2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：定點(diǎn)問題（原卷版）

專題51定點(diǎn)問題（新高考專用）

f目錄

【真題自測(cè)】................................................................2

【考點(diǎn)突破】................................................................2

【考點(diǎn)1】直線過定點(diǎn)問題.....................................................2

【考點(diǎn)2］其它曲線過定點(diǎn)問題................................................4

【分層檢測(cè)】................................................................5

【基礎(chǔ)篇】..................................................................5

【能力篇】..................................................................8

【培優(yōu)篇】..................................................................9

攣真題自測(cè)

一、解答題

1.（2022?全國?高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過A（0,-2）,臺(tái)］，-“兩

點(diǎn).

⑴求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P（L-2）的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,點(diǎn)”滿足

MT=TH-證明：直線HN過定點(diǎn).

2.（2021?全國?高考真題）已知橢圓C的方程為二+4=1（。＞萬＞。），右焦點(diǎn)為尸（血,0），且離心率為逅.

a2b23

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線/+〉2=〃2（*＞0）相切.證明：加，此廠三點(diǎn)共線的充

要條件是|MN|=6.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】直線過定點(diǎn)問題

一、解答題

2

1.（2024,湖南邵陽?三模）已知橢圓C：2，+方v=1（。＞6＞0）的離心率1為右頂點(diǎn)。與C的上，下頂點(diǎn)所

圍成的三角形面積為2指.

⑴求C的方程.

⑵不過點(diǎn)。的動(dòng)直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，直線QA與。8的斜率之積恒為5.

（i）證明：直線/過定點(diǎn)；

（ii）求AQAB面積的最大值.

2.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過定點(diǎn)￡（-6,0）,且與圓月：（x-6）2+y=16內(nèi)切.

⑴求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；

⑵設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)48,點(diǎn)尸為軌跡C上異于42的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線x=4于

點(diǎn)T,連接AT交軌跡C于點(diǎn)0；直線AP,AQ的斜率分別為七戶，kAQ.

（i）求證:《p&e為定值;

（ii）設(shè)直線尸。：x=3+〃，證明：直線PQ過定點(diǎn).

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知A（TO）,網(wǎng)1,0）,平面上有動(dòng)點(diǎn)尸，且直線AP的斜率與直線3P的斜

率之積為1.

2

⑴求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡。的方程.

⑵過點(diǎn)A的直線與。交于點(diǎn)M（M在第一象限），過點(diǎn)B的直線與O交于點(diǎn)N（N在第三象限），記直線AM，

8N的斜率分別為尢，k2,且尢=4七.試判斷AAMN與ABMN的面積之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該

定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由.

4.（2024?江西宜春?三模）已知以點(diǎn)M為圓心的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)6（-3,0）,且與圓心為F?的圓（％-3）2+丁=12相

切，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵若動(dòng)直線/與曲線C交于A85，為）兩點(diǎn)（其中乂%>。），點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為4,且直線

54'經(jīng)過點(diǎn)尸（一1,0）.

（回）求證：直線/過定點(diǎn)；

（回）若|上4|+|尸8|=4小，求直線/的方程.

5.（23-24高二下?福建泉州?期中）已知拋物線C:y2=2px（0<p<3）,其焦點(diǎn)為P,點(diǎn)。（根,2石）在拋物線

C上，且|紗|=4.

⑴求拋物線C的方程；

⑵。為坐標(biāo)原點(diǎn)，4,2為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且。4_LO3,

（i）求證直線AB過定點(diǎn)；

（ii）求Y4FO與AASO面積之和的最小值.

6.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：無2=2外（p>0）,動(dòng)直線/與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，分別

過點(diǎn)A、點(diǎn)B作拋物線C的切線lt和4，直線4與x軸交于點(diǎn)M,直線4與無軸交于點(diǎn)N,乙和/2相交于點(diǎn)Q.當(dāng)

點(diǎn)。為時(shí)，的外接圓的面積是4兀.

⑴求拋物線C的方程；

3

⑵若直線/的方程是y=x+],點(diǎn)P是拋物線C上在A,8兩點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A,8）,求麗.麗的

取值范圍；

⑶設(shè)r為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：若出@=|用用恒成立，則直線/過定點(diǎn)

反思提升：

圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法

⑴引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何

時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).

3

(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

【考點(diǎn)2]其它曲線過定點(diǎn)問題

一、解答題

1.(2024?西藏拉薩?二模)已知拋物線C:*=2py(p>0)上的兩點(diǎn)A2的橫坐標(biāo)分別為-4,81A5|=6店.

⑴求拋物線C的方程；

⑵若過點(diǎn)。(0,8)的直線/與拋物線C交于點(diǎn)問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出這

個(gè)定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

2.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線=2py(p>0),焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)C(2,l)在E上，直線/用、=履+1

(左W0)與E相交于Al兩點(diǎn)，過A,2分別向E的準(zhǔn)線/作垂線，垂足分別為A，片.

⑴設(shè)4的面積分別為匯邑，邑，求證：S；=4邑§；

(2)若直線AC,分別與/相交于M,N,試證明以MN為直徑的圓過定點(diǎn)P,并求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

3.(2024?新疆喀什?三模)已知雙曲線E：V-3y2=3的左、右焦點(diǎn)分別為《，工，A是直線/：y=-二x

a

(其中。是實(shí)半軸長，c是半焦距)上不同于原點(diǎn)。的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為尤的直線AE與雙曲線E交于M,

N兩點(diǎn)，斜率為網(wǎng)的直線A工與雙曲線E交于P,。兩點(diǎn).

11,…

⑴求7+“的值；

(2)若直線OM,ON,OP,。。的斜率分別為心M，小kOP,心°,問是否存在點(diǎn)A,滿足

kOM+kON+kOP+kOQ=0,若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22

4.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線C:鼻-2=l(a>0,6>0)的實(shí)軸長為2,離心率為2,右焦點(diǎn)為F,

ab

P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

⑴若點(diǎn)尸在雙曲線C右支上，在X軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)M.使得=若存在，求出點(diǎn)

”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)過戶作圓。：尤2+丁='的兩條切線卜3若切線卜4分別與C相交于另外的兩點(diǎn)E、G,證明：區(qū)aG

三點(diǎn)共線.

221

5.(2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓W:]+}=l(a>b>0)的離心率為刀，且過點(diǎn)(2,0).

⑴求W的方程；

(2)直線彳一〃9+1=0(相片0)交卬于43兩點(diǎn).

k

(i)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,直線的斜率為左，證明：人為定值；

m

4

cii)若W上存在點(diǎn)P使得衣，而在福上的投影向量相等，且APAB的重心在y軸上，求直線A3的方程.

22

6.(2024?天津和平?二模)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，橢圓去+方=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F橢圓上頂

AF277

點(diǎn)為點(diǎn)4右頂點(diǎn)為點(diǎn)8,且滿足r=.

⑴求橢圓的離心率；

(2)是否存在過原點(diǎn)。的直線/,使得直線/與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C,且與直線AF交于點(diǎn)。，滿足

3y/3\FD\^2\CD\smZDOB,若存在，求出直線/的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

反思提升：

(1)定點(diǎn)問題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動(dòng)圖形是否有對(duì)稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的

水平位置、豎直位置，即左=0或左不存在時(shí).

(2)以曲線上的點(diǎn)為參數(shù),設(shè)點(diǎn)P(xi,yi),利用點(diǎn)在曲線於,y)=0上,即於1,州)=0消參.

電分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

22

1.(2021?山東濱州?一模)已知橢圓四：二+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別是K，F(xiàn)2,左右頂點(diǎn)分別是A/兒,

點(diǎn)尸是橢圓上異于A，4的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是()

4

A.|尸制+|尸段=5B.直線PA與直線時(shí)的斜率之積為:

C.存在點(diǎn)P滿足N月尸K=90。D.若回耳P鳥的面積為4石，則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為土逐

2.(2021?浙江溫州三模)如圖，點(diǎn)A,B,C在拋物線丁=4x上，拋物線的焦點(diǎn)B在AB上，AC與x軸交

于點(diǎn)。，=AB±BC,則即=()

c.2A/3D.3

5

3.（2021?廣西?二模）已知橢圓=+y2=l的上頂點(diǎn)為A,B、C為橢圓上異于人的兩點(diǎn)，且AB1AC,則直

4'

線BC過定點(diǎn)（）

A.（1,0）B.（AO）C,（0,[D.]°，T]

2

4.（2023?河南?二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在雙曲線C：尤=i上，雙曲線c的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,則下

列結(jié)論：

①C的離心率為2；

②C的焦點(diǎn)弦最短為6；

③動(dòng)點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值；

\ppI

④當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在雙曲線C的左支上時(shí)，的最大值為;.

-\PF2\4

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、多選題

2

5.（2021?湖北黃岡?三模）己知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C:x2-q_=l上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為片,為，下列

結(jié)論正確的是（）

A.雙曲線C的漸近線與圓。-2）2+丁=3相切

B.滿足|尸弱|=4的點(diǎn)p共有2個(gè)

C.直線V=MX-2）與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是一有〈發(fā)〈班

D.若|「耳|+|尸用=8,則S△PKB=6

6.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為R點(diǎn)A（2,l）在C上，尸為C上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，貝U（）

A.C的準(zhǔn)線方程為尸-1B.若M（0,3）,則1PM的最小值為20

C.若“（3,5）,則△PMF的周長的最小值為UD.在x軸上存在點(diǎn)E,使得NPEF為鈍角

7.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線「：y2=16x,過點(diǎn)N（6,0）作直線乙，，直線4與「交于A,C兩點(diǎn),

A在x軸上方，直線4與「交于8,D兩點(diǎn)，。在x軸上方，連接AB,C￡>,AD,8C,若直線AB過點(diǎn)加（2,0）,

則下列結(jié)論正確的是（）

6

A.若直線A3的斜率為1,則直線CD的斜率為:

B.直線CD過定點(diǎn)（18,0）

C.直線AZ）與直線2C的交點(diǎn)在直線x=T上

D.AABN與△CDN的面積之和的最小值為1600

三、填空題

8.（2021?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）汽車前照燈主要由光源、反射鏡及配光片三部分組成，其中經(jīng)過光源和反射鏡頂

點(diǎn)的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經(jīng)反射鏡反射后均

可沿與拋物線對(duì)稱軸平行的方向射出.某汽車前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線C.在平面直角坐標(biāo)系

中，設(shè)拋物線C:y2=4x,拋物線的準(zhǔn)線記為/，點(diǎn)/（孤4）,動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P到準(zhǔn)線/的距

離等于且滿足此條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，則機(jī)=

9.（2024?四川宜賓?二模）己知產(chǎn)為拋物線C:/=-8>的焦點(diǎn)，過直線/：y=4上的動(dòng)點(diǎn)M作拋物線的切線，

切點(diǎn)分別是P，Q,則直線PQ過定點(diǎn).

10.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線;一/=1S>0）的一條漸近線的傾斜角的正切值為笠.若直線

41Q

廣如+"（1<4且療力一）與雙曲線交于43兩點(diǎn)，直線。4,08的斜率的倒數(shù)和為一，則直線產(chǎn)〃優(yōu)+"

5m

恒經(jīng)過的定點(diǎn)為.

四、解答題

11.（22-23高三上?山西?階段練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M（石,忘），

N（跖-1）.

⑴求C的方程；

（2）已知點(diǎn)0（3,0）,直線=與C交于A8兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為！，證明：

點(diǎn)（?。┰谝粭l定拋物線上.

12.（2021?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè)）已知尸（1,2）在拋物線C：>2=2。尤上.

⑴求拋物線C的方程；

（2）A,B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線9的斜率與直線尸8的斜率之和為2,證明：直線過定點(diǎn).

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2021?浙江紹興?三模）過點(diǎn)"（1,1）的兩條直線4,4分別與雙曲線C：?-當(dāng)相交于點(diǎn)A,

ab

。和點(diǎn)3,D,滿足汨=4加，B［M=AMD（彳>0且％wl）.若直線AB的斜率左=2,則雙曲線。的離

7

心率是（）

A.&B.V2+1C.2D.73

二、多選題

22

2.（2023?湖北襄陽?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，由直線x=T上任一點(diǎn)尸向橢圓上+乙=1作切

43

線，切點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)A在x軸的上方，貝（）

A.當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-4,0）時(shí)，|尸加=手

B.當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（T,l）時(shí)，直線的斜率為36

C.存在點(diǎn)尸，使得NAP3為鈍角

D.存在點(diǎn)尸，使得|B4|=|尸

三、填空題

3.（2024?河南?二模）直線/：x-緲+2=0?！?gt;0）與拋物線：9=?相交于兩點(diǎn)，若在V軸上存在點(diǎn)P使

得麗?麗=0，則機(jī)的最小值為.

四、解答題

22

4.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：\一當(dāng)=1（.>0/>0）的右焦點(diǎn)為廠（2,0）,直線/：x=（r<0）與