2025年高考數(shù)學一輪復習講義：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（原卷版）

專題24三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................5

【考點1】三角函數(shù)的定義域和值域............................................5

【考點2】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性..................................7

【考點3】三角函數(shù)的單調(diào)性..................................................8

【分層檢測】...............................................................10

【基礎篇】.................................................................10

【能力篇】.................................................................12

【培優(yōu)篇】.................................................................13

考試要求：

1.能畫出三角函數(shù)的圖象.

2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（小）值.

3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì).

■知識梳理

L用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

（1）正弦函數(shù)尸sinx,xG［O,2同的圖象中,五個關鍵點是:（0,0）,1,1）,（71,0）,停,

（2兀，0）.

⑵余弦函數(shù)尸cosx,日0,2兀］的圖象中，五個關鍵點是：（0,1）,住o）,（口，一1）,修，0）,

（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左WZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象/I\1T2P

.ljr

定義域RR且杼女兀+弓

值域LI，11Ll，11R

最小正周期2兀2兀71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

（左兀一與左兀+習

遞增區(qū)間2kn—^,2E+J「2左兀一兀，2-兀］

?兀-T?3兀

遞減區(qū)間2E+],2^71+~「2左兀,2%兀+兀］無

,+$0)住，。

對稱中心（女兀，0）)

對稱軸方程x=kn~\~x=kjt無

|常用結論

1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中

心與對稱軸之間的距離是9個周期.正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.

2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為j=Asincox或y=Atan①x的形式，偶函數(shù)一般可化為y=Acos

（ox-\-b的形式.

3.對于尸tanx不能認為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個區(qū)間［兀苫，內(nèi)為增

2

函數(shù).

.真題自測

一、單選題

71

1.（2023?全國?高考真題）函數(shù)y=/（九）的圖象由函數(shù)y=cos（2x+Ej的圖象向左平移器個單位長度得到,

6

則y=/（x）的圖象與直線y的交點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

712兀

2.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=sin（@;+0），3>O）在區(qū)間單調(diào)遞增，直線尤=9和X=§

6'T63

5兀

為函數(shù)V=/（x）的圖像的兩條相鄰對稱軸，則/（）

12

A.4

B.CD.—

2-I2

3.(2022?全國?iWj考真題)設函數(shù)在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則。的取值

范圍是（）

5135191381319

A.B.C.D.

37~639~6~6,3~6,~6

71■JT

4.（2022,全國考真題）函數(shù)y=（3"—3r）cosx在區(qū)間-的圖象大致為（）

2

5.（2022?全國?高考真題）記函數(shù)f（x）=sin<T<%,且y=f(x)

71

的圖象關于點中心對稱，則/()

3

35r

A.1B.—C.-D.3

22

二、多選題

6.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/0）=5皿2》+切（0＜夕＜無）的圖像關于點（^,0）中心對稱，則（）

A.在區(qū)間單調(diào)遞減

B./（x）在區(qū)間（—五石"］有兩個極值點

7兀

c.直線X=：是曲線丁=/（尤）的對稱軸

O

D.直線y=走-x是曲線＞=/（元）的切線

-2

三、填空題

7.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)/■（x）=cosw-l（O＞0）在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個零點，則。的取值范

圍是?

8.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)〃x）=sin（0x+。），如圖A,B是直線y=J與曲線y=/（%）的兩個交

點，若|AB|=g貝仃（兀）=____.

6

9.（2022,全國?高考真題）記函數(shù)f（x）=cos（cox+^＞）（a＞＞0,0＜。＜兀）的最小正周期為T,若/'（T）=,x=—

為于（X）的零點，則a的最小值為.

10.（2021?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=2cos（0x+0）的部分圖像如圖所示，則滿足條件

（/（X）—/［一—的最小正整數(shù)x為.

4

.考點突破

【考點1】三角函數(shù)的定義域和值域

一、單選題

1.（23-24高一上?河北邢臺?階段練習）函數(shù)/（尤）=sinx+g的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

_.7t_.7C_,5兀_.JC

A.2人兀--,2kliH—(左eZ)B.2kli------,2左兀H—(keZ)

_36__66_

C.2防i,2kH+—(jteZ)D.2^71+—,2^71+—(左eZ)

_6366

2.（23-24高一上?北京朝陽,期末）函數(shù)/（x）=|sinx|+cosx是（）

A.奇函數(shù)，且最小值為-0B.奇函數(shù)，且最大值為友

C.偶函數(shù)，且最小值為一行D.偶函數(shù)，且最大值為0

二、多選題

3.（23-24高三下?江蘇南通?開學考試）已知函數(shù)/（尤）=cos2x+2sin無，則（）

A./⑺的最小正周期為27rB./⑺關于直線x對稱

⑴關于點（。中心對稱

C.3J,D.Ax）的最小值為一3

4.（2024?貴州貴陽?二模）函數(shù)尤）=Atan（5+°）（0＞O,O＜夕＜兀）的部分圖象如圖所示，則（）

5

B./（尤）在0,y上的值域為（-雙-百］3"+。）

c.函數(shù)y="（尤）1的圖象關于直線x=與57r對稱

D.若函數(shù)y="（x）|+2f（x）在區(qū)間高上不單調(diào)，則實數(shù)2的取值范圍是［-M］

三、填空題

TT

5.（2024?遼寧?二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,點E,F分別在線段8C,8上，S.ZEAF=-,

4

則屈.弱的最小值為.

6.（2021?河南關B州?二模）在團ABC中，角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,=l,A=—，若用+c有

a4

最大值，則實數(shù)幾的取值范圍是—.

反思提升：

1.求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式（組），解三角不等式（組）常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）常見的幾種類型：

⑴形如y=asinx+Z?cosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin（（wx+0）+c的形式，再求值域（最值）；

⑵形如y=asin2x+/?sinx+c的三角函數(shù)，可先設sinx=f,化為關于7的二次函數(shù)求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+/?（sinx土cosx）+c的三角函數(shù)，可先設/=sinx土cosx,化為關于/的二

次函數(shù)求值域（最值）.

【考點2】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性

一、單選題

1.（2024?重慶?模擬預測）將函數(shù)〃x）=sin（2x-T的圖象向右平移個單位后，所得圖象關于坐標

原點對稱，則夕的值可以為（）

2兀71兀71

A.B.c.一D.

T764

2.（2024,湖北武漢?模擬預測）若函數(shù)〃x）=3cos（0x+,“0<O,的最小正周期為兀，在區(qū)間

|哈上單調(diào)遞減，且在區(qū)間（。，胃上存在零點，則夕的取值范圍是（）

6

A.B.C.D.

3.（2024?北京西城?二模）將函數(shù)/（%）=tanx的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象再關于>軸對稱，得

到函數(shù)g（x）的圖象，則以%）=（）

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

二、多選題

sinx,2kji---<x<2hi+—

4.（2024,河南洛陽?模擬預測）已知函數(shù)/（尤）=<'；（AeZ）,則（）

_j7L-_5兀

cosx,2/C71+—<x<2KTI-\-----

I44

JT

A.f（x）的對稱軸為％=1+配,（kwZ）

B.f（x）的最小正周期為4兀

C.7（幻的最大值為1,最小值為一正

2

Ji57r

D.7（幻在-571上單調(diào)遞減，在7T,—上單調(diào)遞增

_4JL4_

5.（2024?遼寧?二模）己知函數(shù)/（尤）=蟆5（0苫+0）（0>0,|?|<5）滿足/［尤-1］=/（-%）,/［￡［+/1］］=0,

且在|上單調(diào)遞減，則（）

A.函數(shù)y=/（x）的圖象關于點［%。］對稱B.9可以等于-:

C.。可以等于5D.。可以等于3

6.（23-24高三上?山西運城?期末）已知函數(shù)"x）=tan］x+j+l,則（）

A.的一個周期為2B.〃x）的定義域是卜+

C.的圖象關于點對稱D.””在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞增

三、填空題

7.（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=；+A/§sin（y尤cos@x-cos2（yx（?>0）,若的圖象在［0,兀］上有

且僅有兩條對稱軸，則。的取值范圍是.

8.（2024?四川雅安?三模）己知函數(shù)/（x）［e=（Jcos2x是偶函數(shù)，則實數(shù)a=.

9.（2023?四川達州?一模）函數(shù)〃犬）=ln黃|+%tanx+3,且/⑺=6,則/（V）的值為.

反思提升：

⑴三角函數(shù)周期的一般求法

①公式法；

②不能用公式求周期的函數(shù)時，可考慮用圖象法或定義法求周期.

7

（2）對于可化為“x）=Asin（①x+°）（或火x）=74cos（①x+夕））形式的函數(shù)，如果求八元）的對稱軸，只

7T、

需令公r+9=]+hi（左￡Z）（或令5+夕=%兀（左￡Z））,求冗即可;如果求火工）的對稱中心的橫坐標，

只需令5+9=左兀（％QZ）（或令①式+9=號+析（左￡Z）j,求元即可.

⑶對于可化為?x）=Atan（①x+夕）形式的函數(shù)，如果求人x）的對稱中心的橫坐標，只需令①x+夕

“7T

=—（^EZ）,求X即可.

（4）三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=而皿（0x+0）

中代入x=0,若y=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).若y=Asin（（yx+0）為奇函

71

數(shù)，貝I9=左兀（左?Z）,若y=Asin（（yx+°）為偶函數(shù)，貝U9=/+E（左GZ）.

【考點3】三角函數(shù)的單調(diào)性

一、單選題

1.（2024?云南?模擬預測）已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，且當為,馬?y，0），與工務時，"百卜〃/）>。,

xi—x2

/、

若a=/log13,^=/（0.502）,c=/（sinl）,則下列選項正確的是（）

\2）

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

2.（2024?陜西榆林三模）已知ce（O,27i）,若當xe[0,l]時，關于1的不等式

（sina+coscir+l）%?-（2sina+l）x+sin（z>0恒成立，則a的取值范圍為（）

C.

二、多選題

3.（2022?湖北武漢?三模）已知函數(shù)〃x）=2x-8牘的零點為%,則（）

11

A-%。<5B.

D.x-^-<sitw

C.tanx>——00

n°2

4.（2024?湖南長沙?一模）已知函數(shù)〃x）=Atan（0x+e）（（y>O,O<o<7t）的部分圖象如圖所示，則（）

8

B.〃尤）的圖象過點［華，竺

c.函數(shù)y=|〃x）|的圖象關于直線x音對稱

D.若函數(shù)>=|〃刈+九〃村在區(qū)間（-子年］上不單調(diào)，則實數(shù)2的取值范圍是『1』

三、填空題

5.（2023?陜西西安?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=Acos（0x+0）+。，（A>0,?>0,H<1）的大致圖象如

圖所示，將函數(shù)外”的圖象上點的橫坐標拉伸為原來的3倍后，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)g（x）

的圖象，則函數(shù)g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為.

6.（2022?上海閔行?模擬預測）已知&e［0,nI,若sina-|cos回>0,則a的取值范圍是.

反思提升：

1.求較為復雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y=Asin（（?x+e）形式，再求y=Asin（（yx+^）

的單調(diào)區(qū)間，只需把①x+e看作一個整體代入y=sinx的相應單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意票先把①

化為正數(shù).

2.對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)①的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間

應為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關系可

求解，另外，若是選擇題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.

I分層檢測

9

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?福建?模擬預測）若函數(shù)/（x）=Asin2x-3在1至,mJ上有零點，則整數(shù)A的值是（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2024?貴州黔南?二模）若函數(shù)小）=85卜->可為偶函數(shù)，則夕的值可以是（）

5兀4兀71

A.—B.—C.兀D.-

632

3.（2024?安徽?三模）"0=土而歡eZ"是"函數(shù)y=tan（x+0）的圖象關于（加對稱"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（22-23高一下?湖北武漢?期中）若函數(shù)y=6cos（wx-sin0x（o>O）在區(qū)間上恰有唯一對稱軸,

則。的取值范圍為（）

-17>（17］（171門7-

A.—B.-C.—D.—

|_22）（36J（33j（22J

二、多選題

5.（2024云南模擬預測）己知函數(shù)用）=$皿妙+"）,0>0,好（0,71）,如圖，圖象經(jīng)過點4，|」），2［：,0

71

B.

11jr

c.x=m是函數(shù)/（x）的一條對稱軸

D.函數(shù)f（x）在區(qū)間，詈］上單調(diào)遞增

6.（2023?遼寧?模擬預測）已知定義域為/的偶函數(shù)使/'（%）<0,則下列函數(shù)中符合上述條

件的是（）

2Xx

A.f(x)=x-3B./(x)=2+2~C./(x)=iog2ixiD./(x)=cosx+l

7.（23-24高一上?廣東肇慶?期末）關于函下列說法中正確的有（）

10

A.是奇函數(shù)B.在區(qū)間卜去，]上單調(diào)遞增

C.為其圖象的一個對稱中心D.最小正周期為兀

三、填空題

8.（2022?江西?模擬預測）將函數(shù)/（x）=tan2x的圖像向左平移/（f>（））個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖像，

若=則/的最小值是

9.（2022?重慶沙坪壩?模擬預測）若函數(shù)y=cosw在看,0）單調(diào)遞增，在（0,1]單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取

值范圍是.

10.（21-22高三上?河南?階段練習）已知函數(shù)/（x）=x3cos[x+^p]為偶函數(shù)，且當xe（O,%）時，/（x）>0,

則?的值可能為.

四、解答題

1L（2022?北京門頭溝?一模）已知函數(shù)/（x）=sin（0x+o）（0>O,|d<m，彳=?是函數(shù)/（x）的對稱軸，且了⑴

在區(qū)間上單倜.

⑴從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得"X）的解析式存在，并求出其解析式；

條件①：函數(shù)"X）的圖象經(jīng)過點

條件②：[1，。）是/（X）的對稱中心；

條件③：0）是/*）的對稱中心.

⑵根據(jù)（1）中確定的/（X）,求函數(shù)y=/（x）|Co,mJ的值域.

12.（2021,浙江?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=6sin[2x—B]+sin[2x-尋].

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）若對任意的相2,2）,方程〃尤）=w（其中xw[0,a））始終有兩個不同的根毛，巧.

①求實數(shù)。的值；

②求百+%的值.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?陜西西安,模擬預測）己知函數(shù)/■（x）=2sin3x+0）（0>O，m<7r）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)“力

的圖象向左平移1個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，則