正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)教案

§1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)【教材分析】《正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材必修4中的內(nèi)容，是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像的繼續(xù)，本課是根據(jù)正弦曲線余弦曲線這兩種曲線的特點(diǎn)得出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】.會(huì)根據(jù)圖象觀察得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)求含有sinx,cosx的三角式的性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用正、余弦的值域來(lái)求函數(shù)y=〃sinx+仇。wO）和函數(shù)y=4cos2x+bcosx+c（aw0）的值域.在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣..在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)克服困難取得成功的喜悅.【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用正、余弦的定義域、值域來(lái)求含有sinx,cosx的函數(shù)的值域【學(xué)情分析】知識(shí)結(jié)構(gòu)：在函數(shù)中我們學(xué)習(xí)了如何研究函數(shù)，對(duì)于正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)使學(xué)生已經(jīng)具備了一定的繪圖技能，類比推理畫(huà)出圖象，并通過(guò)觀察圖象，總結(jié)性質(zhì)的能力。心理特征：高一普通班學(xué)生已掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，并了解了三角函數(shù)的周期性，但學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力還不強(qiáng)：能夠通過(guò)討論、合作交流、辯論得到正確的知識(shí)。但在處理問(wèn)題時(shí)學(xué)生考慮問(wèn)題不深入，往往會(huì)造成錯(cuò)誤的結(jié)果?！窘虒W(xué)方法】.學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見(jiàn)后面的學(xué)案。.新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑一情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)一合作探究、精講點(diǎn)撥一反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)一發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)【課前準(zhǔn)備】.學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)“正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)”，初步把握性質(zhì)的推導(dǎo)。.教師的教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案?！菊n時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。二、復(fù)習(xí)導(dǎo)入、展ZK目標(biāo)。（一）問(wèn)題情境好習(xí)：如何作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象？生：描點(diǎn)法（幾何法、五點(diǎn)法），圖象變換法。并要求學(xué)生回憶哪五個(gè)關(guān)健點(diǎn)引入：研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)從哪幾個(gè)方面考慮？生：定義域、值域、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等提出本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)一一定義域與值域(-)探索研究給出正弦、余弦函數(shù)的圖象，讓學(xué)生觀察，并思考下列問(wèn)題:.定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集H(或(-8,+8))..值域(1)值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度不大于單位圓的半徑的長(zhǎng)度，所以|sinx|?1,|cosx|<1,即一1<siiix<1,-1<cosx<1也就是說(shuō)，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[-1,1].(2)最值正弦函數(shù))=sinx,x￡R①當(dāng)且僅當(dāng)X=-+2k^k￡Z時(shí),取得最大值1允②當(dāng)且僅當(dāng)x=--+2k^keZ時(shí),取得最小值一12余弦函數(shù))=COSX,XER①當(dāng)且僅當(dāng)x=2keZ時(shí),取得最大值1②當(dāng)且僅當(dāng)x=2&乃+萬(wàn)火￡Z時(shí),取得最小值一1.周期性由siii(x+2k兀)=sinx,cos(v+2k/r)=cosx,(k￡Z)知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的.定義：對(duì)于函數(shù)/。)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有/(x+T)=/(X),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.由此可知，2過(guò)44,…,一2萬(wàn),—4巴…,2女秋&gZ,k豐0)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)/0),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2br(A￡Z,AwO)都是它的周期,最小正周期是2%..奇偶性由siii(-x)=-siiix,cos(-x)=cosx可知：y=smx(XGR)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱y=cosx(x￡R)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.對(duì)稱性正弦函數(shù))』sinx(xwR)的對(duì)稱中心是伏陽(yáng)0)伙eZ),對(duì)稱軸是直線工=&萬(wàn)+/(&6Z);余弦函數(shù)y=cosx(xwR)的對(duì)稱中心是(我乃+2,0(k￡Z),對(duì)稱軸是直線工=版■(攵￡Z)(正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與x軸(中軸線)的交點(diǎn))..單調(diào)性從〉=sinx,x￡ 的圖象上可看出：元JT當(dāng)X￡［-時(shí)，曲線逐漸上升，S111X的值由一1增大到122當(dāng)x￡［2,2乃］時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到-122結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［―］+2攵漢］+2攵幻(k^Z)上都是增函數(shù),其值從一1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［1+2攵)尚乃+2&幻(ksZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到一1.余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［2&乃一《2%句(keZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增加到1；余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［2k《2k/r+司(&eZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到—1.三、例題分析例1、求函數(shù)y=sm(2x+g)的單調(diào)增區(qū)間.解析：求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間時(shí)，應(yīng)把三角函數(shù)符號(hào)后面的角看成一個(gè)整體，采用換元的方法，化歸到正、余弦函數(shù)的單調(diào)性.解：令z=2x+￡,函數(shù)v=smz的單調(diào)增區(qū)間為［一2+2女乃，-+2^^］.TOC\o"1-5"\h\z3 2 2由一三十2k/rW2x+三《工+2k冗得一些+k兀三十k7r2 3 2 12 12故函數(shù)y=sinz的單調(diào)增區(qū)間為【一!^+""，S+女乃［(k￡Z)點(diǎn)評(píng)：“整體思想”解題變式訓(xùn)練L求函數(shù)尸in(-2x+?)的單調(diào)增區(qū)間解：令z=-2x+。函數(shù)v=suiz的單調(diào)減區(qū)間為［工+2攵乃，衛(wèi)+2k門3 2 27元 jr故函數(shù)sin(-2x+1)的單調(diào)增區(qū)間為［一方一一立一女乃］(k￡Z).例2：判斷函數(shù)/(x)=sm(-x+—)的奇偶性解析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再看/(X)與/(-五)的關(guān)系，對(duì)(1)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，更便于判斷.TOC\o"1-5"\h\z布、 ?,3 34、 3x解：?J(x)=sin(-x+——)=-cos——，4 2 4.r/ /3x、 3x??J(T)=-COS(_--)=-COS—4 43 37i所以函數(shù)/(x)=sin(-x+——)為偶函數(shù).4 2點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，判斷“定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是必須的步驟.變式訓(xùn)練2.f(x)=lg(sm.￥+Jl+sufx)解：函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(-x)=lg[sm(-x)+Vl+sin^]=lg(-sinx+vl+sin\x)=lg(smx+Jl+su/x)-1=-lg(smx+Jl+sWx)=-f(x)所以函數(shù)/(x)=lg(sinx+Jl+sin^T)為奇函數(shù).例3.比較sin25比、sin260。的大小解析：通過(guò)誘導(dǎo)公式把角度化為同一單調(diào)區(qū)間，利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小TOC\o"1-5"\h\z解：:產(chǎn)smx在［工+2上乃，?+2*4］(kez),上是單調(diào)減函數(shù)，2 2又250°<260°:.sui250°>sui260°點(diǎn)評(píng)：比較同名的三角函數(shù)值的大小，找到單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用單調(diào)性即可，若比較更雜,先化間；比較不同名的三角函數(shù)值的大小，應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)值，再進(jìn)行比較.變式訓(xùn)練3.cos史■、(：<?出■8 95 15萬(wàn) 14萬(wàn)解：cos >cos 8 9由學(xué)生分析，得到結(jié)論，其他學(xué)生幫助補(bǔ)充、糾正完成。五、反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)。教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。課堂小結(jié)：1、數(shù)學(xué)知識(shí)：正、余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題2、數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、整體思想。達(dá)標(biāo)檢測(cè)：一、選擇題L函數(shù)y=JTsin2x的奇偶數(shù)性為(

B.偶函數(shù)A.B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)TOC\o"1-5"\h\zrr2.下列函數(shù)在弓,句上是增函數(shù)的是（ ）A.）^=siiir B.C?）=sin2x D.y=cos2xA7r}3.下列四個(gè)函數(shù)中，既是0,-上的增函數(shù)，又是以〃為周期的偶函數(shù)的是（ ）.\z）A.y=smx B.y=sm2x|C.y=|cosx| D.y=|cos2x|二、填空題4.把下列各等式成立的序號(hào)寫(xiě)在后面的橫線上。參考答案：I、A2、D3、A4、④?cosx=>/2 ②參考答案：I