2025年高考數學一輪復習講義：定點問題（原卷版）

專題51定點問題（新高考專用）

f目錄

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................2

【考點1】直線過定點問題.....................................................2

【考點2］其它曲線過定點問題................................................4

【分層檢測】................................................................5

【基礎篇】..................................................................5

【能力篇】..................................................................8

【培優(yōu)篇】..................................................................9

攣真題自測

一、解答題

1.（2022?全國?高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0,-2）,臺］，-“兩

點.

⑴求E的方程；

（2）設過點P（L-2）的直線交E于M,N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點”滿足

MT=TH-證明：直線HN過定點.

2.（2021?全國?高考真題）已知橢圓C的方程為二+4=1（。＞萬＞。），右焦點為尸（血,0），且離心率為逅.

a2b23

（1）求橢圓C的方程；

（2）設M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線/+〉2=〃2（*＞0）相切.證明：加，此廠三點共線的充

要條件是|MN|=6.

考點突破

【考點1】直線過定點問題

一、解答題

2

1.（2024,湖南邵陽?三模）已知橢圓C：2，+方v=1（。＞6＞0）的離心率1為右頂點。與C的上，下頂點所

圍成的三角形面積為2指.

⑴求C的方程.

⑵不過點。的動直線/與C交于A,3兩點，直線QA與。8的斜率之積恒為5.

（i）證明：直線/過定點；

（ii）求AQAB面積的最大值.

2.（2024?陜西?模擬預測）已知動圓M經過定點￡（-6,0）,且與圓月：（x-6）2+y=16內切.

⑴求動圓圓心M的軌跡C的方程；

⑵設軌跡C與x軸從左到右的交點為點48,點尸為軌跡C上異于42的動點，設直線PB交直線x=4于

點T,連接AT交軌跡C于點0；直線AP,AQ的斜率分別為七戶，kAQ.

（i）求證:《p&e為定值;

（ii）設直線尸。：x=3+〃，證明：直線PQ過定點.

3.（2024?廣東廣州?模擬預測）已知A（TO）,網1,0）,平面上有動點尸，且直線AP的斜率與直線3P的斜

率之積為1.

2

⑴求動點尸的軌跡。的方程.

⑵過點A的直線與。交于點M（M在第一象限），過點B的直線與O交于點N（N在第三象限），記直線AM，

8N的斜率分別為尢，k2,且尢=4七.試判斷AAMN與ABMN的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該

定值；若不為定值，請說明理由.

4.（2024?江西宜春?三模）已知以點M為圓心的動圓經過點6（-3,0）,且與圓心為F?的圓（％-3）2+丁=12相

切，記點M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵若動直線/與曲線C交于A85，為）兩點（其中乂%>。），點A關于x軸對稱的點為4,且直線

54'經過點尸（一1,0）.

（回）求證：直線/過定點；

（回）若|上4|+|尸8|=4小，求直線/的方程.

5.（23-24高二下?福建泉州?期中）已知拋物線C:y2=2px（0<p<3）,其焦點為P,點。（根,2石）在拋物線

C上，且|紗|=4.

⑴求拋物線C的方程；

⑵。為坐標原點，4,2為拋物線上不同的兩點，且。4_LO3,

（i）求證直線AB過定點；

（ii）求Y4FO與AASO面積之和的最小值.

6.（2024?江蘇鹽城?模擬預測）已知拋物線C：無2=2外（p>0）,動直線/與拋物線C交于A,8兩點，分別

過點A、點B作拋物線C的切線lt和4，直線4與x軸交于點M,直線4與無軸交于點N,乙和/2相交于點Q.當

點。為時，的外接圓的面積是4兀.

⑴求拋物線C的方程；

3

⑵若直線/的方程是y=x+],點P是拋物線C上在A,8兩點之間的動點（異于點A,8）,求麗.麗的

取值范圍；

⑶設r為拋物線C的焦點，證明：若出@=|用用恒成立，則直線/過定點

反思提升：

圓錐曲線中定點問題的兩種解法

⑴引進參數法：引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何

時沒有關系，找到定點.

3

(2)特殊到一般法：根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.

【考點2]其它曲線過定點問題

一、解答題

1.(2024?西藏拉薩?二模)已知拋物線C:*=2py(p>0)上的兩點A2的橫坐標分別為-4,81A5|=6店.

⑴求拋物線C的方程；

⑵若過點。(0,8)的直線/與拋物線C交于點問：以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出這

個定點；若不過定點，請說明理由.

2.(2024?山東泰安?模擬預測)已知拋物線=2py(p>0),焦點為尸，點C(2,l)在E上，直線/用、=履+1

(左W0)與E相交于Al兩點，過A,2分別向E的準線/作垂線，垂足分別為A，片.

⑴設4的面積分別為匯邑，邑，求證：S；=4邑§；

(2)若直線AC,分別與/相交于M,N,試證明以MN為直徑的圓過定點P,并求出點尸的坐標.

3.(2024?新疆喀什?三模)已知雙曲線E：V-3y2=3的左、右焦點分別為《，工，A是直線/：y=-二x

a

(其中。是實半軸長，c是半焦距)上不同于原點。的一個動點，斜率為尤的直線AE與雙曲線E交于M,

N兩點，斜率為網的直線A工與雙曲線E交于P,。兩點.

11,…

⑴求7+“的值；

(2)若直線OM,ON,OP,。。的斜率分別為心M，小kOP,心°,問是否存在點A,滿足

kOM+kON+kOP+kOQ=0,若存在，求出A點坐標；若不存在，說明理由.

22

4.(2024?福建泉州?模擬預測)已知雙曲線C:鼻-2=l(a>0,6>0)的實軸長為2,離心率為2,右焦點為F,

ab

P為C上的一個動點，

⑴若點尸在雙曲線C右支上，在X軸的負半軸上是否存在定點M.使得=若存在，求出點

”的坐標；若不存在，請說明理由.

(2)過戶作圓。：尤2+丁='的兩條切線卜3若切線卜4分別與C相交于另外的兩點E、G,證明：區(qū)aG

三點共線.

221

5.(2024?福建福州?模擬預測)已知橢圓W:]+}=l(a>b>0)的離心率為刀，且過點(2,0).

⑴求W的方程；

(2)直線彳一〃9+1=0(相片0)交卬于43兩點.

k

(i)點A關于原點的對稱點為C,直線的斜率為左，證明：人為定值；

m

4

cii)若W上存在點P使得衣，而在福上的投影向量相等，且APAB的重心在y軸上，求直線A3的方程.

22

6.(2024?天津和平?二模)在平面直角坐標系尤Oy中，橢圓去+方=l(a>6>0)的右焦點為點F橢圓上頂

AF277

點為點4右頂點為點8,且滿足r=.

⑴求橢圓的離心率；

(2)是否存在過原點。的直線/,使得直線/與橢圓在第三象限的交點為點C,且與直線AF交于點。，滿足

3y/3\FD\^2\CD\smZDOB,若存在，求出直線/的方程，若不存在，請說明理由.

反思提升：

(1)定點問題，先猜后證，可先考慮運動圖形是否有對稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的

水平位置、豎直位置，即左=0或左不存在時.

(2)以曲線上的點為參數,設點P(xi,yi),利用點在曲線於,y)=0上,即於1,州)=0消參.

電分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

22

1.(2021?山東濱州?一模)已知橢圓四：二+匕=1的左、右焦點分別是K，F2,左右頂點分別是A/兒,

點尸是橢圓上異于A，4的任意一點，則下列說法正確的是()

4

A.|尸制+|尸段=5B.直線PA與直線時的斜率之積為:

C.存在點P滿足N月尸K=90。D.若回耳P鳥的面積為4石，則點尸的橫坐標為土逐

2.(2021?浙江溫州三模)如圖，點A,B,C在拋物線丁=4x上，拋物線的焦點B在AB上，AC與x軸交

于點。，=AB±BC,則即=()

c.2A/3D.3

5

3.（2021?廣西?二模）已知橢圓=+y2=l的上頂點為A,B、C為橢圓上異于人的兩點，且AB1AC,則直

4'

線BC過定點（）

A.（1,0）B.（AO）C,（0,[D.]°，T]

2

4.（2023?河南?二模）已知動點尸在雙曲線C：尤=i上，雙曲線c的左、右焦點分別為耳，F2,則下

列結論：

①C的離心率為2；

②C的焦點弦最短為6；

③動點P到兩條漸近線的距離之積為定值；

\ppI

④當動點尸在雙曲線C的左支上時，的最大值為;.

-\PF2\4

其中正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、多選題

2

5.（2021?湖北黃岡?三模）己知動點P在雙曲線C:x2-q_=l上，雙曲線C的左、右焦點分別為片,為，下列

結論正確的是（）

A.雙曲線C的漸近線與圓。-2）2+丁=3相切

B.滿足|尸弱|=4的點p共有2個

C.直線V=MX-2）與雙曲線的兩支各有一個交點的充要條件是一有〈發(fā)〈班

D.若|「耳|+|尸用=8,則S△PKB=6

6.（2023?全國?模擬預測）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為R點A（2,l）在C上，尸為C上的一個動

點，貝U（）

A.C的準線方程為尸-1B.若M（0,3）,則1PM的最小值為20

C.若“（3,5）,則△PMF的周長的最小值為UD.在x軸上存在點E,使得NPEF為鈍角

7.（2024?河南?模擬預測）已知拋物線「：y2=16x,過點N（6,0）作直線乙，，直線4與「交于A,C兩點,

A在x軸上方，直線4與「交于8,D兩點，。在x軸上方，連接AB,C￡>,AD,8C,若直線AB過點加（2,0）,

則下列結論正確的是（）

6

A.若直線A3的斜率為1,則直線CD的斜率為:

B.直線CD過定點（18,0）

C.直線AZ）與直線2C的交點在直線x=T上

D.AABN與△CDN的面積之和的最小值為1600

三、填空題

8.（2021?遼寧?模擬預測）汽車前照燈主要由光源、反射鏡及配光片三部分組成，其中經過光源和反射鏡頂

點的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經反射鏡反射后均

可沿與拋物線對稱軸平行的方向射出.某汽車前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線C.在平面直角坐標系

中，設拋物線C:y2=4x,拋物線的準線記為/，點/（孤4）,動點P在拋物線上運動，若點P到準線/的距

離等于且滿足此條件的點P有且只有一個，則機=

9.（2024?四川宜賓?二模）己知產為拋物線C:/=-8>的焦點，過直線/：y=4上的動點M作拋物線的切線，

切點分別是P，Q,則直線PQ過定點.

10.（2023?全國?模擬預測）已知雙曲線;一/=1S>0）的一條漸近線的傾斜角的正切值為笠.若直線

41Q

廣如+"（1<4且療力一）與雙曲線交于43兩點，直線。4,08的斜率的倒數和為一，則直線產〃優(yōu)+"

5m

恒經過的定點為.

四、解答題

11.（22-23高三上?山西?階段練習）已知中心為坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓C經過點M（石,忘），

N（跖-1）.

⑴求C的方程；

（2）已知點0（3,0）,直線=與C交于A8兩點，且直線的斜率之和為！，證明：

點（?。┰谝粭l定拋物線上.

12.（2021?山西運城?模擬預測）已知尸（1,2）在拋物線C：>2=2。尤上.

⑴求拋物線C的方程；

（2）A,B是拋物線C上的兩個動點，如果直線9的斜率與直線尸8的斜率之和為2,證明：直線過定點.

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2021?浙江紹興?三模）過點"（1,1）的兩條直線4,4分別與雙曲線C：?-當相交于點A,

ab

。和點3,D,滿足汨=4加，B［M=AMD（彳>0且％wl）.若直線AB的斜率左=2,則雙曲線。的離

7

心率是（）

A.&B.V2+1C.2D.73

二、多選題

22

2.（2023?湖北襄陽?模擬預測）在平面直角坐標系xQy中，由直線x=T上任一點尸向橢圓上+乙=1作切

43

線，切點分別為A、B,點A在x軸的上方，貝（）

A.當點尸的坐標為（-4,0）時，|尸加=手

B.當點尸的坐標為（T,l）時，直線的斜率為36

C.存在點尸，使得NAP3為鈍角

D.存在點尸，使得|B4|=|尸

三、填空題

3.（2024?河南?二模）直線/：x-緲+2=0。〃>0）與拋物線：9=?相交于兩點，若在V軸上存在點P使

得麗?麗=0，則機的最小值為.

四、解答題

22

4.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線C：\一當=1（.>0/>0）的右焦點為廠（2,0）,直線/：x=（r<0）與