式10.(2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考)已知點(diǎn)尸若直線/：X+,股+帆=0與PQ

的延長(zhǎng)線(有方向)相交，則加的取值范圍為.

【答案】卜,-g)

【解析】如下圖所示，

由題知=百刁二§，

直線x+“y+m=。過(guò)點(diǎn)M(0,T).

當(dāng)機(jī)=。時(shí)，直線化為兀=0,一定與PQ相交，所以相。0,

當(dāng)相片0時(shí)，k,=--,考慮直線/的兩個(gè)極限位置.

m

①/經(jīng)過(guò)。，即直線乙，則舄=2-(-1)=3；

1,2-02

②/與直線尸。平行，即直線4,則與=即。=：，

因?yàn)橹本€/與尸。的延長(zhǎng)線相交，

所以:解得一3＜根＜一彳，所以機(jī)e-3,-彳.

3m23\5J

故答案為：

變式11.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知A(-L2),3(2,4),點(diǎn)尸(x,y)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),

則上的取值范圍是.

X

【答案】(-8,-2][2,+8)

【解析】如圖所示：

因?yàn)锳(-L2),5(2,4),

2-04-0

所以=

-1-02^6

=y-o=y

x-0x

因?yàn)辄c(diǎn)尸（無(wú),＞）是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，

所以k=-e(—oo,—2][2,+co).

OPx

故答案為：(-，-2][2,+8)

變式12.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用（%,y）在線段上運(yùn)動(dòng),已知A（2,4）,B（5,-2）,

則空的取值范圍是_____.

X+1

【答案】一］3

63

【解析】岑表示線段A3上的點(diǎn)與C（—I,—1）連線的斜率,

,4-(-1)5-2-(-1)1

因?yàn)閊AC=------=—,=-------=---

AC2-(一1)3BC5-(-1)6

所以由圖可知空的取值范圍是.

x+163_

故答案為：一

【解題方法總結(jié)】

一般地，若已知A（石,%）,5（%2，%），尸（%，%），過(guò)尸點(diǎn)作垂直于8軸的直線/'，過(guò)P點(diǎn)的

任一直線/的斜率為k,則當(dāng)/'與線段AB不相交時(shí)，上夾在心A與原B之間；當(dāng)/'與線段AB

相交時(shí)，左在左PA與左躅的兩邊.

題型四：直線的方程

例10.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))過(guò)點(diǎn)(1,2)且方向向量為(-1,2)的直線的方程為()

A.2x+y-4=0B.%+y-3=。

C.x-2y+3=0D.x—2y+3=0

【答案】A

2

【解析】由題意可知直線的斜率％=彳=-2,由點(diǎn)斜式方程得，

所求直線的方程為＞-2=-2(》-1),即2x+y-4=0.

故選：A

例11.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))過(guò)點(diǎn)4(1,4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該

直線方程為()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4x-y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或x-y+3=O

【答案】D

【解析】解法一當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為y=4x,即4x-y=0；

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為二+上=1(。二。)，

a—a

因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)4(1,4),所以工-3=1,

aa

解得〃=—3,此時(shí)直線方程為尤7+3=0.

故選：D.

解法二易知直線斜率不存在或直線斜率為。時(shí)不符合題意.

設(shè)直線方程為y-4=k(x-l)(kw0),

4

則x=0時(shí)，y=4-k,y=。時(shí)，x=l——,

k

4

由題意知1—7+4—％=0,

k

解得左=4或左=1,即直線方程為尸4%或%—y+3=0.

故選：D.

例12.（2024?吉林白山?撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)方程二=2表示的圖形，下列

敘述中正確的是（）

A.斜率為2的一條直線

B.斜率為-;的一條直線

C.斜率為2的一條直線，且除去點(diǎn)（-3,6）

D.斜率為的一條直線，且除去點(diǎn)（-3,6）

【答案】C

【解析】方程上4=2成立的條件知

當(dāng)時(shí)，方程變形為y-6=2（x+3）,由直線方程的點(diǎn)斜式知它表示一條斜率為2的直線,

但要除去點(diǎn)（-3,6）,

故選:C

變式13.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（-1,0）且傾斜角為60。的直線的方程是

（）

A.y/3x—y—1=0B.y/3x-y+=0

C.V3x-y-^3=0D.x-V3_y+1=0

【答案】B

【解析】由傾斜角為60。知，直線的斜率上=若，

因此，其直線方程為y-0=石（x+1）,即氐-y+指=0

故選：B

【解析】當(dāng)a>0時(shí)，直線y=ax+，的斜率a>0,該直線在丁軸上的截距工>0,

aa

故選：A.

變式15.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)直線辰-丫+4-左=0在兩坐標(biāo)軸上的截距

都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（）

A.x-2y-7=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】C

【解析】直線區(qū)-y+4-左=0可變?yōu)镸x-l）-y+4=0,所以過(guò)定點(diǎn)P（l,4）,又因?yàn)橹本€

日-y+4-左=。在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知左<0,

令x=0,y=4d,所以直線與y軸的交點(diǎn)為4（0,4-％）,

令y=0,x=l-g,所以直線與x軸的交點(diǎn)為

所以4_4+1_\=5+（_4）+[_（）25+2/（_4）[_3[=5+4=9,

4

當(dāng)且僅當(dāng)-％=-：即左=-2時(shí)取等，所以此時(shí)直線為：2x+y-6=0.

k

故選：C.

Z7C

變式16.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線/的方程丫=-丁x-7中，ab>0,ac<0,則

bb

此直線必不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由y=—■—必>0,ac<Q,

bb

知直線斜率左=-/<0,在y軸上截距為-￡>0,

bb

所以此直線必不經(jīng)過(guò)第三象限.

故選：c

變式17.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線/的傾斜角為60,且/在y軸上的截距為

-1,則直線/的方程為（）

A.y=--x-\B.y=尤+1

3.3

C.y=y/3x-1D.y=~j3x+1

【答案】C

【解析】因?yàn)橹本€/的傾斜角為60,所以直線/的斜率k=tan60=百，

又直線I在y軸上的截距為-1,所以直線/的方程為y=氐-1；

故選：C

【解題方法總結(jié)】

要重點(diǎn)掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問(wèn)題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方

程的幾種形式，尤其是點(diǎn)斜式、斜截式和一般式.

題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題

例13.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-2,2）,并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三

角形面積為1,則此直線的方程為.

【答案】x+2y-2=0或2x+y+2=0

【解析】由題意可知該直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且存在斜率且不為零，

所以設(shè)直線方程為泊=1,因?yàn)樵撝本€過(guò)點(diǎn)A（-2,2）,

所以有--+2=1n2a-26=,

ab

因?yàn)樵撝本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,

所以有；|國(guó)=1=>?！?2,或次;=一2,

當(dāng)ah=2時(shí)，2a—2b=2na=b+lnb（b+l）=2nb=l,或Z?=—2,

當(dāng)〃=1時(shí)，a=2,止匕時(shí)方程為：—+-^—1=>VV+2y—2=0,

當(dāng)Z?=—2時(shí)，〃=—1,止匕時(shí)方程為：=1=>2x+y+2=0,

當(dāng)必=—2時(shí)，2a—2b=—2=>a=b—1=>Z?9—1)=—2=>/?￡0,

故答案為：x+2y-2=0或2無(wú)+y+2=0

例14.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知直線/過(guò)點(diǎn)加(2,1),且分別與x軸的正半軸、y軸

的正半軸交于A,B兩點(diǎn),。為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線/的方程為.

【答案】x+2y-4=0

【解析】法一，利用截距式設(shè)出直線方程，再利用基本不等式求面積最小時(shí)的直線方程；

法二顯然上存在，設(shè)/：y-1=%(%-2)(其中左<0)求出A3坐標(biāo)，然后求解三角形的面積，

再利用基本不等式求解面積的最小值時(shí)的直線方程.法一設(shè)直線/：-+^=1,且。>0,b

ab

2121

>0,因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)所以—I--=1,貝！J1=—F—>2./—,故〃尼8,

abab\ab

故的最小值為g><a6=gx8=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2=：=；時(shí)取等號(hào)，此時(shí)。=4,6=2,

abz

故直線/：；+5=1，即尤+2廠4=0.

法二設(shè)直線/的方程為y—1=網(wǎng)X一2)(左<0),,8(0,1—2與，

SAAOB=^(1—2?(2-￡|=44+(7k)+[一：]>|(4+4)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)一4左=一?，即上=一J時(shí)，等號(hào)成立，

k乙

故直線I的方程為1=-yQ—2),即x+2y—4=0.

故答案為：x+2.y-4=0.

例15.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知直線/的方程為：

(2+7H)x+(l-2〃?)y+(4-3m)=0.

(1)求證：不論加為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)M；

(2)過(guò)點(diǎn)M引直線4,使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求4的方程.

【解析】(1)證明：直線/的方程為：(2+〃7)%+。一2〃7)〉+(4-3機(jī))=。

，提參整理可得：(x-2y-3)m+2x+y+4=0.

人[fx2x—+2y—+34==00,可,得[x?==—一\2’

.?.不論加為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)

(2)設(shè)直線《的方程為丫=左(》+1)-2(左<0).

令y=0,貝|]x=一，

-k

令兀=0,.貝|y=Z—2,

???直線4與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積

S=曰曰1=小/+3+4卜十卜).臼+4)=4.

4

當(dāng)且僅當(dāng)此=<，即々=-2時(shí)，三角形面積最小.

-K

此時(shí)4的方程為2x+y+4=0.

變式18.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))直線/過(guò)點(diǎn)”(L2),且分別與龍,>軸正半軸交于A、B

兩點(diǎn)，。為原點(diǎn).

⑴當(dāng)_AQ?面積最小時(shí)，求直線/的方程；

⑵求|翻+2|0目的最小值及此時(shí)直線/的方程.

【解析】(1)設(shè)直線/：土+；=1,且。>0力>0

ab

:直線過(guò)點(diǎn)(1,2)

.--+1=1^1=-+|>2K

abab\ab

/.公當(dāng)且僅當(dāng)±1=*2即。=2/=4時(shí)取等號(hào)

ab

所以sABO的最小值為;=4,

M/：-+-=l即2x+y-4=0.

24

i2

⑵由⑴一+：=1,

ab

：.\OA\+2\OB\=a+2b=(a+2b)^-+^=5+—+—>9,

當(dāng)且僅當(dāng)竺=學(xué)即。=>=3時(shí)取等號(hào)，

ab

???止匕時(shí)直線/：%+y-3=o,

故|Q4j+2|OB|的最小值為9,此時(shí)直線I的方程x+y-3=0.

變式19.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/過(guò)定點(diǎn)尸(3,2),且

與x軸的正半軸交于點(diǎn)與＞軸的正半軸交于點(diǎn)N.

(1)當(dāng)PATPN取得最小值時(shí)，求直線/的方程；

(2)求△MON面積的最小值.

【解析】(1)設(shè)直線/的傾斜角為萬(wàn)-6(6為銳角)，

由P點(diǎn)做x軸，y軸垂線，垂足分別為E,F,貝|PE=2,PF=3,

PF2PF3

PM=------=-------,PN=-------=-------,

sin6sin6cos0cos0

3212

貝尸=---------=-----,

cos。sin。sin20

n

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

此時(shí)直線/的方程為y=r+5；

20

(2)矩形。"面積為3x2=6,S=------,S=—tanO,

APEMtana&PFN2

92

S&MON=6+—tan61+---^12,

2tan6*

2

當(dāng)且僅當(dāng)tan。=：時(shí)取等號(hào)，

所以△A/ON面積的最小值為12.

變式20.(2024?北京懷柔?高二北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？计谥?已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)

尸(2,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線/過(guò)點(diǎn)。(-2,0),求直線/的方程，并求直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積;

(2)如果直線I在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為8,求直線I的方程.

72—01i、

【解析】(1)由題意得：直線/斜率左二西百=5，，直線/方程為：y=1(%+2),即

x-2y+2=0；

當(dāng)％=0時(shí)，y=l；當(dāng))=。時(shí)，x=-2；

與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S=；x2xl=l.

(2)由題意知：直線/在兩坐標(biāo)軸的截距不為0,可設(shè)/:二+；=1,

ab

〃+Z?=8(.

IQ=4xv

則22,解得：7一.?./弓+方=1,即％+y—4=0.

b

變式21.(2024?高二單元測(cè)試)已知直線/過(guò)點(diǎn)尸(4,3),與x軸正半軸交于點(diǎn)4、與y軸正

半軸交于點(diǎn)B.

(1)求OAB面積最小時(shí)直線/的方程(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))；

(2)求1PAM尸的最小值及取得最小值時(shí)I的直線方程.

【解析】(1)設(shè)/的方程為二+；=1(。＞0,6＞。)，由直線過(guò)點(diǎn)~4,3)知3+：=i,即

abab

3a+4b=ab,由基本不等式得3〃+4b=22&2〃。，BPab＞48,當(dāng)且僅當(dāng)〃=8*=6時(shí)

等號(hào)成立，

又知A(a,0),B(O,b),所以S224,。=8,6=6時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)/直線的方程為?

oO

即,Q4B面積最小時(shí)直線/的方程為3x+4y-24=0.

(2)易知直線/的斜率存在，所以可設(shè)直線/的方程為V-3=左(》-4)(左＜0),所以得

《4一*0),B(0,3-4k),所以|尸川=J*+9,|PB|=-6+162,得

\PA\-\PB\=J修+9)(16+16/)=12亞+〉2＞12A/2+2=24,等號(hào)成立時(shí)有k

E=看,得左=—1,

此時(shí)直線的方程為k3=-(尤-4),即x+y-7=0.

故|以|?|1的最小值是24,取最小值時(shí)直線I的方程是x+y-7=0.

變式22.(2024.江西吉安?高二吉安一中?？茧A段練習(xí))過(guò)點(diǎn)M(4,3)的動(dòng)直線/交x軸的正

半軸于A點(diǎn)，交y軸正半軸于8點(diǎn).

(I)求ACMBIO為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S最小值，并求取得最小值時(shí)直線/的方程.

(II)設(shè)P是AQ4B的面積S取得最小值時(shí)AO4B的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求

u=\Pd\+|PA|2+回「的取值范圍.

【解析】(I)設(shè)/斜率為％,則/:y-3=「(x-4)得4(4—工0),3(0,3—4矽(k<0).

k

1131「9

S=-|OA|.|OB|=-(4--)(3-4Z:)=12+-16(-/:)+-->24,

22k2|_(-k)_

93

由16(-左)=__nk=――,/.5=24,Z:3x+4y-24=0.

k4min

(II)AQ4B面積S最小時(shí),A(8,0),B(0,6),|AB|=10,

直角AQ4B內(nèi)切圓半徑r=g(a+6-c)=2,圓心為0(2,2),

內(nèi)切圓方程為(L2)2+(y—2)2=4

設(shè)P(x,y),貝!]/+/—4丈一4>+4=0,其中0<xV4.

U=\PO^+|PA|2+|PB|2=X2+y2+(x-S)2+y2+x2+(y-6)2=

3￡+3/—i6x-12y+100=88—4x(0<x<4),當(dāng)％=0時(shí)，Uma=S8,當(dāng)無(wú)=4時(shí)，

〃加=72

.?.U的范圍是[72,8司

變式23.(2024?河南洛陽(yáng)?高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知直線/：

kx—y+\+2k=0.

(1)求/經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)P;

(2)若直線/交X軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)5.

①「AC?的面積為S,求S的最小值和此時(shí)直線/的方程；

②當(dāng)尸A+；依取最小值時(shí)，求直線/的方程.

【角軍析】(1)由履一y+1+2k=。可得：上(x+2)+l—y=。，

fx+2=0[x=—2/、

由1_y=0可得jy=l'所以/經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)尸(—24)；

(2)直線/：Ax-y+1+2左=0,

—1—7^

令％=0可得y=l+2左；令y=。，可得力=—-—,

k

所以《三竺,0]80,1+2%)

土生＜0

由jk可得：左＞0,

1+2Q0

①，AOB的面積5=；^^|1+2用=["+2](1+24)=；[4+；+4左

ZK乙)Z'/C

當(dāng)且僅當(dāng);=4左即A=:時(shí)等號(hào)成立，S的最小值為4,

此時(shí)直線/的方程為：gx-y+2=0即x-2y+4=0；

JT12

②設(shè)直線/的傾斜角為。，則0＜。＜大，可得尸A=—,PB=——

2smacosa

04.1OD1,1sina+cosa

所以PA+—PB=—--------1-----------=-；---------，

2smacosasmacosa

令%=sina+cosa=y/2sin[a+：),

因?yàn)?＜。＜巴，可得工va+女〈包，也＜sin[a+Ml,

24442＜4j

t=&sin(a+

將/=sina+cosa兩邊平方可得：t2=(sina+cos&y=l+2sin2.cosa,

所以sinacosa=------,

2

?1ccsina+cosatIt2

PA+—PB----------------=-------=-------=------

所以2sinacosat2-It2-1.1,

------i—

2t

因?yàn)椋?/」在(1,回上單調(diào)遞增，所以0＜一〈孝

y=~l-^,所以+2件此時(shí)”&sin(a+小=1,

t——t——(4)

TTTT

可得a=—,所以左=tana=tan—=l,

44

所以直線的方程為％-y+3=o.

變式24.（2024.河南鄭州.高二宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線

/:fct-y+2+3A=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P.

(1)證明：無(wú)論上取何值，直線/始終過(guò)第二象限;

⑵若直線/交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)8,當(dāng);|出|+3形|取最小值時(shí)，求

直線/的方程.

【解析】(1)證明：由fcv—>+2+3%=?？傻茫鹤?％+3)+2—y=。，

fro_n(Y=—3

由c-n可得_r，所以/經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(-3,2)；

[2->=0[y=2

即直線/過(guò)定點(diǎn)(-3,2),且定點(diǎn)在第二象限，

所以無(wú)論上取何值，直線/始終經(jīng)過(guò)第二象限.

7T

(2)設(shè)直線/的傾斜角為。，貝ijOvav；；,

2

23

可得1PAi—,|PB|=——,

sinacosa

15…111sina+cosa

所以小PA|+彳|P3|=^—+------=---------------,

23smacos。sinacosa

令%=sina+cosa=y/2sin[a+：),

因?yàn)镺va<色，可得二〈a+二〈羽，也^<sin[a+工[41,

將/=sina+cosa兩邊平方可得：t2=(sin<z+cos<7)2=1+2sinor-cosa,

所以sinacosa=------，

2

11pAi+4p5|=sina+cosa='=N=2

所以211311sinacosaZ2-lZ2-l,1,

i—

2------------------t

因?yàn)?gt;=/」在(1,五］上單調(diào)遞增，所以0<一！〈也，

tt2

故0，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

tt

止