2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練：解三角形（解答題壓軸）（學(xué)生版+解析）

專題17解三角形（解答題壓軸）

目錄

一、三角形中線問題.......................................1

二、三角形角平分線問題...................................3

三、三角形周長（邊長）（定值）...........................5

四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題）.................8

五、三角形面積（定值）..................................10

六、三角形面積（最值，范圍問題）........................12

一、三角形中線問題

1.（23-24高三上?廣東中山?階段練習(xí)）己知。為的外心，|反|=6,而?冠=4,當(dāng)NC

最大時，A8邊上的中線長為.

2.（23-24高一?全國?課后作業(yè)）已知向量a=b"sinA）,b=（l,cosA）,；//力，且A為AABC

的內(nèi)角.

（1）求角A的大??；

（2）若AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,a=14,b=10,求邊BC上的中線

AD的長.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）記AABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知

acosC+迅。sinC-Z?-c=0.

⑴若AASC的面積為且，求a的最小值;

4

（2）若A=,BC邊上的中線長為且“IBC的外接圓半徑為g，求AABC的周長.

4.（2024?四川）在"LBC中，角4氏。所對的邊分別為。也。，且滿足cosC=f-E

b2b

（1）求角5;

（2）若AABC外接圓的半徑為百，且AC邊上的中線長為姮，求AABC的面積

2

二、三角形角平分線問題

1.(23-24高一下?上海?階段練習(xí))在AABC中，AC=2,BC=6,4c8=600.點。為AABC

所在平面上一點，滿足反=根況+〃礪("？、"eR且加+”*1).

(1)若7%=〃=-1,用百，而表示反；

(2)若點。為AABC的外心，求加、”的值；

⑶若點。在-ACB的角平分線上，當(dāng)-2W“W-!時，求的取值范圍.

2411

2.(23-24高一上?湖北咸寧咱主招生)如圖所示，在"LBC中，點。在BC邊上,點E

在線段AO上.

⑴若ABED=ABAC=2NCED=?.

①如圖1,若a=90。，AB=AC,過C作C/LAD于點F,直接寫出儀的值為二

CF

AP

②如圖2,若BD=3CD,求一的值.

BE

(2)如圖3,已知AD為AABC的角平分線，AE=DE=2,AC=5,tanABED=1,直接寫

出線段BE的長度.

3.(23-24高一下?河南周口?期末)在中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,

acosB+bcosA+b2-c2)

clabsinC

⑴求C；

(2)若AABC的三條角平分線相交于點0,AB=7,的面積為丑叵，求0C.

4

4.(23-24高一下?安徽蕪湖?期中)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊為a,b,c,且

3(sinA-sinB)_3c-2b

sinCa+b

⑴求sinA；

(2)若AABC的面積為g夜；

(i)已知E為3c的中點，求AABC底邊3C上中線AE長的最小值；

(ii)求內(nèi)角A的角平分線AO長的最大值.

5.（23-24高一下?重慶?期末）在AABC中，內(nèi)角A,民。所對的邊分別為。，瓦c,且

sin2A-sinAsinB

-----------2-----------------7---------=].

cosB-cosC

⑴求C;

⑵若c=6，a+b=46,求邊Afi上的角平分線CD長；

⑶若AABC為銳角三角形，點P為AABC的垂心，CF=6,求辰F-AF的取值范圍.

BF

三、三角形周長（邊長）（定值）

1.（23-24高一下?河南漂河?期末）已知三角形A3C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

若疝（4+C）=「且°=2.

sinA+sinCb-c

（1）若8=g,求c；

6

⑵點。在邊BC上且AD平分N54C,若AD=6，求三角形ABC的周長.

2.（23-24高一下?福建南平?期末）已知AABC的三個內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為°,

b,c,J!LacosB+5/3asinjB-c-Z?=0.

⑴求A;

（2）若“=JL且AABC的面積為無（4從+c?）,求AABC的周長.

2a-b

3.（23-24高二下?四川涼山?期末）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為°,4c,--

COSCcosB

⑴求c；

（2）若44BC的面積S=2y/3,AB邊上的中線CD=S，求AABC的周長.

4.(23-24高一下?四川成者B?期末)在44BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,AABC的

外接圓半徑為R,且-=R^b2+c2-a2).

7T

(1)證明：A-B=~；

(2)若8=2，A4BC的面積為2+若，求AABC的周長.

6

5.(23-24高一下?廣東深圳?期中)已知在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且c-acosB=—asinB

3

⑴求角A的大??；

(2)若a=2括，AABC的面積為6，求的周長.

四、三角形周長(邊長)(最值，范圍問題)

1.(23-24高一下?北京大興?期末)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

bsinA=y/3acosB.

⑴求

⑵若b=sfi.

(i)再從條件①，條件②，條件③中選擇一個條件作為己知，使其能夠確定唯一的三角

形，并求AABC的面積.

條件①：a=&；條件②：a=2c；條件③：sinC=g.

(ii)求周長的取值范圍.

2.(23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí))如圖，己知“WC是邊長為2的正三角形，點P在

邊BC上,且3而=而，點。為線段AP上一點.

—.—.1—.

(1)^AQ=AAB+-BC,求實數(shù)4的值;

(2)求麗?工的最小值；

⑶求AQPC周長的取值范圍.

3.(2024?云南曲靖?二模)在AABC中，角A,氏C的對邊分別為a,6,c,且

acosC+-ficsinA=b+c.

(1)求角8的取值范圍；

(2)己知^ABC內(nèi)切圓的半徑等于也，求"RC周長的取值范圍.

2

4.(23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí))在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

若c=2,的角平分線AD交2C于點D

(1)若6=1,N54c=60。，求的長度；

(2)若44SC為銳角三角形，且學(xué)=1+嗎，求"RC周長的取值范圍.

btan3

5.(23-24高一下?江蘇泰州?期末)在△AfiC中，角AB,C的對邊分別為b,。，已知

1+cosA1+cosBr

-------=-------+1.

sinAsinB

(1)當(dāng)c=］時，求tang的值；

(2)當(dāng)。=1時，求“LBC周長的最大值.

6.（2024?湖南長沙?一模）在銳角"WC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知

sinA-sinBsinC

y/3a-ca+b'

⑴求角B的值；

（2）若。=2,求的周長的取值范圍.

五、三角形面積（定值）

1.（23-24高一下?山東棗莊?期末）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

bcosC=ccosB,P為AABC內(nèi)一點.

⑴證明：AABC為等腰三角形；

⑵若A=60。，a=l,"PC=150。,求的最小值；

35

（3）若cosNA4C=—,NPAB=NPBC=NPCA,PA=~r,求&PBC的面積.

2.（23-24高一下?重慶?期末）平面四邊形A3CD中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADC=it,

71

ZBCD=-.

3

（1）求即；

⑵求四邊形A3C。周長的取值范圍；

⑶若E為邊3。上一點，且滿足CE=3E,SABCE=2S&CDE，求△BCD的面積.

3.(23-24高一下?浙江溫州?期末)在中，AB=4,AC=2,

sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

⑴求A;

(2)。為邊AC的中點，E為邊BC上一點、,AE交BD于P.

(i)若E為3c的中點，求ZDPE的余弦值；

(ii)當(dāng)時，求APBC的面積.

4.(23-24高三上?山東青島?期中)在"RC,中，記角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

己矢口cosC+>/3sinC=a+C

b

⑴求角B；

⑵已知點D在AC邊上，且A￡>=2OC,A2=6,2O=2A/7,求AABC的面積.

六、三角形面積（最值，范圍問題）

1.（2024?四川達州?二模）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,

cosBcosCcosAcosBcosC

⑴求tanNtanC；

(2)若be=3,求AABC面積S的最小值.

2.（23-24高二上?云南玉溪?期中）為響應(yīng)國家〃鄉(xiāng)村振興〃號召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直

角三角形地按如圖規(guī)劃成3個功能區(qū)：△呂⑶區(qū)域為荔枝林和放養(yǎng)走地雞，區(qū)域規(guī)劃

為〃民宿〃供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣.為安全起見，在

魚塘JWAC周圍筑起護欄.已知AC=40m,BC=40V3m,ACJ.BC,2MCN30".

⑴若A0=2Om,求護欄的長度（AMNC的周長）；

⑵若魚塘AMNC的面積是"民宿"ACMA的面積的6倍，求/AO0；

⑶當(dāng)ZACI/為何值時，魚塘AACVC的面積最小，最小面積是多少？

3.（23-24高二上?云南玉溪?期中）為響應(yīng)國家"鄉(xiāng)村振興”號召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直

角三角形地按如圖規(guī)劃成3個功能區(qū)：區(qū)域為荔枝林和放養(yǎng)雞地，區(qū)域規(guī)劃為

"民宿"供游客住宿及餐飲，AMNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣.為安全起見，在魚

塘周圍筑起護欄.已知|AC|=40m,忸C|=406m,ACLBC,ZMCN=30°-

⑴若|AM|=20m,求護欄的長度的周長）；

（2）若魚塘AMNC的面積是"民宿的面積的石倍，求AM的長；

⑶魚塘AAWC的面積是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由.

4.（23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期中）在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別

為a,b,c,且sinA（4cos2A-cos2A）=cosA卜inZA-gj+V5.

（1）求A的大??；

（2）若6=1,求AABC面積的取值范圍.

5.（2024高三上?全國?專題練習(xí)）AABC中，3=60。,42=2,入42<7的面積為2道.

（1）求AC

（2）若。為3C的中點，E,F分別為邊48,AC上的點（不包括端點）,且NEZ）P=120。,

求AD防面積的最小值.

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練（新高考版）

專題17解三角形（解答題壓軸）

目錄

一、三角形中線問題.......................................1

二、三角形角平分線問題...................................3

三、三角形周長（邊長）（定值）...........................5

四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題）.................8

五、三角形面積（定值）..................................10

六、三角形面積（最值，范圍問題）........................12

一、三角形中線問題

1.（23-24高三上?廣東中山?階段練習(xí)）已知。為△48C的外心，|阮|=6,前?就=4,當(dāng)

NC最大時，4B邊上的中線長為.

【答案】V15

【分析】作出圖形，利用平面向量的運算得到a?-02=8,再利用余弦定理與基本不等式求

得NC最大時b的值，從而得解.

【詳解】取力C中點。，連接。D、BD,貝。D014C,

則前■AC=（BD+網(wǎng).尼=麗?尼=■阮+瓦?）?（阮-BA）=4,

所以品2_源2=8,即a2-c2=8,又|阮|=6,所以a=6,c=2夕,

b2+8、2Vb2x8V2

則cosC=--->------=—

2ab12b—12b3

當(dāng)且僅當(dāng)爐=8,即b=2注時取等號，此時角C最大，

同時a?=b2+c2,所以4=90°,

所以AB邊上中線長為CE=y/AE2+AC2=V7T8=V15.

故答案為：V15.

【點睛】關(guān)鍵點睛:本題解決的關(guān)鍵是利用面向量的運算轉(zhuǎn)化前.AC，得到由22=8,

從而得解.

2.(23-24高一?全國?課后作業(yè))已知向量2=(—E,sin&),另=(l,cosA)，之〃3，且A

為AABC的內(nèi)角.

(1)求角A的大小;

(2)若44BC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a=14,b=10,求邊BC上的中線

AD的長.

【答案】(1)4=拳(2)AD=V19

【解析】(1)根據(jù)向量共線坐標所滿足的關(guān)系可得-禽cos4=sinA,從而求得tana=-V3,

結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍，可以確定2=?；

(2)根據(jù)4=?,可以求得sma=漁，根據(jù)題中所給的三角形的邊長，以及正弦定理可得

sMB="U=也，進而求得cosB=V，利用三角形內(nèi)角和以及余弦差角公式，求得

a1414

cosC=g,利用余弦定理求得c=6,之后應(yīng)用余弦定理求得4。=舊，得到結(jié)果.

【詳解】(1)因為五〃3，所以—舊cos4=sin4,所以tan4=—b.

因為。＜AV",所以4=學(xué).

(2)因為4=所以siziZ=在.又a=14,b=10,

32

所以在4aBe中，由正弦定理，可得s出B—竺出=義4=逋，所以8$2=用病萬=匚,

a141414

所以在中，cosC=cos(ji-A—B)=cos^-B)=cosmosB+sin^sinB=^.

在ZL4BC中，由余弦定理，PTWC2=b2+a2-2bacosC=100+196-2x14x10x—=

36,所以c=6.

在dABD中，由余弦定理,得=AB2+BD2-2ABxxcos8=36+49-2x6x7x

—=19.

14

所以AD=V19.

【點睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識點有向量共線坐標所滿足的條件,

正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，余弦定理，屬于較難題目.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))記AaBC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,6,c,已知acosC+

V3asinC—b—c=0-

（1）若△ABC的面積為且，求a的最小值；

4

⑵若a=g,BC邊上的中線長為右且△ABC的外接圓半徑為名，求△ABC的周長.

【答案】（1）1

（2）3+733.

【分析】（］）由acosC+y/SasinC—b—c=0和△ZBC的面積為,可得/=gbc=l

A3f

后由余弦定理結(jié)合基本不等式可得答案;

（2）由△力BC的外接圓半徑為G，結(jié)合正弦定理可得a=3.由BC的中點為E,

可得c2+b2+bc=25,后由余弦定理可得答案.

【詳解】(1)acosC+V3asinC—b—c=0=>abcosC+y/3absinC=b2+be

^2Ii,2_「2qo

^-^-+^=b2+bc^b^+c2-a^+2bc=3^bc(cosA+l)=-,

AA

sinA2sin—cos-AV3

又沙s仇4空,則22tan-=，

cosA+12cos2^23

又4e(0,it),則4=~-ShABC=|besinA=手=>6c=1,

又皿4=三=|,所以>2+。2_。2=1,

則1-b2+c2-a2>2bc-a2=2—a2,解得a>1,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=l時取等號，故。的

最小值為1：

（2）由正弦定理得a=2百5譏4=3,

設(shè)5C的中點為區(qū)則荏=）詬+而），兩邊平方得|碼2=1（廊/+|回2+2］明.

|i4C|?cos/）,

即（I）=^（c2+b2+be）=>c2+b2+be=25①

由余弦定理得a?=b2+c2—2bccosA=b2+c2-be=9②，

①一②得be=8,又a?=（6+c）2-3bc=9,解得b+c=

故△ABC的周長為a+6+c=3+庖.

4.（2024?四川）在△力BC中，角A氏C所對的邊分別為a,瓦c,且滿足cost：建一端

（1）求角B;

（2）若AABC外接圓的半徑為百，且4C邊上的中線長為合，求AABC的面積

【答案】（1）|；（2）6

【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解；

（2）由正弦定理得b=3,利用D為中點，結(jié)合向量的加法法則得2麗=瓦？+而，從而

得到17=c2+a?+ac,再結(jié)合余弦定理得ac=4,進而求得三角形面積.

【詳解】（］）由cosC=￡-梟得2》005。=2。一（:.

利用正弦定理得：2sinBcosC=2sinA—sinC,

即2s譏8cosC=2sin^B+C）—sinC,化簡得sinC=2sinCeos_B.

CG（0,TT）,???sinCW0,：?cosB=

（2）由正弦定理得上=2Wnb=3.

sinB

設(shè)。為4c邊上的中點，貝"。==BQ=包，

22

利用向量加法法則得：2而=BA+'BC

兩邊平方得：4BD2=~BA2+~BC2+2BA-BC，即17=c?+a?+ac

由余弦定理爐=c2+a2—2accosB,即9=c2+a2—ac,

兩式相減得8=lac,即ac=4.

由三角形面積公式得：SAABC~|ACSINB=V3.

【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦

定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角"或"角化邊"，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊"；

（2）若式子含有a,瓦c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，"邊化角"；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，"角化邊"；

（4）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（5）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到2+B+C=7T.

二、三角形角平分線問題

L（23-24高一下?上海?階段練習(xí)）在△力BC中，AC=2,BC=6,^ACB=60。.點。為△ABC

所在平面上一點，滿足瓦=zn市+n而（小、neR且m+nK1）.

⑴若m=n=-l,用刀，而表示反；

（2）若點。為△ABC的外心，求m、n的值；

⑶若點。在乙4cB的角平分線上，當(dāng)一三nW-］時，求|園的取值范圍.

【答案］⑴而=

（2）m=I，n=-|；

⑶件冏

【分析】（1）方=山瓦？+n礪可化簡方=m（沆+8?）+n（沉+而），化簡后可用表示

CA，麗表示反，代入巾=71=—1即可；

.(2)由點。為△ABC的外心，可得沆瓦=一[方2,方荏=一:而2,利用這兩個關(guān)系式可

求ZH、？1的值；

(3)設(shè)CD為N4CB的平分線，則黑=黑=：=[,利用平面向量基本定理和共線向量定理

可得：CO=A(1G4+iCB),再根據(jù)平面向量基本定理可得71=/,求出4的范圍后利用數(shù)

444A.-4

量積可得|而|=苧3從而可得I歷I的取值范圍.

【詳解】(1)因為玩=m就+幾而，所以擊=++n(而+荏)，

化簡后可得(1—m—n)OC=mCA+nCB，所以。C=1_；：_“S+CB,

若m=ri=—1,則OC=—(C4—1C8.

(2)如圖，設(shè)C4cB的中點分別為E,F,連接OE,。尸，

貝UOE14C,OF1BC,

又方刀=刀（屈+前）=方前=一：刀2,同理方方=一|方2,

又瓦.Nm?（」」?jié)?荏）=襦2+」一德.荏,

\l-m-n1-m-n/1-m-n1-m-n

1.4m,6n口丁中1、,6m,36n

即Rn一一X4=-----+------,同理--X36=-----+------,

21-m-n1-m-n21-m-n1-m-n

3

m=-

7

5；

n=——

7

（3）如圖，CD為乙4cB的平分線，則黑=黑=|=9，

|Co|\tSLf|o5

所以麗=-CA+-CB,

44

故4陽+工函=^—CA+」一族,

44m+n-1m+n-1

’m—32.

因為方，荏不共線，故書1一彳，所以71=七,

------=-X

\m+n-l4

因為一所以-JW/4W故？W4W|.

2424A-4423

又加2=A2(^CA2+^CB2+1C1CB)=孑旃

所以同=第4,所以苧4畫W遮.

故園的取值范圍為呼，句.

【點睛】本題考查平面向量基本定理、向量的數(shù)量積，解題時注意根據(jù)外心、角平分線等幾

何性質(zhì)實現(xiàn)向量計算時的轉(zhuǎn)化，本題屬于難題.

2.(23-24高一上,湖北咸寧?自主招生)如圖所示，在△ABC中，點。在BC邊上，點E在

線段4D上.

(1)若乙BED=Z.BAC=2乙CED=a.

①如圖1,若a=90。，AB=AC,過C作C/LAD于點F,直接寫出差的值為」

Cr

AP

②如圖2,若BD=3CD,求——的值.

BE

(2)如圖3,已知AD為△28C的角平分線，4E=DE=2,AC=5,tanBED=2,直接寫

出線段的的長度.

【答案】⑴2；叵二；

6

(2)EB=4V5

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定計算即可；構(gòu)造平行，根據(jù)

相似三角形的判定與性質(zhì)計算即可；

(2)構(gòu)造平行線利用等腰三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合已知推出4G,根據(jù)勾股定理計算FG、CG，

再由平行線分線段成比例即可即可.

【詳解】(1)①若a=90°,AB=AC,則/BED=90。,4CED=45°,

因為CFLAD,所以4ABE=90°—NBAE==NZFC,

所以△B4EWA4CF,即BE=4F,4E=CF,

易知△EFC為等腰直角三角形，則CF=EF=4E=今=2；

②如圖所示，過C作CF〃BE交4。于尸點，取G點滿足CF=CG,

根據(jù)題意有NABE=/.CAE,ZF=乙BED=a=4CGF,4GEC=乙GCE,

所以N4EB=NAGC,

則AAEB?△CG4所以也="，

AEBE

又C77/BE,所以有ADEB?ADFC,即些=處=3今BE=3CF=3CG,

CFDC

設(shè)CF=x,AE=y,則BE=3x,CG=x=EG,

7

故？="x+y=%y+y?-3x2=o=>(?)+(7)—3=0,解方程得力芍空

>0,所以'=①二

X2

故e=zV13-1

BE3x6

如圖過C作CF〃4D交BA延長線于凡延長BE交FC于G,連接AG,

貝UNBAD=ZF,ACAD=AACF,

又4。平分NB4C,貝UNBAD=ACAD=^ACF=zF,

所以4F=4C=5,

又ZE=ED,所以CG=FG,所以4G_LCF,

因為tcm/BED=2,AE=DE=2,

所以tcmz.AEG——=2=>AG=4,

AE

GF=y/AF2-AG2=3,GE=yjAE2+AG2=24,

因為DE〃CG,所以需=*=藁梟=|今隗=4倔

【點睛】思路點睛：解三角形線段比值問題，通常需要構(gòu)造相似三角形來轉(zhuǎn)化線段關(guān)系，本

題第一問第二小問通過構(gòu)造平行線借助"X"型相似及構(gòu)造倍角關(guān)系求線段比值；第二問通過

構(gòu)造平行線借助平行線分線段成比例及勾股定理計算線段長度.

3.(23-24高一下?河南周口?期末)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

QacosB+bcosA_V3(a2+d2-c2)

2absinC

⑴求c；

⑵若AABC的三條角平分線相交于點。，AB=7,0AB的面積為此，求OC.

4

【答案】（l）c=g

⑵。C

7

【分析】（1）由正余弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得tanC=石，據(jù)此求解;

（2）由三角形面積公式及余弦定理求出A。,8。，再由定理及正弦定理求解即可.

【詳解】（1）由止I=cosc及空竺生空吆_V3(a2+Z?2-c2)

—,

2ab2absinC

-^acosB+bcosA_y[3cosC

sinC

又由正弦定理，有三inAcosB+sinBcosA6cosc

sinCsinC

有四竺曳=巫匹，有亞￡=生竺￡,有tanC=6,

sinCsinCsinCsinC

TT

又由。6（0,兀），可得C=§；

,7T.

(2)由C=§,有N048+NOB4押+B)=知-C)=X-,

可得ZJ10B=7T—^=等，

在A0A8中，由AOAB的面積為生巨，有工40X。8xS出名=至3

4234

可得4。xOB15,

又由余弦定理及AB=7,有4。2+/。乂8。+8。2=49,

有(4。+BO)2-AOxBO=49,

代入4。*08=15,有40+30=8,

聯(lián)立｛黑:北二△解得｛需‘慧或I4B。=53,

1/1LX/XL/￡）一L

由對稱性不妨設(shè)｛需二I

在AOAB中，有cos"AB=P5V3

~~9可得si?i404B=------,

14-14

又由OA為角A的角平分線，有s比乙0ZC=2,

14

rxAnr3OC

在AOAC中，由正弦定理有啟，有短混=初,

sinZ.ACOsinZ.CAO'"匕―

可得。C=竽'

4.（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）已知△ABC的內(nèi)角4民C的對邊為a,b,c,且%占n曳=

sinc

3c-2b

a+b'

⑴求sin"；

(2)若△ABC的面積為:魚；

(i)已知E為8c的中點，求△ABC底邊BC上中線4E長的最小值;

(ii)求內(nèi)角4的角平分線4。長的最大值.

【答案】⑴延

3

(2)(i)辿(ii)近

33

【分析】(1)由正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再用余弦定理求出c°s4進而求出

sinZ的值即可；

(2)由三角形的面積公式|憶也4=?魚，可得尻=4,對向量荏=式屈+左)表達式兩

邊平方，應(yīng)用基本不等式即可求得4E長的最小值；

(3)由于S-DB+S&4DC=S&ABC，可得|(C+6)=2/)Ccos—,由COSA=三求出COS5的值,

應(yīng)用基本不等式即可求出角平分線長的最大值.

【詳解】(1)由正弦定理，得%E2=y,即02+爐一=；%,

ca+b3

故力=立匕貯=丸='因為4>0,所以4“0詞)，

COS^2bc2bc3C0SV2)

2

所以4nz=V1-rnq^4=11—~；

sinCOS?93

(2)(i)由(1)知友門人二言，且△ABC的面積為(魚，

由三角形的面積公式得：|facsin/l=iV2,解得be=4,

由于E為BC的中點，則族=((荏+前)，兩邊平方可得：

111/2\

2222222

AE=-(AB+AC+2AB-XC)=-(c+b+2/>cC0SX)^-^c+b+-bcj

由基本不等式可得：

］卜2+爐+|兒)>［白*+|兒)=：*|bc=|(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號取得到)，

所以同22號國2蜉，故4E長的最小值為蜉

(ii)因為2。為角4的角平分線，所以sin/BAD=sinzC4Z)=|x,

由于S—DB+^LADC—^^ABC9

—9

所以一2|Cqsjnin—2?—2I"。1bqsinin-2=一2尻＜;s治in4=sin2rcnoqs~2

由于所以|4D|(c+b)=2bCcosS

由于res"=2「門《2--1=工02-=-=＞「八-=—,

COSCOS23COS23COS23

又be=4,所以|AD|(c+b)=2hccos|=2x4xy=

由于b+cN2岳=4(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號取得到)，

故蜉=\AD\Qc+&)>2y[bc\AD\=4\AD\,

故不，即角平分線力。長的最大值為竽.

5.(23-24高一下,重慶?期末)在AABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,6,c,且

SITI2A-sinAsinB.

--c-os2；-B---c-os；-zC=1-

⑴求c；

⑵若c=遮，a+6=V6,求邊AB上的角平分線CD長；

⑶若AABC為銳角三角形，點F為A4BC的垂心，CF=6,求回七絲的取值范圍.

BF

【答案】喉

⑶&1)

【分析】(1)先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；

(2)利用余弦定理求出防，再由等面積法計算可得；

(3)延長AF交BC于M,延長交4c于E,設(shè)NBCF=0,6￡(0,^),分別求出AF、BF,

再根據(jù)三角恒等變換化一，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)因為吟B曖=1，C。S2B=1-s/B’cos2c=

COSCOSJ

所以si/"-sin'sinB=sin2c—sin2^,

由正弦定理得小-ah=C2-/J2,

則加。=當(dāng)『二，

COS2ab2

TT

因為Ce(0,7r),所以C=1；

(2)因為c=V3,a+b=V6,c2=a2+b2-ab=(a+b)2—3ab,

即(g)2=(V6)2-3ab，解得ab=1，

設(shè)邊AB上的角平分線CD長為x,

則SAABC—|o-bsinC=|(a+b'jxsin^,即absing=(a+b)xsin^,

即日=生，解得”=爭即邊,上的角平分線⑺長為爭

A

A

B'C

（3）延長AF交BC于M,延長8尸交4C于E,

設(shè)ZBCF=8,ee(o,1),所以N4CF=g一凡

在Rt△CMF中MF=CFsin0—6sin9,

在ACEB中NECB=巴，乙BEC=三,所以NEBC=%

326

在RMBMF中BF=熬=12s譏。，同理可得AF=2EF=12^(--d],

1\Lb'"6olll\3J

所以“。尸一”"6-73-12stn(-0)y/3-2(jsin^cos6-cos^sin0^

BF~12sind_2sinO

V3—V3cos3+sin0

2sin9

向1-cosO)12A*17301

=-----------------1—=---------------TTH—=—tan—I—,

(2.00

2sin9A4sin—cos—2222

22

因為ee(o,g,所以打(o.],所以￡加*(0片)，所以*cm*江體1),

即籌"的取值范圍為(fl).

【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略:

（1）利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角"；

（2）利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”.

求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類:

（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解;

（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.

三、三角形周長（邊長）（定值）

1.（23-24高一下?河南漂河?期末）己知三角形ABC的內(nèi)角A氏C所對的邊分別為a”,c,若

sin'c)=匕,且a=2.

sin"+sinCb-c

⑴若8=9求C；

o

⑵點。在邊BC上且AD平分N&4C,若4￡）=百，求三角形ABC的周長.

【答案】⑴生8

3

（2）6

【分析】（1）利用正、余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，即可求3,進而可得結(jié)果；

（2）利用面積關(guān)系可得be=b+c,結(jié)合+c2—a2=be列式求解即可.

【詳解】（1）由正弦定理可知三=七=三，

sin力sin^sin。

貝1sin（A+C）_sin（兀-B）_sin^_b_a-c

、sin'+sin。sin'+sin。sini4+sinca+cb~c

可得b（b—c）=（a+c）（a—c）,整理可得接+c2—a2=be.

由余弦定理知cc/=點+cjz=

COS2bc2

且46（0,兀），可得4=壬

rTCr—TLTLIT

由B=、知C=7i----=~,

o3oz

可知△ABC為直角三角形，所以?=q=空.

sinA3

（2）點。在邊BC上且4。平分NB4C,可知S—Bc=SAABO+SMCD，

111

^\-AB-AC-A=-AB-AD-z5XZ）+-AC-AD-^/-CAD,

2sincin2sincin2sinn

即|兒5也6?！?jc-V3sin30°+^b-V3sin30°,可得be=b+c.①

又因為Z>2+c2—a2=be,即廬+c2—4=be,可得（b+c）2=4+3bc.②

①代入②得到（b+c）2—3（b+c）—4=0,解得b+c=4或b+c=-l（舍去），

所以△4BC的周長為Q+b+c=2+4=6.

2.（23-24高一下?福建南平?期末）已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,。所對應(yīng)的邊分別為

b,c,且acosB+V5asinB—c—b=0.

⑴求A；

⑵若a=g，且△ABC的面積為它（4。2+02）,求△ABC的周長.

16

【答案】（1）4=g

（2）3+73

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角公式即可求解；

（2）根據(jù)三角形的面積公式可得4b2-4bc+c2=0,再結(jié)合余弦定理即可求解.

【詳解】（1）由正弦定理可得sinAcosB+百s譏As譏B—siziC—sinB=0,

所以sinAcosB+V3sinAsinB—（sinAcosB+cosAsinB）—sinB=0，

即sinB（V3sinA—cosA-1）=0,

因為0<B<7T,所以sinB70,

所以次sinA—cosA—1=0,化簡得2sin（4—2）=1,即5出（4-?）=5

又由0<力<兀，可得一巴<4一二<三兀，

666

故='所以2=宗

(2)由已知可得，S=-besinA=—bc=—(4fo2+c2)，

可得4力2—4bc+c2=0,化簡得，(2b—c)2=0,即2b=c,

又由余弦定理可得M=(V3)2=&2+c2-2bccos\化簡得，b2c2—be=3,

聯(lián)立解得b=l,c=2,

所以△2BC的周長為3+6

3.（23-24高二下?四川涼山?期末）在A