2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章統(tǒng)計與概率5.3概率5.3.3古典概型學案新人教B版必修第二冊

PAGEPAGE25．3.3古典概型【課程標準】(1)結合詳細實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡潔隨機事務的概率．(2)通過實例，理解概率的性質，駕馭隨機事務概率的運算法則．新知初探·自主學習——突出基礎性教材要點學問點一古典概型一般地，假如隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事務(即基本領件)發(fā)生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型．學問點二古典概型的計算公式試驗的樣本空間包含n個樣本點，事務C包含有m個樣本點，則事務C發(fā)生的概率為：P(C)＝________．學問點三古典概型中概率的性質假設古典概型對應的樣本空間含n個樣本點，事務A包含m個樣本點，則：(1)由0≤m≤n與P(A)＝mn可知0≤P(A)≤(2)因為A中包含的樣本點個數(shù)為n－m，所以P(A)＝n?mn＝1－mn＝1－P(A)，即P(A)＋P((3)若事務B包含有k個樣本點，而且A與B互斥，則簡潔知道A＋B包含m＋k個樣本點，從而P(A＋B)＝m+kn＝mn＋kn＝P(A)＋P狀元隨筆(1)由古典概型的定義可得古典概型滿意基本領件的有限性和等可能性這兩個重要特征，所以求事務的概率就可以不用通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結果進行分析和計算即可．(2)在古典概型中，每個基本領件發(fā)生的可能性都相等，稱這些基本領件為等可能基本領件．基礎自測1．下列問題中是古典概型的是()A．種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B．擲一個質地不勻稱的骰子，求出現(xiàn)1點的概率C．在區(qū)間[1，4]上任取一個數(shù)，求這個數(shù)大于1.5的概率D．同時擲兩個質地勻稱的骰子，求向上的點數(shù)之和是5的概率2．若書架上放有數(shù)學、物理、化學書分別是5本、3本、2本，則隨機抽出一本是物理書的概率為()A．15 B．C．35 D．3．同時拋擲2枚質地勻稱的硬幣，則“兩枚硬幣均為正面對上”的概率是()A．14 B．C．23 D．4．將一顆骰子先后拋擲兩次，視察它們落地時朝上的面的點數(shù)，一共有______________個樣本點．課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1對古典概型的推斷[經典例題]例1(1)向一個圓面內隨機地投一個點，假如該點落在圓內隨意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？(2)如圖所示，射擊運動員向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中).你認為這是古典概型嗎？為什么？方法歸納推斷一個試驗是古典概型的依據(jù)推斷隨機試驗是否為古典概型，關鍵是抓住古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，二者缺一不行．跟蹤訓練1下列試驗是古典概型的為________．依據(jù)古典概型的定義推斷．①從6名同學中選出4人參與數(shù)學競賽，每人被選中的可能性大??；②同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．題型2簡潔古典概型概率的計算例2(1)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選擇進行競賽(規(guī)則：每匹馬只能參與一局競賽，三局兩勝)，則齊王獲勝的概率為()A．12B．56C．2狀元隨筆首先分析總的基本領件個數(shù)，再分析滿意題意的事務的基本領件個數(shù)，最終依據(jù)古典概型求出概率即可．(2)將兩顆骰子各投擲一次，則點數(shù)之和是8的概率為________，點數(shù)之和不小于10的概率為________．方法歸納求古典概型概率的步驟(1)推斷是否為古典概型；(2)求樣本空間包含的樣本點個數(shù)n；(3)算出事務A中包含的樣本點個數(shù)m；(4)算出事務A的概率，即P(A)＝mn跟蹤訓練2將一顆質地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次，視察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是________．題型3有放回與無放回問題的概率例3(1)從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的3件產品中，按先后依次隨意取出兩件產品，每次取出后不放回，則取出的兩件產品中恰有一件次品的概率是()A．34 B．23 C．12(2)從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A．14 B．38 C．12方法歸納在求解概率問題時，經常遇到這樣的狀況，即從一堆小球中抽取幾個小球，依據(jù)小球的顏色求解概率．解決此類問題時，首先要分清抽取的方式，即“有放回”與“無放回”．“有放回”是指抽取物體時，每一次抽取之后，都將被抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無放回”是指抽取物體時，在每一次抽取后，被抽取的物體放到一邊，并不放回到原處，這樣，前后兩次抽取時，后一次被抽取的物體的總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少1.這兩種狀況下基本領件總數(shù)是不同的．跟蹤訓練3(1)從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中任取兩數(shù)，則所取兩數(shù)均為偶數(shù)的概率是()A．110B．15C．2(2)甲盒中有一個紅球，兩個白球，這三個球除了顏色外完全相同，有放回地連續(xù)抽取兩次，每次從中隨意抽取一個，取出的兩個球中至少有一個白球的概率為()A．19B．13C．2題型4概率基本性質的應用[經典例題]例4為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料．若從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少？狀元隨筆“中獎”包括第一罐中獎但其次罐不中獎、第一罐不中獎但其次罐中獎、兩罐都中獎三種狀況．假如設A＝“中獎”，A1＝“第一罐中獎”，A2＝“其次罐中獎”，那么就可以通過事務的運算構建相應事務，并利用概率的性質解決問題．方法歸納(1)對于一個較困難的事務，一般將其分解為幾個簡潔的事務．當這些事務彼此互斥時，即可用概率加法公式．(2)運用事務的概率加法公式解題的步驟：①確定題中哪些事務彼此互斥；②將待求事務拆分為幾個互斥事務之和；③先求各互斥事務分別發(fā)生的概率，再求和．跟蹤訓練4在某超市的一個收銀臺等候的人數(shù)及相應的概率如下表所示：等候人數(shù)01234大于等于5概率0.050.140.350.300.100.06求：(1)等候人數(shù)不超過2的概率；(2)等候人數(shù)大于等于3的概率．狀元隨筆等候人數(shù)不超過2包括等候人數(shù)為0或1或2三種狀況；等候人數(shù)大于等于3包括等候人數(shù)為3，4和大于等于5三種狀況．5．3.3古典概型新知初探·自主學習m[基礎自測]1．解析：A，B兩項中的樣本點的發(fā)生不是等可能的；C項中樣本點的總數(shù)是無限的；D項中每個樣本點的發(fā)生是等可能的，且樣本點總數(shù)有限．答案：D2．解析：樣本點總數(shù)為10，“抽出一本是物理書”包含3個樣本點，所以其概率為310答案：B3．解析：同時擲兩枚質地勻稱的硬幣，基本領件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4種，出現(xiàn)兩枚正面朝上包含的基本領件只有1種：(正，正)，則兩枚硬幣均為正面對上的概率P＝14答案：A4．解析：兩次擲出的點數(shù)列表如下：1234561(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)易知共有36個樣本點．答案：36課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)試驗的全部可能結果是圓面內的全部點．試驗的全部可能結果數(shù)是無限的．因此，盡管每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性相同，這個試驗也不是古典概型．(2)試驗的全部可能結果只有11個，但是命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中)的出現(xiàn)不是等可能的，這個試驗也不是古典概型．跟蹤訓練1解析：①②④是古典概型，因為符合古典概型的定義和特點．③不是古典概型，因為不符合等可能性，降雨受多方面因素影響．答案：①②④例2【解析】(1)設齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別記為a1，a2，a3，田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別記為b1，b2，b3，齊王與田忌賽馬，其狀況有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，田忌獲勝；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，齊王獲勝；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齊王獲勝，共6種，其中齊王獲勝的有5種，所以齊王獲勝的概率為56(2)將兩顆骰子各投擲一次，一共有6×6＝36種狀況．其中點數(shù)之和為8的事務有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5種狀況．故概率為536其中點數(shù)之和不小于10的狀況有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6種狀況，故概率為636＝1【答案】(1)B(2)5跟蹤訓練2解析：總事務數(shù)為6×6＝36，滿意條件的事務有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4種，則點數(shù)和為5的概率為436＝1答案：1例3【解析】(1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結果組成的基本領件有：(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)(括號左邊表示第一次取出的產品，括號右邊表示其次次取出的產品)，共6種；滿意要求的的基本領件有：(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，共4種，所以目標事務的概率為：P＝46＝2(2)從寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，基本領件的個數(shù)為4×4＝16，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的基本領件為(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共6個，因此抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為616＝3【答案】(1)B(2)B跟蹤訓練3解析：(1)從1，2，3，4，5中抽取兩個數(shù)基本領件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10種，所取的兩個數(shù)均為偶數(shù)的有(2，4)，共1種，所以所取兩數(shù)均為偶數(shù)的概率為P＝110(2)由題意可知，設抽到紅球為事務A，抽到兩個白球分別為事務B1，B2，則基本領件共有AA，AB1，AB2，B1A，B1B1，B1B2，B2A，B2B1，B2B2共9個，則取出的兩個球中至少有一個白球由8個基本領件，所以由古典概型可知：P＝89答案：(1)A(2)D例4【解析】設事務A＝“中獎”，事務A1＝“第一罐中獎”，事務A2＝“其次罐中獎”，那么事務A1A2＝“兩罐都中獎”，A1A2＝“第一罐中獎，其次罐不中獎”，A1A2＝“第一罐不中獎，其次罐中獎”，且A＝A1A2∪A因為A1A2，A1A2，A1A2兩兩互斥，所以依據(jù)互斥事務的概率加法公式，可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＋P我們借助樹狀圖(如圖)來求相應事務的樣本點數(shù)．可以得到，樣本空間包含的樣本點個數(shù)為n(Ω)＝6×5＝30，且每個樣本點都是等可能的．因為n(A1A2)＝2，n(A1A2)＝8，n(A1A2)＝8，所以P(A)＝230+8上述解法須要分若干種狀況計算概率．留意到事務A的對立事務是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，由于A1A2＝“兩罐都不中獎”，而n(A1A2)＝4×3＝12，所以P(因此P(A)＝