2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：最值、范圍問題（原卷版）

專題53最值、范圍問題（新高考專用）

目錄

【真題自測】................................................................2

【考點(diǎn)突破】................................................................3

【考點(diǎn)1】最值問題..........................................................3

【考點(diǎn)2】范圍問題..........................................................4

【分層檢測】................................................................6

【基礎(chǔ)篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................8

【培優(yōu)篇】..................................................................9

真題自測

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)已知橢圓C:一+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線V=%+根與。交于A,

3一

B兩點(diǎn),若△耳鉆面積是△工45面積的2倍，則加=().

A1B6C后D二

3333

二、解答題

產(chǎn)A?1

2.(2024?天津?高考真題)己知橢圓3+與=1(“>6>0)的離心率6=不左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為BC是線

ab2

段08的中點(diǎn)，其中心做=孚.

⑴求橢圓方程.

⑵過點(diǎn)(。,-|］的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)尸，Q.在>軸上是否存在點(diǎn)T使得若存在求出這個(gè)

T點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說明理由.

3.(2022?全國?高考真題)設(shè)拋物線。:丁=2。吠0>0)的焦點(diǎn)為八點(diǎn)。他,0),過尸的直線交C于M,N

兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線的傾斜角分別為當(dāng)c-6取得最大

值時(shí)，求直線的方程.

4.(2022?浙江?高考真題)如圖，已知橢圓］+y=1.設(shè)A,2是橢圓上異于P(0,l)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)。在

線段A3上，直線尸AP3分另U交直線>=-；x+3于C,。兩點(diǎn).

⑴求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

(2)求IC0的最小值.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］最值問題

一、解答題

2

r22_1

L（2024,湖南召口陽?三模）已知橢圓C：'+方v=1（。>6>0）的離心率為萬，右頂點(diǎn)。與C的上，下頂點(diǎn)所

圍成的三角形面積為2VL

⑴求C的方程.

⑵不過點(diǎn)。的動(dòng)直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，直線GA與的斜率之積恒為1.

（i）證明：直線/過定點(diǎn)；

（ii）求0AB面積的最大值.

22

2.（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測）已知橢圓C:二+當(dāng)=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為且閨用=2,

ab

過點(diǎn)工作兩條直線4，，直線4與C交于A3兩點(diǎn)，月AB的周長為40.

⑴求C的方程；

4

（2）若耳AB的面積為求乙的方程；

⑶若4與C交于兩點(diǎn)，且乙的斜率是乙的斜率的2倍，求|^^-|知1的最大值.

22

3.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)尸（U）在雙曲線一毛-與=1的一條漸近線上，4,8為雙曲線的左、右焦

ab

點(diǎn)且1P-&P=0.

⑴求雙曲線r的方程；

（2）過點(diǎn)尸的直線/與雙曲線「恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線/的方程；

⑶過點(diǎn)尸的直線/與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)A、B,求證：|至匕<2.7.

2

4.（2024?山東濟(jì)南?二模）已知點(diǎn)8（4,⑹是雙曲線Ti->2=i上一點(diǎn)，T在點(diǎn)B處的切線與x軸交于點(diǎn)A.

⑴求雙曲線T的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵過A且斜率非負(fù)的直線與T的左、右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于尸（當(dāng)N位于左頂點(diǎn)

時(shí)認(rèn)為N與P重合）.C為圓E:（a-l）2+（y+2）2=1上任意一點(diǎn)，求四邊形MBPC的面積S的最小值.

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知產(chǎn)為拋物線C：丁=2/（°>0）上的一點(diǎn)，直線了=陽+〃交c于A,

8兩點(diǎn)，且直線P4,尸3的斜率之積為2.

⑴求C的準(zhǔn)線方程；

（2）求根的最小值.

6.（2024?內(nèi)蒙古?三模）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是拋物線。：9=2px（p>0）的焦點(diǎn)，〃是。上一點(diǎn)，且

3

3

\MF\=\MO\=~.

⑴求C的方程；

（2）A,B是C上兩點(diǎn)（AB異于點(diǎn)。），以A3為直徑的圓過點(diǎn)為A3的中點(diǎn)，求直線斜率的最大值.

反思提升：

處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何法，

即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，

即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、

不等式方法等進(jìn)行求解.

【考點(diǎn)2】范圍問題

一、解答題

22

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知橢圓及心心0）,直線4與E交于M（TO）,N（-2,2）兩點(diǎn)，點(diǎn)

尸在線段MN上（不含端點(diǎn)），過點(diǎn)尸的另一條直線4與E交于A,B兩點(diǎn).

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若MP=PN，AP=（7-4揚(yáng)PB,點(diǎn)A在第二象限，求直線4的斜率；

⑶若直線MA,MB的斜率之和為2,求直線6的斜率的取值范圍.

22

2.（2024?重慶?三模）己知RC分別是橢圓「二+今=1（。>8>0）的右焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線/交橢

ab

jr

圓「于A,B兩點(diǎn)，滿足|4川+|8口=4,/八%>=§.

⑴求橢圓「的方程；

（2）設(shè)橢圓「的下頂點(diǎn)為。，過點(diǎn)。作兩條互相垂直的直線人如這兩條直線與橢圓「的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，

N,設(shè)直線4的斜率為左代WO）,—OMN的面積為S,當(dāng)時(shí)，求左的取值范圍.

\k\9

2

3.（2025?浙江?模擬預(yù)測）已知尸為雙曲線C：/一斗=］上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段。尸的垂直平分線與

a

雙曲線C相切.

⑴若點(diǎn)P是直線X=6y與圓/+y=2的交點(diǎn)，求“；

（2）求|。尸|的取值范圍.

2

4.（2024?貴州貴陽?三模）已知A為雙曲線C:f-匕=1的右頂點(diǎn),過點(diǎn)2（0,2）的直線/交C于。、E兩點(diǎn).

3

（1）若ADLAE,試求直線/的斜率；

（2）記雙曲線C的兩條漸近線分別為44,過曲線C的右支上一點(diǎn)尸作直線與乙，4分別交于/、N兩點(diǎn)，且

4

M、N位于'軸右側(cè)，若滿足=1,4,求S”。.的取值范圍(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

5.(2024?重慶?三模)設(shè)圓D：x2+y2+2x-88=0與拋物線C：/=2px(p>0)交于E,尸兩點(diǎn)，己知|E刊=16.

⑴求拋物線C的方程；

(2)若直線/：4x+3y-16=0與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，動(dòng)點(diǎn)加(異于點(diǎn)A,8)在拋物

線C上，連接MB,過點(diǎn)A作AN//MB交拋物線C于點(diǎn)M設(shè)直線AM與直線8N交于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在直線

/的左邊時(shí)，求：

①點(diǎn)尸的軌跡方程；

②上48面積的取值范圍.

6.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)在直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)尸到點(diǎn)(0,1)距離與點(diǎn)尸到直線產(chǎn)-2距離的差為-1,

記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

⑴求W的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為/(x。<0).

(i)求卬在點(diǎn)尸處的切線的斜率(用與表示)；

(ii)直線/與卬分別交于點(diǎn)A,B.若|上4|=歸到，求直線/的斜率的取值范圍(用與表示).

反思提升：

解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)

系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取

值范圍.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

22

1.(2022?浙江?模擬預(yù)測)已知橢圓G：土+匕=1與拋物線G：V=2px(p>0)交于4,2兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)

123

原點(diǎn)，若的外接圓經(jīng)過點(diǎn)C(3,0),則"等于()

1

A.-BC.2D.4

2-\

5

22_

2.（2024?河南?三模）已知橢圓C:02=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)為歹，短軸長為2百，點(diǎn)/在橢圓上，若I知/I

ab

的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）

A.3B.4C.1D.2

3.（2021?云南文山?模擬預(yù)測）已知雙曲線丁=1（〃〉0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)p,Q,右頂點(diǎn)為4

a

線段AP的中點(diǎn)為E,直線QE交x軸于則雙曲線的離心率為（）

A.V5B.—C.V10D.—

33

4.（2021?江西九江?一模）已知雙曲線E:V-y2=]的左右焦點(diǎn)分別為耳，與p5,%）為雙曲線后上一點(diǎn)，若

/￡尸用..90,則焉的取值范圍是（）

331

A.[1,6]B.[y/3,+oo）C.1,—D.~,+°°I

二、多選題

5.（2024?山東濟(jì)南?一模）已知橢圓C：《+M=l,且兩個(gè)焦點(diǎn)分別為尸一工，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，以

1612

下結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的離心率為且B.P月瑞的周長為12

2

C.|尸盟的最小值為3D.歸用忖閭的最大值為16

22

6.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：二-2=1（。>0,6>0）過點(diǎn)加,左、右焦點(diǎn)分別為耳,

ah

且一條漸近線的方程為3x+4y=0,點(diǎn)P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，則（）

雙曲線的方程為,一方=

A.C1B.MFCMF2=0

144?,

C.點(diǎn)尸到兩漸近線的距離的乘積為石D.|尸聞的最小值為1

7.（2020?全國,模擬預(yù)測）已知拋物線C：￡=2py（p>0）的焦點(diǎn)為尸，P為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線

/與拋物線C相交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)加（2,2）不在拋物線C上（）

A.若直線/過點(diǎn)Af,尸且與y軸垂直，則p=4

B.若1PMi+1PFI的最小值為3,則。=2

C.若直線/經(jīng)過焦點(diǎn)尸，則直線。4,OB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率L，L滿足%囁=-；

D.若過A,8所作的拋物線C的兩條切線互相垂直，且A,8兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和的最小值為2,則SMM=2

三、填空題

22

8.（23-24高三上?全國,階段練習(xí)）已知A（0」）,3（l,0）,點(diǎn)尸為橢圓C:]+]=l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)附+網(wǎng)取

6

最小值時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的值為.

9.（2021?山東德州二模）已知GF2是雙曲線/一個(gè)=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是雙曲線上任意一點(diǎn)，過F?作/耳尸凡

4

平分線的垂線，垂足為N,則點(diǎn)N到直線x+y-2&=0的距離的取值范圍是.

10.（2022?山東濟(jì)南?二模）已知拋物線方程為丁=4x,直線/:x+y+&=0,拋物線上一動(dòng)點(diǎn)尸到直線/的

距離的最小值為.

四、解答題

11.（2022?浙江嘉興?模擬預(yù)測）已知拋物線y2=2px（0>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線x=-2上的動(dòng)

點(diǎn).

⑴求p的值和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵設(shè)直線/與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),且氏求直線/在x軸上截距6的取值范圍.

12.（23-24高三上?天津南開?期末）設(shè)橢圓從/+/=1（。>6>0）經(jīng)過點(diǎn)半，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（TO）.

⑴求橢圓的方程；

⑵對(duì)角線互相垂直的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在E上，且兩條對(duì)角線均過E的右焦點(diǎn)，求陸。+忸的最

小值.

【能力篇】

一、單選題

/3V2

1.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知橢圓C：F+W=l（a>0）,點(diǎn)尸、。在橢圓C上，滿足在橢圓C上存在

aa

一點(diǎn)R到直線。尸、OQ的距離均為g。，則|。斗|。0的最大值是（）

12224282

A.—ciB.—aC.—aD.—a

3333

二、多選題

2.（2024,湖北武漢?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C:3+y2=l,圓。:尤2+9=5,p為圓。上

任意一點(diǎn)，。為橢圓C上任意一點(diǎn).過P作橢圓C的兩條切線4，/2,當(dāng)4，4與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，記兩切線

7

斜率分別為K，k=貝I］（）

A.橢圓C的離心率為@B.|PQ|的最小值為1

2

C.IPQI的最大值為&'+2D.+kl>3

三、填空題

3.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知直線4,/2是雙曲線C：!-y2=l的兩條漸近線，點(diǎn)p是雙曲線c上一點(diǎn)，若

點(diǎn)尸到漸近線4的距離的取值范圍是；/，則點(diǎn)尸到漸近線6的距離的取值范圍是.

四、解答題

22

4.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知雙曲線￡：二-3=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，工，離心率