2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列求和

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)題含答案解析

第4節(jié)數(shù)列求和

考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項和公式.2.掌握非等差數(shù)列，非等

比數(shù)列求和的幾種常見方法.

知識診斷?基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

1.特殊數(shù)列的求和公式

⑴等差數(shù)列的前〃項和公式：

刀(ai+a”),n(?—1),

S=na\-j-^a.

n22—

(2)等比數(shù)列的前〃項和公式:

ncii，q=1,

S?='aq_ai(1—q")

n,a.

LqLg

2.數(shù)列求和的幾種常用方法

(1)分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.

(2)裂項相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可以相互抵消，從而求得

其和.

(3)錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這

個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.

(4)倒序相加法

如果一個數(shù)列｛服｝中，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),

那么求這個數(shù)列的前〃項和可用倒序相加法求解.

［常用結(jié)論］

l』+2+3+4+?T〃=—

2』2+22+...+T(〃+l)(2〃+1)

6

3.裂項求和常用的三種變形

111

(1)-

n(〃+1)n〃+1

11

(2)—dd

(2〃一1)(2〃+1)2

1

(3)

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)若數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，且公比不等于1,則其前〃項和出=至二況.()

-q

(2)當〃三2時，T—〃+J.()

(3)求&=。+2展+3/H-----時，只要把上式等號兩邊同時乘以。即可根據(jù)錯

位相減法求和.()

(4)若數(shù)列ai,及一ai,…，的一是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列｛念｝

的通項公式是。產(chǎn)三.()

答案⑴J(2)V(3)X(4)V

解析(3)要分。=0或。=1或aWO且aWl討論求解.

2.數(shù)列｛念｝中，ch=/1、，則數(shù)列｛z｝的前2024項和&024=______.

n(TZ+I)

答案2024

2025

解析由題意得a=--、=―rr

nn(〃十1)nn+1

___1=2024

故&024H-----bC0242025)1

J2025-20251

n

3.已知an=2+n,則數(shù)列｛?,｝的前n項和Sn=.

答案2?+1-2+-?2+-?

22

7(1——1

解析5?=(2+22H-----F2/!)+(l+2H-----\-n)=----------------1/?(?+1)=2,,+1—2+

1—22

［層十］〃,

22

4.數(shù)列｛(〃+3>2廠1｝前20項的和為.

答案22220—2

解析&0=4-1+5-21+6-22H-----H23-219,2520=4-2+5-22+6-23H------F23-220,

,,?(1—219)

兩式相減，得一&o=4+2+22+,,,+219—23-220=4H-------------------23,220=一

-1-2

22-220+2,

故5,20=22,220—2.

考點突破?題型剖析

考點一分組求和與并項求和

例1已知數(shù)列｛劣｝的通項公式為念=2〃+4,數(shù)列｛兒｝的首項為4=2.

(1)若｛兒｝是公差為3的等差數(shù)列，求證：包兒｝也是等差數(shù)列.

(2)若｛恁〃｝是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛兒｝的前n項和.

(1)證明因為數(shù)列｛兒｝是首項為4=2,公差為3的等差數(shù)列，

所以兒=2+3(〃―1)=3〃一1,

=

所以abn2bn~^4=2(3n—1)+4=6〃+2,

所以abn+i—a6"=6(〃+l)+2—(6〃+2)=6,

所以數(shù)歹是以6為公差的等差數(shù)列.

(2)解因為｛。％｝是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列｛兒｝的首項為是=2,即=2〃+4,

所以a/，1=02=2X2+4=8,

所以a%=8X2〃-i=2"2.

又因為a”=2〃+4,所以%=2為+4,

所以2兒+4=2"+2,解得兒=2"+i—2,

所以4+62+63T——b6?=(21+1-2)+(22+1-2)+(23+1-2)4——H(2?+1-2)=22+

92一2〃+2

23H----F2"+i—2〃=-------------2n=2',+2—2n—4,

1-2

所以數(shù)列｛兒｝的前〃項和為2-2—2〃一4.

感悟提升1.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有：分段型(如①.=

n,〃為奇數(shù)，②斯=2〃+3“”周期型〔如"尸‘in

2"，〃為偶數(shù);

2.并項求和法：一個數(shù)列的前〃項和中，可兩兩或幾個相結(jié)合求解，則稱之為并

項求和.形如斯=(-1)%〃)類型，可采用兩項合并求解.

訓(xùn)練1已知數(shù)列｛劣｝滿足m+2a2+…+〃z=2〃，數(shù)列｛兒｝滿足對任意正整數(shù)

機三2均有瓦”-i+b?,+bm+i=▲成立.

Clm

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式.

(2)求數(shù)列｛瓦｝的前99項和.

解(1)因為。1+2。2+…+〃Z=2”，

所以當時,〃1+2a2+…+(〃—1)呢—1=2(〃-1).

兩式相減，得九=2,所以斯=-(〃三2).

n

又當〃=1時，01=2,也符合上式，所以a”=2.

n

(2)由(1)知[=%

因為對任意的正整數(shù)加三2,

均有狐_i+狐+狐+1=」-=?,

dm2

故數(shù)列｛瓦｝的前99項和61+62+63+64+65+66H-----P697+698+699=(61+62+63)

+(Z74+65+Z?6)+?一+(Z?97+Z?98+699)=’+'+H-----=~+-+***+^=

Q2asQ98222

33x1”].

2

考點二裂項相消法求和

例2設(shè)數(shù)列｛詼｝滿足41+3a2H-----\-｛2n—1｝an—2n.

(1)求｛z｝的通項公式；

Qn

(2)求數(shù)列的前〃項和.

解(1)因為。1+3。2Hk(2〃-1)斯=2〃，①

故當〃22時，Qi+3a2+…+(2〃-3)呢—1=2(〃-1),②

7

①一②得(2〃一l)z=2,所以a=,

n2〃一1

又〃=1時，m=2適合上式，

2

從而｛斯｝的通項公式為a=----.

n2〃一1

Qn

(2)記l2〃+lj的前n項和為Sn,

由(1)知j-=-------------------------=一

2〃+1(2〃-1)(2〃+1)2n-12〃+1

則T+H+…+1--T-)=1-

2n-12〃+12?+12〃+1

感悟提升1.用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如:

一西),」，、=Ji——L),裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項.

n<n+k)knn+k

2.消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)

第幾項.

訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列｛詼｝的前〃項和為為,且2&=3飆一1.

(1)求｛念｝的通項公式；

3"

⑵若b=,求｛兒｝的前〃項和

n(即+1)(?！?1+1)

解(1)因為2S“=3a“一1,

所以2si=2m=3ai—1,即ai=l.

當〃>2時，2si=3..i—l,

==

則2S”-2Sn-\2an3an—3an-i,

整理得從=3,

則數(shù)列｛斯｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列,

故a〃=lX3"—i=3"-1.

(2)由(1)得兒=(…—[Il3?+1

所以。=3X[[30+1-31+1]+5+132+1[+[s2+l33+1]+…+

2-

J"),

即一。113

3〃+J=3—2=33

43"+142-3?+2

考點三錯位相減法求和

例3(12分)(2021?全國乙卷改編)設(shè)｛z｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)歹!J｛兒｝滿足兒

=y,已知m,3a2,9a3成等差數(shù)列.

(1)求｛斯｝和｛兒｝的通項公式；

(2)記Sn和Tn分別為｛斯｝和｛兒｝的前〃項和，求S?和Tn.

［思路分析］(1)設(shè)出數(shù)列｛念｝的公比，根據(jù)ai,3a2,9a3成等差數(shù)列列出方程求出

公比，可得bn；

(2)根據(jù)數(shù)列｛斯｝、｛兒｝通項公式的特征，利用等比數(shù)列的求和公式求利用錯

位相減法求Tn.

［規(guī)范解答］解(1)設(shè)｛斯｝的公比為公則斯=/一L

因為Q1,3(22,9。3成等差數(shù)列，

所以6。2=。1+9。3,

所以|6aq=m+9al十①，(2分)

一應(yīng)用方程的思想

即9q2~6q+1=0,解得夕=；，

故斯=,兒=七②,（4分）

一利用等比數(shù)列的通項公式

I—13?！埂尝?/p>

⑵由⑴知&=--=<3d,（6分）

1—12

3

4=；+3+]+…+?，①

332333"

[+…口分）②

33233343"3"1

一①式乘以等比數(shù)列的公比

1卜口rn

①一②得1刀尸：+[+[+?-+；一號=^------一七=乩1—利一%③，（10

3332333"3"1,13n123n1

1---

3

分）

一作差轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和

整理得"③Q2分）

一整理求Tn

[滿分規(guī)則]

?得步驟分：

①處據(jù)條件列出方程組即可得2分，④處有錯位相減求和的意識，即使后續(xù)計算

錯誤，也可得2分.

?得關(guān)鍵分：

②處正確求出數(shù)列的通項公式是求出4的基礎(chǔ)，此處出錯，最多得2分.

?得計算分：

③處都需要準確的計算，否則此步不得分，這也正是錯位相減法的難點所在.

訓(xùn)練3已知等比數(shù)列｛念｝的前〃項和為S”且ai=2,S3=a3+6.

(1)求數(shù)列｛?！ǎ耐椆?

(2)設(shè)兒=log2Z,求數(shù)列｛為兒｝的前n項和T?.

解(1)設(shè)等比數(shù)列｛劣｝的公比為q.

由<71=2,63=03+6,

得ai(l+q+q2)=6+aiq2,

解得q=2,

n

所以an=2.

(2)由(1)可得bn=log2tZn=〃,

n

所以anbn=n-2,

77?=1X2+2X22+3X23H-----P〃X2”,

2T?=1X22+2X23H-----P(〃-1)2"+〃2計1,

7(1—

所以一T〃=2+22H-----F2"一"2"+1=-----------------n-2n+1=2n+l—2~n-2n+l,

1-2

所以4=(〃―1)2〃+1+2.

分層精練?鞏固提升

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.數(shù)列｛斯｝的通項公式是a“=(—1)"(2〃-1),則該數(shù)列的前100項之和為()

A.-200B.-100

C.200D.100

答案D

解析5ioo=(-l+3)+(-5+7)H-----F(-197+199)=2X50=100.

2.(2023?安徽名校聯(lián)考)數(shù)列｛端的前n項和S?=2n+2,數(shù)列｛log2z｝的前〃項和為

T”則為0=()

A.190B.192

C.180D.182

答案B

解析Sn=2n+2,有1=2廠1+2（〃三2）,

當〃三2時，a"=S“一S/i=2〃+2—（2廠］+2）=2廠I

當〃=1時，ai=Si=2i+2=4,不滿足上式,

4,〃=1,

所以a—

n2廠I2.

2,n=l,

令兒=108202,則兒=

n-l,〃22,

所以T20=2+19X（1+19）-92.

2

3.(2023,東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列｛a.｝滿足對任意的正整數(shù)〃，都有ai+a2HVan

—a〃+i=0,其中ai=3,則數(shù)列｛斯｝的前2024項和是()

A.3X22024-3B.3X22023+l

C.3X22023D,3X22023+2

答案C

解析法一由ai+a2H------an+i=0,①

得。1+。2+…+a”—i—a”=0(〃N2),②

①一②，得2a〃一a〃+i=0,

即a"+i=22).

又ai1-472=0,ai=3,所以。2=3,

又。1+。2—。3=0,所以43=6,

所以數(shù)列｛呢｝從第2項起構(gòu)成以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛為｝的前2024項和

?3（1—22。23）

§2024=3=3X22023.

’1-2

法二設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項和為S",

則由ai+a2+…+斯—a*+i=0,

得Sn—Cln+\=0,

所以s“一(S”+1—S")=0,則￡+1=25,,

所以數(shù)列｛SJ是首項為5i=ai-3,公比為2的等比數(shù)列,

所以S=3X2"F,所以52024=3X22023.

4

4.（2023?金華質(zhì)檢）已知數(shù)列｛念｝的前〃項和S,滿足a=/+〃，則數(shù)列的前

8項的和為（）

A§B.-

78

C.&D—

910

答案C

==

解析當〃三2時，anSn—Sn-i2n,

當〃=1時，41=2也符合上式,

.?.a“=2〃(〃GN*),

44111

anan+i2n(2〃+2)n(〃+1)n〃+1

4

數(shù)列\(zhòng)ana?+i］的前8項的和為

5.(2023?青島調(diào)研)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和是&,且滿足m=3,儂=8儂-1,aik

+1=；。2左，左?N*,則S2023=()

A/2023—1B,3X22023-3

C.3X41O12-9D.5X41011-2

答案C

1

解析?二。2左=8。2左一1,。24+1二Cl2k,

2

???。2左+1=4。2k_1?

又=3,

???數(shù)列｛4201｝是首項為3,公比為4的等比數(shù)列.

V02=801=24,竺^=些±1必±1=4,

aikaik+\a2k

數(shù)列｛zR是首項為24,公比為4的等比數(shù)列.

§2023=(a1+。3+…+。2023)+(。2+44+…+。2022)

3(l—4i°i2)24(1—4°u)

=3X41012—9

1-41-4

6.(2023?廣州質(zhì)檢)在進行1+2+3+…+100的求和運算時，德國大數(shù)學(xué)家高斯提

出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律而

生成，因止匕此方法也稱為高斯算法.已知數(shù)列｛呢｝滿足筋消050s,機?N*),

則。1+。2+…+。m+2024=()

A.-+506B.-+506

24

C.m+506D.2m+506

答案B

解析記5=。1+。2+…+。川+2024,

口I1,2||m+2023.m+2024

貝1s=——+——-\-----1——-1-一—.

2m+40502m+40502m+40502m+4050

又s=加+2°24+加+2°23T___?21

2m+40502m+40502m+40502機+4050’

-rr-K—r/B加+2025、//Iccc八加+2024

兩式相加可得25=-------------X(rn+2024)=------------,

則5=m+2024=m+5()6

44

7.已知數(shù)列｛念｝滿足2z+i—a”=〃+2,ai=5,若｛念｝的前〃項和為S”則滿足不

等式Sn>2023的最小整數(shù)n的值是()

A.60B.62

C.63D.65

答案C

解析由2a”+1—斯=〃+2,

得斯+i=I斯

22

/?Un+l-(〃+1)=3(斯一〃).

又QL1=4,

數(shù)歹乜的一〃｝是首項為4,公比為g的等比數(shù)列，

則即一〃=4X12j=23n,

?**??=?+23",

.*.S?=(l+2+3+-+?)+(22+2+2°+2-1+-+23^)=8-23^+^y-^.

5960

當時，出單調(diào)遞增，562=1961-2-<2023,563=2024-2->2023,

故滿足不等式Sn>2023的最小整數(shù)〃的值為63.

8.若人x)十;(I—x)=2,以=寅0)+月+1〃[+…+][)+八1),則數(shù)列｛念｝的通項

答案〃+1

角窣析an=/(0)+/0+/0H----h/fn]+八1),

.*.a?=y(i)++?.

兩式相加，得2斯=[/(0)+犬1)]+[￡1+上力+…+LH+』J+卬)+川)],

??2a*2,(〃I1),??cin〃I1.

9.已知數(shù)列｛詼｝滿足ai=l,且斯+1+斯=〃一1009(〃￡N*),則其前2023項之和

&023=.

答案3034

解析&023=01+(。2+03)+(。4+。5)H-----1-(。2022+02023),

又-1009(〃?N*),且ai=l,

.*.52023=1+(2-1009)+(4-1009)H-----F(2022-1009)

=l+(2+4+6H-----F2022)-1009X1011

+2+2022

=1,2XI011-1009X1011=3034.

10.(2023,鄭州質(zhì)檢)已知數(shù)歹!]｛念｝中，<7i=L。2=2,11an-an+\-an+2=an+an+i+an

+2,則。1+。2+。3+…+。2024=.

答案4047

解析因為。展07+i.a〃+2=Q〃+z+i+a〃+2,①

所以當〃三2時，有

Un—1'Cln'Cln+\—1+即+念+1,②)

①一②得(。"+2一。"—1)=0,

因為41=1,42=2,所以2a3=3+。3,

解得43=3,顯然(2243^1,

于是有a篦+2—斯—1—09

于是當〃￡N*時，

所以數(shù)列｛斯｝是以3為周期的周期數(shù)列.

因為。1+。2+。3=6,

所以。1+。2+。3+—+〃2024=674義6+。1+。2=4044+1+2=4047.

11.(2023?重慶名校聯(lián)考)已知數(shù)列｛呢｝滿足°3=；,an+i=^-.

62an+l

(i)求證：數(shù)列U是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若bn=anan+i,求數(shù)列｛兒｝的前n項和Tn.

(1)證明顯然斯W0,對念+1=>^兩邊同時取倒數(shù)，

十1

12a+l

=n1卜2,

斯+1Clnan

即“=2

Qn

T

所以數(shù)列位是公差為2的等差數(shù)列.

又。3=1,所以-3)X2=2?,

6Cln。3

所以an=^-.

In

1卜口

1

⑵解

由已知得“I.」4n(〃+1)4

則數(shù)列｛兒｝的前〃項和

1

(4]+O+-+[?-?+1n

44〃+4

12.(2023,衡水調(diào)研)已知數(shù)列｛(/〃｝滿足:ai+2a2+2?。3+…+2"1，念=16〃.

(1)求｛金｝的通項公式；

(2)令兒=log2a〃+2「i,求數(shù)列｛兒｝的前〃項和Sn.

解(1)當〃=1時，?=16,

由題可知，ai+2a2+22。3T----"2"-25_I+2"F?>”=16%,①

1+2a2+2243+…+2=

當〃巳2時，。2"an-i16(?—1),②

n

①一②得2「%”=16,：.an=2^,

<21=5n

當”=1時，16滿足上式，an=2~.

5-n1

(2)d=log22+2廠=5—〃+2廠I

5?=(4+2°)+(3+21)+(2+22)H----F(5—〃+2廠】)=[4+3+2H------F(5-?)]+(2°

+2522+…+2G)=^^+2-L

【B級能力提升】

13.已知等差數(shù)列｛念｝中，俏+。5=芋+7,aio=19,貝!!數(shù)歹!J｛斯cos〃兀｝的前2024項

的和為()

A.1010B.1012

C.2023D.2024

答案D

解析設(shè)｛念｝的公差為d,

,,[2ai+6d=ai+3d+7,

則有，,

gi+9d=19,

,(71=1,

解得’a=2n—l,

d=2,n

bn=ClnCOS"71,

則bi+Z)2=aicos兀+a2cos2兀=2,63+64=031:053兀+a4cos4兀=2,........,

數(shù)列｛a.cos〃兀｝的前2024項的和為

2024

(Z)i+62)+(63+64)+…+(62023+62024)=2X—=2024.

14.(多選)(2023?長沙調(diào)研)“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.

從第1行開始，第〃行從左至右的數(shù)字之和記為0”如41=1+1=2,42=1+2

+1=4,…，｛念｝的前〃項和記為S”依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列

2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，記為｛兒｝,｛兒｝的前.項和記為5,則

下列說法正確的有()

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

A.5io=l022B.原S+J的前n項和為:------;

2斯+2—2

C.ZJ57=66D.T57=4150

答案BCD

解析對于A,從第1行開始，每一行的數(shù)依次對應(yīng)(a+b)〃的二項式系數(shù)，

2(]—2")

斯=(1+1尸=2",，｛斯｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，S〃=1=

2?+1-2,.,.510=2"—2=2046W1022,故A錯誤；

對于B_________=1_1

''Sn-Sn+1(2"+1—2)-(2"+2—2)2〃+i—22k2—2’

2a?f1___1]f11"I

Sn-Sn+l的前〃項和為I22—223~2j+(23—224—2J+…+

L+1-22〃+2—2]=：———二，故B正確；

n+2

22-22a?+2~2

對于C,去掉每一行中的1以后，每一行剩下的項數(shù)分別為0,1,2,3,…，構(gòu)

成一個等差數(shù)列，若項數(shù)之和“(〃+、W57,則〃的最大整數(shù)為10,楊輝三角

2

中取滿了第11行，因為第12行首位為1,

所以為7取的是第12行中的第三項，則為7=02=66,故C正確；

對于D,5n=212-2,這11行中共去掉了22個1,

T57=SU-22+656+^57=4094-22+Cl2+C?2=4150,故D正確.

15.（2023?湖北重點中學(xué)模擬）已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為出,且2z—&=2,記數(shù)

_____________On_____________

列.（即+1）（即+1+1）.的前〃項