2025屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)：空間直線、平面的平行 （含答案）

2025屆新高考一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)空間直線、平面的平行

一、選擇題

1.已知相，〃表示兩條直線，a，。，7表示平面，下列命題中正確的有()

①若二。/=加，且加〃幾，則[〃/?；

②若根，〃相交且都在平面a、B外,mlla,mH[3,nila,nll/3,則口〃/?；

③若mlla,mHp,則alip；

④若mHa,mil(3,且mlln,則all0.

A.l^bB.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.如圖廣為平行四邊形ABC。所在平面外一點(diǎn)，片為AD的中點(diǎn)尸為尸。上?點(diǎn)，當(dāng)B4//

PF

平面￡?方時(shí),』=()

1

D.-

2

3.已知加，〃是空間中兩條不同的直線，/是兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)

誤的是()

A.若冽_La,nila,則根_L〃B.若根_La,mlln,則〃_La

C.若,n10,mLa,則。〃/?D.若加_La,mVn,則M/a

4.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.在如圖所示的鱉席

A-5CD中,AB,平面BCD,BDLCD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，過EF的截面a與

AC交于點(diǎn)G,與BD交于點(diǎn)“，AB=1，若〃截面a，且CD//截面a，四邊形GEHF

是正方形，則CD=()

A

A.lB.lC.-D.2

22

5.已知/,機(jī)，〃是三條不同的直線,a,0,y是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的為

()

A.若lllm^ocllP，/J_a3則mV/3

B.若則〃

C.若a_1_尸,，_Ly,則ally

D.若必m,mLn,lua,nua，則m±a

6.設(shè)tz,B是兩個(gè)不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且(/n，=/，貝U

"mill"是"mH[3JLm//a”的()

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖，在正方體A5CD-4用￡2中，°為底面ABCD的中心,P是?？诘闹悬c(diǎn)，設(shè)Q是

CG上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。在位置時(shí)，平面D.BQ//平面PAO,().

A.Q與C重合B.Q與G重合

C.Q為CG的三等分點(diǎn)D.Q為CG的中點(diǎn)

8.設(shè)/是直線，a,4是兩個(gè)不同平面，則下面命題中正確的是()

A.若〃/a,////?,則(z〃夕B.若〃/a,/_!_/,則

C.若/a工B,則〃/aD.若〃/a,aL(3,則/J_/?

二、多項(xiàng)選擇題

9.如圖，已知正方體ABCD-A及G2的棱長為2,點(diǎn)M為CC［的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形

4耳G。上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.滿足MP〃平面BD4］的點(diǎn)P的軌跡長度為0

B.滿足〃p_LAM的點(diǎn)P的軌跡長度為2也

3

C.存在唯一的點(diǎn)尸滿足NAPM=-

2

D.存在點(diǎn)P滿足E4+pw=4

10.下列說法不正確的是（）

A.若直線a,6沒有交點(diǎn)，則a,6為異面直線

B.若直線0〃平面a,則a與a內(nèi)任何直線都平行

C.若直線a,平面a,平面a〃平面p,則直線平面/3

D.如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

11.如圖，一塊邊長為10cm正方形鐵片上有四個(gè)以。為頂點(diǎn)的全等的等腰三角形（如

圖1），將這4個(gè)等腰三角形裁下來，然后用余下的四塊陰影部分沿虛線折疊，使得A,4

重合,3,B'重合CC'重合Q,D,重合,6，鳥，鳥，A重合為點(diǎn)R得到正四棱錐O-ABCD

（如圖2）.則在正四棱錐O—.CD中，以下結(jié)論正確的是（）

PAO

二，

圖1圖2

A.平面Q4C，平面08。

B.AD〃平面0BC

C.當(dāng)AP=2cm時(shí)，該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為gMcm2）

D.當(dāng)正四棱錐的體積取到最大值時(shí),AP=4（cm）

三、填空題

12.如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A4GA中，航在線段上，且

CM=；3C，N是側(cè)面CDQG上一點(diǎn)，且〃平面則線段的最大值為

13.如圖，棱長為2的正方體ABCD-A4C1。中，E,P分別是線段4c和AG上的

動(dòng)點(diǎn).對于下列四個(gè)結(jié)論:

①存在無數(shù)條直線EPH平面AA}ByB；

②線段EP長度的取值范圍是［2,2g］；

③三棱錐P-ACE的體積最大值為g；

④設(shè)E,尸分別為線段與。和AG上的中點(diǎn)，則線段EP的垂直平分線與底面的交點(diǎn)構(gòu)

成的集合是圓.

則其中正確的命題有.

14.已知直線m,n,平面a,夕，若夕，mca,nu/3,則直線m與n的關(guān)系是

四、解答題

15.如圖,四棱錐P—ABCD中,B4=PB=AB=A￡)=2,5C=4，AD//BC，ADJ_AB，AC

與交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作平行于平面上鉆的平面a.

(1)若平面a分別交PC，5C于點(diǎn)瓦廠,求△OEF的周長；

(2)當(dāng)/>￡>=20時(shí),求平面a與平面PCD夾角的正弦值.

16.如圖,已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCZ)所在平面外的一點(diǎn),E、尸分別是PA、50上的

點(diǎn)且E、歹分別是P4、的中點(diǎn).求證：Ef7/平面P8C.

17.如圖，在正方體ABCD-A4￡￡>i中,E為8月的中點(diǎn).

(2)求直線AAi與平面所成角的正弦值.

18.如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中,d_L平面是尸￡)的中點(diǎn).

⑴求證：Pfi〃平面"C；

(2)求證：平面PDC，平面PAD-

19.如圖，P。是三棱錐P—ABC的高，PA=PB,AB±AC,E為P3的中點(diǎn).

(1)證明：0E〃平面必C.

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

參考答案

1.答案：A

解析：對于①，若。口了=根，，ri/="，且則?！▍^(qū)或相交，故①錯(cuò)誤；

對于③和④，。與，也可能相交，均錯(cuò)誤；

對于②，設(shè)機(jī)，〃相交確定平面y,根據(jù)線面平行的判定定理知。/夕，pily,根據(jù)平

行平面的傳遞性得知.

故選：A.

2.答案：D

解析：連接AC交5E于G,連接PG,

QPA//平面EB尸,Q4u平面PAC

平面PACI平面BEF=FG,

:.PA//FG,

“FFAG_

故:一=—①

FCGC

又???AD〃6C4為AD的中點(diǎn)，

AGAE1?

——=——=—②

GCBC2

PF1

由①②可得

FC2

故選:D.

3.答案：D

解析：對于A,當(dāng)幾〃。時(shí)，過〃作平面B,使則〃///,因?yàn)榧觃L。，

Iua,所以加所以加_L〃，故A正確；對于B,由線面垂直的性質(zhì)知B正確;

對于C,因?yàn)殛帯◣祝琻10,所以加_L/?,又m_Lo,所以口〃/?,故C正確；對于

D,當(dāng)機(jī)_La,zn_L〃時(shí)，〃可能在平面a內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選D.

4.答案：B

解析：如圖所示：

A

F

過ER的截面a與AC交于點(diǎn)G,與3。交于點(diǎn)"，則截面a即為四邊形GEHR,

又因?yàn)锳3//鍛面a,ABu平面ABC,平面ABC口平面a=GE，

ABu平面ABD，平面ABD[｝平面e=HF,所以AB//GE//HF,

又CD〃截面a，同理可得,CD//GF〃石H，

因?yàn)樵凇鰽BC中,E為線段BC的中點(diǎn)，所以線段GE是△AB。的中位線，

因?yàn)樵谥挟a(chǎn)為線段A。的中點(diǎn)，所以線段族是的中位線，

所以點(diǎn)E,H分別是線段的中點(diǎn)，所以線段EH是△BCD的中位線，

所以CD=2EH，又四邊形GEHP是正方形，所以a)=2￡H=2GE=AB=L

故選:B.

5.答案：A

解析：是三條不同的直線,a,/3,7是三個(gè)不同的平面，

對于A,若all/3,則由線面垂直的性質(zhì)得故A正確；

對于B,若ma,a///3，則l//p或/u分，故B錯(cuò)誤；

對于C,若與/平行或相交，故C錯(cuò)誤；

對于D,若/J_爪，和J_〃，/ua,“<=a,則機(jī)與a平行、相交或mua,故D錯(cuò)誤.

故選：A.

6.答案：C

解析：當(dāng)加〃/時(shí)，機(jī)可能在a內(nèi)或者0內(nèi)，故不能推出加〃夕且加〃a.

當(dāng)加〃夕且加〃a時(shí)，設(shè)存在直線〃ua,nU(3,豆nlIm,因?yàn)椤ā?月，所以用/戶,根

據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知“〃/,所以加〃/.

故"m///"是"mll13且mlla"的必要不充分條件.

7.答案：D

解析：在正方體中，

因?yàn)椤榈酌鍭BCD的中心,P是。2的中點(diǎn)”

所以PO/AB2，

設(shè)Q是CG上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在CG的中點(diǎn)位置時(shí)，PQUAB,

所以四邊形ABQP是平行四邊形，所以AP//BQ,

因?yàn)锳PnP0=P，BQnB2=B,

AP,pou平面APO,BQ,BD[u平面BQDX,

所以平面D.BQ//平面PAO,

故選:D.

8.答案：B

解析：A：若〃/a,〃/，，則M/尸或相交，故A錯(cuò)誤；

B：若l〃a,1工/3,由線面平行和垂直的性質(zhì)可得tzJ_/7,故B正確;

C：若I1/3,a，B,則〃/a或/ua,故C錯(cuò)誤；

D：若〃/a,aV/3,貝U/，尸或/〃尸或/u，，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

9.答案：AC

解析：對于A,取4G的中點(diǎn)。,2G的中點(diǎn)N,又點(diǎn)〃為eq的中點(diǎn)，

由正方體的性質(zhì)知MQHA.D,NQ//BD,MQ[}NQ=Q,A^D^BDD,

所以平面MQN//平面BDA,，又MPu平面MQN,.L〃平面BDA,,

故點(diǎn)P的軌跡為線段加0=4n=血,故人正確；

以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD｝為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),M(0,2,1),設(shè)P(x,y,2),且0VX42，0VyV2,

AP=(x-2,y,2),MP=(x,y-2,l),AM=(-2,2,1)

對于B,AM.MP=-2x+2(y-2)+l=-2x+2y-3=0,^y=x+-,

又0WxW2,0<y<2,則點(diǎn)P的軌跡為線段族,?0,：21/\,2,21

且所=、日3=也，故B錯(cuò)誤；

V442

對于C,AP-MP=(%—2)x+(y—2)j+2=x2—2x+y2—2j+2=(x—1)"+(y—1)"

顯然，只有x=l,y=l時(shí),Q.礪=o,即/,秘，故存在唯一的點(diǎn)P滿足/APM=，故

C正確；

對于D,點(diǎn)M關(guān)于平面43cA的對稱點(diǎn)的為加'(0,2,3),三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，

故P4+PM2AM'二亞彳^^:JI7>4,故不存在點(diǎn)「滿足Q4+PM=4,故D錯(cuò)誤.

故選:AC

10.答案：AB

解析：對于A,直線a,6沒有交點(diǎn)，則直線a,人為平行直線或異面直線，故A錯(cuò)

誤；

對于B,直線a〃平面a,則。與a內(nèi)任何直線都沒有交點(diǎn)，則。與a內(nèi)直線可能

為平行直線或異面直線，故B錯(cuò)誤；

對于C,直線a,平面c,則e內(nèi)一定存在兩相交直線，不妨設(shè)為機(jī)典滿足

由平面a〃平面0,過機(jī)作一平面與0相交，交線設(shè)為加，

則加〃加，同理過“作一平面與，相交，交線設(shè)為"，則必7”，

則加'，〃'相父'則a_1_加,a_!_〃'，

故直線ad_平面B，故C正確；

對于D,如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，根據(jù)等角定理可知，這兩個(gè)角相

等或互補(bǔ)，故D正確，

故選：AB

11.答案：ABD

解析：對于A,連接。尸,在正四棱錐o—ABCZ)中,Q4=0C，由折疊可得，尸為AC的中點(diǎn),

所以

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，所以即APLBD，

因?yàn)锽OPIOP=O，BD，OPu平面OBD,所以AP，平面OBD，

因?yàn)锳Pu平面。4。所以平面。4C，平面0B。，所以A正確，

對于B,因?yàn)锳T)//3C，ADz平面0BC，6CU平面08C，所以AD〃平面OBC，所以B正確,

對于。當(dāng)”=25時(shí)，因?yàn)樗倪呅嗡?。為正方形，所?3=2也，

因?yàn)樵趫D1中,為等腰直角三角形，所以A2=2,所以=2,

因?yàn)檎叫舞F片的邊長為10,所以°4=后，=用

所以△OAB中邊上的高為

JOA2-^AB^=g_2=Zi，0p=do曾—AP?=,34—4=而,

所以%.ABc?=gx；x4x4x而

設(shè)內(nèi)切球的半徑為廠,則VO_ABCD=|SABCD-r+4x|sAOB-r,

所以8y=—x-x4x4r+4x-x—x2A/2X4忘廠，解得r=,

332325

所以該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為4a2=4J畫]=生（cn?）,所以C錯(cuò)誤，

55v7

對于D,設(shè)AP=%，則OA=J（5—工、+52，OP=7（5-x）2+52-x2=依-10尤，

2

所以V0_ABCD=gx2xx2xxgV50-10x=x小一x，

令y/5^x=fe（0,行），則VO^ABCD=（25—10產(chǎn)+/?,令y=（25—10產(chǎn)+六）人

則y=（25-30/+5?）=（/—5）（/—1）,

令了=0,則〃=5（舍去），或r=i，

當(dāng)0</<1時(shí),y'>0,當(dāng)1<產(chǎn)<5時(shí),了<。

所以當(dāng)y=1，釬=4時(shí),y有最大值過0,所以D正確，

3

12.答案：V14

解析：如圖，

線段C。上取一點(diǎn)E,使得CE=-CD,在線段。2上取一點(diǎn)F,使得D.F=-DD.,

3131

連接ME，EF，CDj

mCMCED[F1匚匚2,

因?yàn)?不=亍打=￡，所以ME//BD，EFIICD[,

nCC/JUUXJ

又ABHCD、,所以EF〃AB,

因?yàn)镸E.平面AB。，mu平面所以ME〃平面ABD,

同理，因?yàn)镋Fa平面4由），45U平面43。，所以EF〃平面4友），

又MECEF=E，所以平面MEF〃平面A3。，因此，N在線段所上.

因?yàn)?，產(chǎn)+4=虛,^F=A/F+3?+?=V14(

所以線段MN的最大值為V14?

故答案為：V14

13.答案：①③

解析：對①：過P作PK//4耳，KE〃BB[交B]C于■E,連接EP,則EP〃平面明用5,

因?yàn)槭c(diǎn)再AG上運(yùn)動(dòng)，故滿足條件的直線中有無數(shù)條.所以①正確；

對②：當(dāng)E與用重合，P為中點(diǎn)時(shí)，EP=42,所以￡?長度取值范圍是[2,26]

是錯(cuò)誤的；

對③：

因?yàn)橹本€AC〃平面AB。，所以「到平面AB1。的距離為定值，是正方體體對角線的

所以當(dāng)E與四重合時(shí)，底面積最大，此時(shí)P-ACE的體積最大，為

3

VP-ACE=1X^X(2^)=所以③正確；

對④，當(dāng)E,P位置確定時(shí)，線段EP的垂直平分線構(gòu)成一個(gè)平面，它和底面的交點(diǎn)應(yīng)

該是一條直線，所以④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

14.答案：平行或異面

解析：由題意M/6，mua,nu0

故直線m與n沒有交點(diǎn)

故直線機(jī)與〃平行或異面

故答案為：平行或異面

15.答案：⑴4

⑵地,

5

解析：（1）由題意可知,四邊形ABCD是直角梯形，

:.Z\AOD與ACOB相似，又AD=-BC,

2

AO=-OC,OD=-OB,

22

因?yàn)檫^點(diǎn)。作平行于平面的面a分別交PC，BC于點(diǎn)瓦E

即平面OEF〃平面以5，平面。石尸。平面必。=所,平面依。「平面PAB=PB，

平面OMn平面=平面總平面PAB=PA，

平面OE歹「平面ABC=OF,平面ABC。平面PAB=AB，

由面面平行的性質(zhì)定理得OEHPA,OF//AB,EF//PB,

所以△中與△OEF相似，相似比為3:2,即絲=廿=必=之，

OFOEEF2

因?yàn)椤鰾IB的周長為6,所以△OEF的周長為4.

（2）?.?平面a〃平面從8，二平面a與平面PQ）的夾角與平面Q4B與平面PQ）的夾角相

等，

AD=2，PA=2，PD=2C，：.PD2=AD2+B42'

又4￡>，45,48口%=4,4比上4<=平面^鉆，二ADJ_平面

ADu平面ABC。，二平面PAB，平面ABCD，

取AB的中點(diǎn)G,因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，.'PG，AB，平面PABC平面ABCD=AB，

PGu平面MB,PGJ_平面ABC。，

以A點(diǎn)為原點(diǎn),A3所在直線為x軸,A￡）所在直線為y軸，過點(diǎn)A與PG平行的直線為z

軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,r＞（0,2,0）,p（l,0,73）,C（2,4,0）,15=（0,2,0）,DC=（2,2,0）,DP=（1,-2,73）,

設(shè)平面PCD的法向量3=（x,y,z）,

則匡小，即尸2y=：,

DPn=0[x-2y+yj3z=0

取x=l,則3=（1,—

A。_L平面me,.?.9是平面e鉆的一個(gè)法向量，

設(shè)平面a與平面PC。夾角為。，則35。=嗎5=」=立,所以sine=35，

|AD||H|A/555

所以平面a與平面PC。夾角的正弦值為35.

5

16.答案：證明見解析.

解析：因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCZ）中尸是5。的中點(diǎn)，

所以歹是AC的中點(diǎn)，

因?yàn)镋是24的中點(diǎn)，所以EF〃PC，

又EF平面PBC，PCu平面PBC，

所以所〃平面PBC

17.答案：（1）證明見解析；

（2）

3

解析：（1）［方法一］:幾何法

如下圖所示：

在正方體ABCD-4男￡。中,ABHA\B［且A3=4用,\BJIC.D,且凡用=CR,

ABIIC.D,且A3=G。，所以,四邊形ABC.D,為平行四邊形，則BCJIAD1,

BQ（Z平面ADtE,ADlu平面ARE,BCJ/平面AQE；

【方法二］:空間向量坐標(biāo)法

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),A。、AB>AA所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

設(shè)正方體ABCD-AKGR的棱長為2,則A（o,o,o）、4（。，。，2）、n,（2,0,2）>

￡（0,2,1）,宿=（2,0,2）,荏=（0,2,1）,

設(shè)平面A*的法向量為分=（3z）,由[〃"'設(shè)得[2X+2Z=。，

I，[n-AE=012y+z=0

令2=—2，貝1%=2,丁=1,貝1為=（2,1,—2）.

又向量西=（2,0,2）,普工=2x2+0xl+2x（—2）=0,

又???5C].平面A2E，。3C]〃平面A'E；

（2）[方法一]:幾何法

延長CQ到￡使得C[F=BE，連接EF，交用G于G,

又???CQ/BE,，四邊形3E/G平行四邊形，二8￡//所，

又；BCJ/AD,,:.ADJ/EF，所以平面ADXE即平面ADXFE,

連接D]G，作CXH1Z>1G,垂足為H,連接PH，

???FC]1平面A51GD1，D[GU平面AB1G2，Dfi,

又：FQHC[H=G，直線D[G1平面GFH,

又直線DXGu平面D[GF,平面D[GF±平面CXFH,

G在平面RGF中的射影在直線FH上,直線FH為直線FC】在平面DXGF中的射

影,NC/"為直線/a與平面QGF所成的角，

根據(jù)直線FCJ1直線AA，可知ZQFH為直線441與平面ADiG所成的角.

7vl?

設(shè)正方體的棱長為2,則C[G=GF=1,D1G=5：.CIH=/=忑,

'_3

，切=J1+飛

sinZC1FH=1^=|

即直線AA與平面A"E所成角的正弦值為土

3

［方法二］:向量法

接續(xù)（1）的向量方法，求得平面AQE的法向量3=（2,1,-2）,

-----?〃.42

X-.-M=（o,0,2）,-?--<?,M>=^=-^=--,

直線AA|與平面AD|E所成角的正弦值為三.

3

［方法三］:幾何法+體積法

如圖，設(shè)用G的中點(diǎn)為E延長A4，AE,D尸易證三線交于一點(diǎn)P-

因?yàn)?4//441,EF//A2，

所以直線AA］與平面所成的角,即直線31E與平面PEF所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,在△PEF中，易得PE=PF=非，EF=也.，

可得S“EF=(

由咚棱鴨-PEF=/棱細(xì)-叱，得由“《X/XlxlxZ,

整理得4“=2.

13

所以sinNB^EH=殳乜=2.

B［E3

所以直線AA與平面A'E所成角的正弦值為工.

3

［方法四］:純體積法

設(shè)正方體的棱長為2,點(diǎn)兒到平面AED｝的距離為h,

在△AEQ中,人￡=火，*=2枝,D、E=3,

,加CD,E2+AE2-AD^9+5-8A/5

cosZAED.=---------------=------==—,

2D.EAE2x3xV55

所以sinZAED,=孚，易得S^AED)=3.

V

由“.向=At-AED,，得-5村q4，4用=3〃，解得〃=t，

a?

設(shè)直線AA與平面AER所成的角為6，所以sine=/-=3.

1193

18.答案：(1)證明見解析;

(2)證明見解析.

解析：（1）連接5。交AC于點(diǎn)G,連接EG.

四邊形ABCD是矩形,,G是的中點(diǎn).

又E為。。的中點(diǎn),PB//EG-

?;EGu平面EAC,P6.平面EAC,〃平面E4c

⑵上4_L面ABC。，CDu面ABC。,，CD.

ABCD