2025屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)：三角恒等變換 （含答案）

2025屆新高考一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)三角恒等變換

一、選擇題

2兀?[

1.在△ABC中，。為邊上一點(diǎn),ZDAC=——，AD=4，AB=2BD，且△ADC

3

的面積為46，則sin/AB￡)=()

A^/^一百BA/15+V3QA/5—A/3DA/5+A/3

8844

2.sin200cos400+cos20Ocos50。的值是()

A.BB.lc.-lD.l

222

3若a/0兀[，"口"一tan。，則tana()

u?-i—15JU,，一Ldll，入JIdll(JC—\/

I2)2-cosa2

A.BB.JjC.BD正

342

4.已知2+5cos2a=cosa,cos(2a+/?)=[￡[o,])￡［三,2兀］,則cos/3的值為

()

A—B衛(wèi)C.一里D.l

51251255

5.已知近sine—cos6=0^Utan2e=()

A.—2啦Bq&C.孝D.受

2

6.已知。為銳角，cos。=,+耳,則sinful)

42

3-6一1+逐3-下D.=^

A.D.Cx.

8844

7.已知sin(a-p)=；,tana=3tan/?如sin(a+R)=()

A.-B.-C.-D.-

6323

8.已知cos（。一己rr則sin12a+S)=()

7C7_22

A.——B.-C.——D.-

9933

二、多項(xiàng)選擇題

9.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

sin(B-A)+sin(B+A)=3sin2A,且c=",C=j,則。的可能取值為（）

A.lB.叵C.A/2

33

10.下列選項(xiàng)中，值為工的是（）

2

A.2cos215。B.sin27°cos3°+cos27°sin3°

Dtan22.5°

C.2sin15°sin75°

4-tan222.5°

n.下列化簡(jiǎn)正確是()

B.COS2?—sin2M=3

A.sin45°cos450=1

12122

Dtan22.5°_1

C.—sin40°+cos40°=sin80°

2-

22'l-tan22.5°2

三、填空題

12.已知tane,tan,是方程式―3%—3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，tan（2a+2^）=

13.（l+tanl30）（l+tan32°）=.

14.已知（4tan4tanB）=17,則tan（A_3）=.

四、解答題

15.已知sincr=:，

（1）求sin[a+￡]的值；

（2）若tan尸=g,求tan（2tz-尸）的值.

16.在△ABC中，內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為凡仇c.已知

sinC2sinA+sinB

(1)求c；

⑵若3a+〃=2c且a=3,求△ABC的外接圓半徑

17.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知巴4=1+sinA.

tanB

⑴若A=8,求G

⑵求asinB+bsinA的取值范圍.

2bcosB

18.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2屈，b=5,

,V5

cosA=——.

5

(1)求&

(2)設(shè)。是AB邊上點(diǎn)，且通=3而，求證：CDA.AB.

19.在△ABC中，角4民。的對(duì)邊分別為c且bcosA+=c

2

(1)求3的大小；

(2)若°=百，。+/?=2,求△ABC的面積.

(3)已知sin+；]=[,且a為銳角，求sin,-。的值.

參考答案

1.答案：A

解析：因?yàn)?AAM=LAD-ACsinNZMC=Lx4xACx^=46，解得AC=4,

△a。。222

所以△AOC為等腰三角形，則NADC=C，

在△ADB中由正弦定理可得一^—=DB,即丁=sinN2MD，解得

sinZADBsinZBAD-

sinBAD=-，

4

因?yàn)镹AD3=2，所以/氏4。為銳角，所以cos/BAD=J1-sir?NBAD=巫，

64

所以sinZABD=sin(ZADC-NBAD)=sin-ZBAD^

故選：A

2.答案：A

解析：原式=Sin200cos400+cos20°sin400=sin60°=

故選：A.

3.答案：B

.a-.。a

.sin—2sin-cos—(、

解析：因?yàn)閠an^=‘mo,所以2=——2—1,又因?yàn)?二，所以

22-coscrMGa2—cosaI2)

cos——

2

sin-0，所以2—cosa=,即2—cosa=l+cosa，所以cosa='，又因?yàn)?/p>

222

aefo,^\所以a=m，所以tane=百.故選B.

4.答案：B

］、3

解析：v2+5cosla-cosa，.\10cos2a-cosa-3=0，??cos［二一］或y

3

因?yàn)?所以cosa=一

5

7

sintz=-,sin2tz=2x-x-=—,cos2tz=cos2tz-sin2（z=-

55525石'

7171

aG

4,2

43

?.?cos（2a+〃）=1,2a+力G（2兀,3兀）sin（2a+/?）=—

cos0=cos（2?+（3-2a）=cos（2?+/7）cos2a+sin（2（z+/7）sin2a

4732444

二—x----1-—x——二---

525525125

故選：B.

5.答案：B

解析：由Osin。-cos6=0,得tan0=

2x叵

則tan2d=2tand=——2=2&.

1—tar?。11

2

故選:B.

6.答案：D

）日

解析：法一：由題意,cosa=1--+------=li—2sm.2—a,得

2

.2a3—y/s

sm一二-----a為銳角’所以、嗚所以

28

.a—1+A/5+3生n

sm—=---------,故選D.

24

得三將選項(xiàng)逐個(gè)代入驗(yàn)證

法二：由題意，cosa=+=l-2sin2—,sin2?=5,

4228

可知D選項(xiàng)滿(mǎn)足，故選D.

7.答案：D

sinacinR

解析：由tana=3tan°，得----=3-----，所以sinacos/?=3cosasin/?,

cosacosB

又sin（a-/）=sinocos/?-cososin尸二^,所以cosasin/?=’,sinacos/?,

2

所以sin（a+尸）=sinacos/?+cosasm/3

8.答案：A

解析：sin（2a+=cos-2a）=cos12a_=cos21a-

=cos2（tz—S）=2cos2（a—￡）—l=2x］；］—1=一［.故選:A.

9.答案：AD

解析：因?yàn)閟in（5—A）+sin（8+A）=3sin2A,所以

sinBcosA-cosBsinA+sinBcosA+cos5sinA=3x2sinAcosA,BP

sinBcosA=3sinAcosA.

當(dāng)cosA=0,即4=二時(shí)，因?yàn)閏=占，C=-,所以。=」^=馬包；

23sinC3

當(dāng)cosAwO時(shí)，sinB=3sinA,由正弦定理可得Z?=3a,由余弦定理可得

30=/+必一。2=/+（3a）2一7」,解得a=i（負(fù)值舍去）.

lab2a-3a2

綜上，a=］或"故選AD.

3

10.答案：BCD

解析：選項(xiàng)A：280215。=1+（：0530。=1+3，故選項(xiàng)人不符合題意；

2

選項(xiàng)B：sin27°cos3°+cos27°sin3°=sin30°=L故選項(xiàng)B符合題意；

2

選項(xiàng)C：2sinl5sin75°=2sinl50cosl5°=sin30。=L故選項(xiàng)C符合題意；

2

選項(xiàng)D：tan-.5。=I2tan丁.5。=J_.tan450=L故選項(xiàng)C符合題意.

1-tan222.5°21-tan222.5022

故選：BCD.

11.答案：BCD

解析：A:因?yàn)閟in45°cos45°=-sin(2x45°)=—sin90°=—,

2'722

所以本選項(xiàng)不正確;

兀A/3

B:因cos2--sin2-=cosI2x-=cos—=——，

12121262

所以本選項(xiàng)正確;

cos40°=cos60°sin400+sin60°cos40°=sin(60°+40°)

22

=sin(180°-80°)=sin800,

所以本選項(xiàng)正確；

D:因?yàn)?彳2.5°=4tan(2x22.5。)=1tan45。=」,

1-tan222.5°2,'22

所以本選項(xiàng)正確，

故選:BCD

12.答案：—

7

解析：tana,tan分是方程Y_3%一3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

則有tana+tan￡=3，tanatan4=-3,

3

2tan(a+/?)]24

因此+m=33+2尸)=

l-tan2(6Z+/5)]_27

16

故答案為：竺.

7

13.答案：2

tan130+tan32°

解析：因?yàn)閠an45°=tan(13。+32。)=二1，

1-tan13°tan32°

整理得tan130+tan320+tan13°tan320=1,

所以(1+tan13°)(1+tan32°)=1+tan320+tan130+tan32°tan13。=1+1=2.

故答案為：2

14.答案：4

解析：因?yàn)椋?tanA+l）（l—4tanB）=17,

所以tanA-tan5=4（1+tanA4011B）,

g、i/42tanA-tanB.

所以tan（A_3）=------------------=4，

1+tanA-tanB

故答案為：4

15.答案：（1）述；

10

13

（2）tan（2a-，）=§

解析：（1）因?yàn)閟ina=g，

所以sin|tz+—=sintzcos—+cosasin—,

I44

3V24V27A/2

=—x---F—x----=-----；

525210

3

（2）由（1）tana=』得tan2a=2t血？=_二=馬：,

41-tanker「27

-16

241

所以tan（2"⑶Jn2a-ta叨7313

,241~9

1+tan2crtan〃Id--x-

73

16.答案：（1）C=—

3

⑵述

3

解析：（1）因?yàn)橐?-=,gp2sinA+sinB=2sinCcosB,

sinC2sinA+sinB

且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2sinCeosB，則2sinBcosC+sin5=0,

且5￡(0,兀卜則sinBwO,可得cosC=-g,

且C?O㈤，所以C=g.

⑵因?yàn)?〃+b=2c且〃=3,貝1Jb=2c—9>0,可得。>2，

2

由余弦定理可得cZu^+j—ZabcosC，即。2=9+（2。一為？一2x3（2c—9）x1—；

整理可得c2_]0c+2i=o,解得c=7或c=3（舍去），

D_c_7_7上

所以△ABC的外接圓半徑2sinCG3-

2x—

2

17.答案：（1）答案見(jiàn)解析

⑵（0,1）

解析：(1)由A=5，c°s4=1+sinA

tanB

可得cosA

1+sinA,則cos2A=(l+sinA)sinA

tanA

整理得Zsin?A+sinA-l=0,解之得sinA='或sinA=-1

2

又0<A〈工，貝=則8=四，則C=&

2663

（2）A,5為△AB。的內(nèi)角，則i+sinA>0

則由吧4=l+sinA,可得出>0,則A、3均為銳角

tanBtanB

A

cos2-A---si-n21-tan—

「cosA42

tanB=------=----勺----2二_______________2

A

1+sinA(zsi.n—A+cos1+tan—

2

XO<B<-,O<---<-^'JB=---,O<B<

242442

則A=1-25,則sinA=sin-2BJ=cos2B

asinB+bsinA2bsinA2bcos2B2cos2B-l八八1

-------------------=-----------=------------=--------------=2cosB----------

2。cos52bcosB2bcosBcosBcosB

令t=cosB^0<B<:],則<t<\

又加）=2"；在浮單調(diào)遞增,/（爭(zhēng)=0,/⑴=1

可得0<2"!<1,則2cosB-—二的取值范圍為（0,1）,

tcosB

則asinB+bsinA

的取值范圍為（0,1）

2bcosB

18.答案：（1）-

4

（2）詳見(jiàn)解析

解析：（1）?.?在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,cosA^~>0,

sinA