2025年高考數(shù)學一輪復習講義：解三角形的應用（原卷版）

專題27解三角形的應用（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1】解三角形應用舉例..................................................4

【考點2】求解平面幾何問題...................................................6

【考點3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題......................................7

【分層檢測】................................................................9

【基礎篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................12

【培優(yōu)篇】.................................................................13

考試要求：

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.

.知識梳理

1.仰角和俯角

在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線

在水平視線下方叫俯角（如圖1）.

2.萬位角

從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為a（如圖

2）.

3.方向角

正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30。，北偏西45。等.

4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.

常用結論

1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混.

2.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系，從而應用正、余弦定理求解.

真題自測

一、單選題

1.（2022?全國?高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的"會

圓術"，如圖，是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是A8的中點，。在AS上，CD，Afi."會圓術"

2

給出A8的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+~-.當Q4=2,NAO3=60。時，s=（）

2.（2021?全國?高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的

高.如圖，點、E,H,G在水平線AC上，OE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表

高"，EG稱為“表距"，GC和E"都稱為"表目距"，GC與的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）

二、填空題

3.（2021?浙江?高考真題）在“1BC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中點，AM=26,則AC=

cosZMAC=.

4.（2021?浙江?高考真題）我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角

形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長分別是3,4,記大正方

形的面積為5,小正方形的面積為邑，則卷=.

3

5.（2021?全國?高考真題）記AABC是內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知加=ac,點。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC,求cosZA5c.

考點突破

【考點1］解三角形應用舉例

一、單選題

1.（2024?山東臨沂,一模）在同一平面上有相距14公里的A,8兩座炮臺，A在8的正東方.某次演習時，A向

西偏北。方向發(fā)射炮彈，8則向東偏北e方向發(fā)射炮彈，其中。為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的

同一目標，接著A改向向西偏北；方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點M,則3炮臺與彈著點M的距

2

離為（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

2.（23-24高一下?浙江?階段練習）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其

峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學建?；顒?，有建模課題組的學生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設

計了測量方案.如圖，在山腳A測得山頂尸得仰角為45。,沿傾斜角為15。的斜坡向上走了90米到達B點（4

B,P,。在同一個平面內），在8處測得山頂尸得仰角為60。，則鼎湖峰的山高尸。為（）米.

A.45（后-⑹B.45（A/6+A/2）

C.90（V3-l）D.90（V3+l）

二、多選題

4

3.（23-24高三下?重慶?階段練習）如圖，在海面上有兩個觀測點氏28在。的正北方向，距離為2km,在

某天10：00觀察到某航船在C處，此時測得=45。,5分鐘后該船行駛至A處，此時測得

ZABC=30",ZADB=60",ZADC=301,貝ij（）

A.觀測點8位于A處的北偏東75。方向

B.當天10：00時，該船到觀測點3的距離為am

C.當船行駛至A處時，該船到觀測點B的距離為痼m

D.該船在由C行駛至A的這5min內行駛了&km

4.（2024?甘肅蘭州?一模）某學校開展測量旗桿高度的數(shù)學建模活動，學生需通過建立模型、實地測量，迭

代優(yōu)化完成此次活動.在以下不同小組設計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有

A.在水平地面上任意尋找兩點A,B,分別測量旗桿頂端的仰角。，尸，再測量A,3兩點間距離

B.在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為"在該建筑物底部和頂部分別測得旗

桿頂端的仰角a和6

C.在地面上任意尋找一點A,測量旗桿頂端的仰角a,再測量A到旗桿底部的距離

D.在旗桿的正前方A處測得旗桿頂端的仰角。，正對旗桿前行5m到達5處，再次測量旗桿頂端的仰角

三、填空題

5.（2024?廣東湛江?二模）財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經濟技術開發(fā)區(qū)，是湛江經濟技術開發(fā)區(qū)的標志

性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓.為測量財富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高點4點A

在大廈底部的射影為點O,兩個測量基點B、C與。在同一水平面上，他測得BC=102近米，ZBOC=120°,

在點8處測得點A的仰角為。（tan6=2）,在點C處測得點A的仰角為45。，則財富匯大廈的高度Q4=_

米.

5

BC

6.（2021?山東濱州?二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題

一般稱為"米勒問題”.如圖，樹頂A離地面。米，樹上另一點B離地面6米，在離地面c（c<6）米的C處看此

樹，離此樹的水平距離為米時看48的視角最大.

反思提升：

1.在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內，視線與水平線

的夾角.

2.準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖.

3.運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用.

4.測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有

關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解.

5.方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.

【考點2］求解平面幾何問題

一、單選題

L（2024?山東?二模）在AABC中，設內角A比C的對邊分別為a,b,c,設甲：&-c=a（cosC-cosB）,設乙：

AABC是直角三角形，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

2.（2021?黑龍江大慶?模擬預測）下列命題中，不正確的是（）

6

A.線性回歸直線亍=加+&必過樣本點的中心（雙刃

B.若平面a_!_平面7,平面〃_L平面7,則平面。〃平面月

C.若/<[,貝lja>b"的逆命題為假命題

ab

D.若AABC為銳角三角形，貝UsinA>cos3.

二、多選題

3.（2022?河北滄州?模擬預測）在“LBC中，三邊長分別為a,b,c,且abc=2,則下列結論正確的是（）

A.a2b<2+ab2B.ab+a+b>2y/2

C.a+b2+c2>4D.a+b+c<1-/2

4.（2024?遼寧葫蘆島?一模）在正四棱臺中，AB=3AiBl=6,9=4,尸為棱B片上的動

點（含端點），則下列結論正確的是（）

A.四棱臺48。-4耳弓￡）1的表面積是40+32指

B.四棱臺AB。-AAGA的體積是電逑

3

C.AP+PG的最小值為2耳

D.AP+PC的最小值為66

三、填空題

5.（2023?陜西?模擬預測）已知在AASC中，AB=5,AC=3,3C=7,點。，E是邊8C上的兩點，點。在8,

4n

E之間，ZBAD=ZCAE,AB±AE,則——=__________.

DE

27r

6.（2023?陜西西安?模擬預測）在平面四邊形ABC。中，AB=2,D4-￡>C=6,NA3C=—,NACB=—,則四

36

邊形ABC。的面積的最大值為.

反思提升：

平面幾何中解三角形問題的求解思路

（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；

（2）尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果.

【考點3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題

一、解答題

1.（2024?北京?三模）已知函數(shù)/（x）=26sin0xcos0x+2cos2（yx,（（y>O）的最小正周期為幾.

⑴求。的值；

（2）在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c.c為了。）在0,|上的最大值，再從條件①、條件

②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：acosB+bcosA=2ccosC；條

7

件②：2asinAcosB+6sin24=6a;條件③：&4BC的面積為S,且s=9上士匕二0.注：如果選擇多

-4

個條件分別解答，按第一個條件計分.

2.（2024?福建漳州?模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，ZDAB=^,3=6，且AASC的外接圓半徑為4.

⑴若8c=4夜，AD=2五,求AACD的面積；

2冗

（2）若求BC—AD的最大值.

3.（2023?全國?模擬預測）十字測天儀廣泛應用于歐洲中世紀晚期的航海領域，主要用于測量太陽等星體的

方位,便于船員確定位置.如圖1所示，十字測天儀由桿A2和橫檔C。構成，并且E是8的中點，橫檔

與桿垂直并且可在桿上滑動.十字測天儀的使用方法如下：如圖2,手持十字測天儀，使得眼睛可以從A點

觀察.滑動橫檔。使得A,C在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線恰好經過點。，DE

的影子恰好是AE.然后，通過測量AE的長度，可計算出視線和水平面的夾角/C4D（稱為太陽高度角），

最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置.

A

圖1圖2

⑴在某次測量中，AE=40,橫檔的長度為20,求太陽高度角的正弦值.

（2）在桿上有兩點A，&滿足照二:9.當橫檔C。的中點E位于4時，記太陽高度角為4。=1,2）,

其中四,a?都是銳角.證明：/<2%.

4.（2023?福建泉州?模擬預測）在平面四邊形ABCD中，ZABC=60°,/ADC=120。，點8,。在直線AC

的兩側，AB=1,BC=2.

⑴求回BAC；

⑵求△ABD與AACD的面積之和的最大值.

5.（2023?河南?模擬預測）已知銳角三角形ABC的內角A,民C的對邊分別為。，b,c,

8

V3cosA

tanB+tanC=

cosBcosC

⑴求A;

⑵若a=n，求匕+c的取值范圍.

6.（2023?陜西榆林?三模）己知b,c分別為&ABC的內角A民C所對的邊，通.正=4,且acsin3=8sinA.

⑴求A；

（2）求sinAsinBsinC的取值范圍.

反思提升：

解三角形與三角函數(shù)的綜合應用主要體現(xiàn)在以下兩方面：（1）利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)

式進行解三角形；（2）解三角形與三角函數(shù)圖象和性質的綜合應用.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且。=7,6=3,c=5,

則（）

A.AABC為銳角三角形B.AASC為直角三角形

C.AABC為鈍角三角形D.AABC的形狀無法確定

7T

2.（2023?陜西寶雞?二模）在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=4,A=-,則a的

取值范圍為（）

A.(0,4A/3)B.(2,4旬

C.(2"4gD.(0,2@

3.（2024?安徽?模擬預測）在AABC中,C=2,C4邊上的高等于貝。sinB=（

62

A-TB-i

4.（2024?吉林?二模）如圖，位于某海域A處的甲船獲悉，在其北偏東60。方向C處有一艘漁船遇險后拋錨

等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15。，且與甲船相距0nmile的B處的乙船，已知遇險

漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（）

9

A.逝nmileB.2nmile

C.2A/2nmileD.35/2nmile

二、多選題

5.（20-21高三上?河北張家口?階段練習）在AABC中，角A、B、C的對邊分別是。、b、c.下面四個結

論正確的是（）

A.a=2,4=30。，則的外接圓半徑是4

B.若上7=々；，則A=45。

cosAsinB

c.若“2+62<02,則“IBC一定是鈍角三角形

D.若A<8,則cosA<cosB

6.（2023,重慶?三模）如圖，為了測量障礙物兩側A,B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定A8長度的是

B.a,尸，y

D.a,B,b

7.（2024?甘肅蘭州?一模）某學校開展測量旗桿高度的數(shù)學建?；顒樱瑢W生需通過建立模型、實地測量，迭

代優(yōu)化完成此次活動.在以下不同小組設計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有

A.在水平地面上任意尋找兩點A,B,分別測量旗桿頂端的仰角。，夕，再測量A,8兩點間距離

B.在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為"在該建筑物底部和頂部分別測得旗

桿頂端的仰角a和6

C.在地面上任意尋找一點A,測量旗桿頂端的仰角a,再測量A到旗桿底部的距離

D.在旗桿的正前方A處測得旗桿頂端的仰角正對旗桿前行5m到達5處，再次測量旗桿頂端的仰角

三、填空題

8.（15-16高三下?河南?階段練習）如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD,

為了測量該山坡相對于水平地面的坡角6,在山坡的A處測得ND4c=15°,沿山坡前進50根到達8處，又

測得ZDBC=45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得cos0=.

10

D

9.（21-22高二上?河南,期末）在回A8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設0ABe的面積為S,其

中a=2若，b2+c2=24,則S的最大值為.

10.（2023?河南?模擬預測）割圓術是估算圓周率的科學方法，由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)立，他用圓內接正

多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率為3.1416,在半徑為1的圓內任取一點，則該點取自其內接

正十二邊形的概率為.

四、解答題

A

11.（2024,安徽淮北?二模）記AABC的內角A氏C的對邊分別為a,b,c,已知c-b=2csii?,

⑴試判斷AABC的形狀；

（2）若c=l,求周長的最大值.

12.（21-22高三上?湖南長沙?階段練習）如圖，在平面四邊形A8C。中，BCSCD,AC=^3,AD=1,13cA。=30。.

⑴求S4C。；

（2）若0ABe為銳角三角形，求的取值范圍.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?江西南昌?三模）如圖，在扇形。4B中，半徑。4=4,ZAOB=90°,C在半徑02上，。在半徑

OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（）

11

A.（8,12]B.(80,12]

C.（8,8^]D.(4,872]

二、多選題

2.(2022?重慶?三模)在矩形ABCD中，AB=2,A￡>=4E,尸分別