廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考

廣州2024屆高三1月月考試卷本試卷共22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．留意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)求解,即可求解復(fù)數(shù)的模.【詳解】解：由題意得,則，，故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)A、B，進(jìn)行交集、并集運(yùn)算即可推斷【詳解】，，故，.故選：B3.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，，，故.故選：D.4.農(nóng)歷是我國古代通行歷法，被譽(yù)為“世界上最突出和最優(yōu)秀的才智結(jié)品”.它以月相改變周期為依據(jù)，每一次月相朔望改變?yōu)橐粋€(gè)月，即“朔望月”，約為29.5306天.由于歷法精度的須要，農(nóng)歷設(shè)置“閏月”，即依據(jù)肯定的規(guī)律每過若干年增加若干月份，來修正因?yàn)樘鞌?shù)的不完備造成的誤差，以使平均歷年與回來年相適應(yīng)設(shè)數(shù)列滿意，其中均為正整數(shù)，且，，，，，，…，那么第n級(jí)修正是“平均一年閏個(gè)月”，已知我國農(nóng)歷為“19年共閏7個(gè)月”，則它是（）A.第3級(jí)修正 B.第4級(jí)修正 C.第5級(jí)修正 D.第6級(jí)修正【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意依次求出，再推斷哪一個(gè)等于即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿意，，，…，其中均為正整數(shù)：，，，，，，…，所以，，，，，所以“年共閏個(gè)月”為第5級(jí)修正，故選：C5.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解，即，再由二倍角正切公式代入計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，即，即，所以；故選：D6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，可求得離心率.【詳解】左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，∴，設(shè)，則，由，依據(jù)勾股定理，有，即解得，即，由，，，，三點(diǎn)共線，∴，代入橢圓方程，有，化簡(jiǎn)得，所以橢圓離心率為.故選：B7.在四面體中，平面，平面，，且異面直線與的夾角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)題意畫出圖形，設(shè)出各邊的值，異面直線與的夾角為可求出,最終用三角換元法可求出答案.【詳解】如圖，將四面體放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，設(shè)，因?yàn)?，所以即，因?yàn)?，所以異面直線與的夾角為，在，即，聯(lián)立解得，所以設(shè)，，所以，的最大值為.故選：B8.已知圓的半徑為，，，，為圓上四點(diǎn)，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助單位圓建立直角坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求最大值.【詳解】知圓的半徑為，，，，為圓上四點(diǎn)，且，，為O為原點(diǎn)，OA為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，則有，，，，，

化簡(jiǎn)得，由，當(dāng)時(shí)，有最大值6.故選：C【點(diǎn)睛】數(shù)量積有關(guān)的最值和范圍問題是高考的熱點(diǎn)之一，其基本題型是依據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、夾角、系數(shù)的范圍等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(二次函數(shù)、三角函數(shù))等的最值或應(yīng)用基本不等式，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以還有一種思路是數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì).二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.單調(diào)遞增C.曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可推斷A，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可推斷函數(shù)單調(diào)性，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求切線斜率，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，即可比較的大小.【詳解】解：函數(shù)定義域?yàn)镽，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，綜上恒成立，故單調(diào)遞增，故B正確；由B得，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，且，所以，所以，故D正確.故選：BD.10.有個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，，，，，，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球．記第一次取出的球的數(shù)字為，其次次取出的球的數(shù)字為．設(shè)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，則（）A.B.C.事務(wù)“”與“”互斥D.事務(wù)“”與“”對(duì)立【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)古典概型運(yùn)算公式，結(jié)合互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義逐一推斷即可.【詳解】因?yàn)閺闹杏蟹呕氐碾S機(jī)取兩次，所以有種可能，有6種狀況，所以狀況共有，所以，因此選項(xiàng)A正確；兩次取球數(shù)字和為5有以下4種狀況：，所以，因此選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，所以事務(wù)“”與“”互斥，因此選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，但是當(dāng)時(shí)，，所以事務(wù)“”與“”不是對(duì)立事務(wù)，故選：AC11.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)為右支上一點(diǎn)，則（）A.的漸近線方程為B.C.當(dāng)，，，四點(diǎn)共圓時(shí)，D.當(dāng)，，，四點(diǎn)共圓時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，由，解出c，即可求b，求出漸近線；對(duì)B，設(shè)，則，結(jié)合，即可推斷；對(duì)CD，由四點(diǎn)共圓，得為直徑，則有，可解出，即可算出、，依據(jù)P、M所在象限從而推斷角【詳解】由，，，則，解得，由，故設(shè)，則，由雙曲線方程得，∴，故，同理，故，則，對(duì)A，的漸近線方程為，A對(duì)；對(duì)B，代入橢圓得，則，，B對(duì)；對(duì)CD，，，，四點(diǎn)共圓，，故為直徑，則，由B得，，即，解得，故，，又，解得，故，，M為第一象限的點(diǎn)，P可能為第一、第四象限的點(diǎn)，故或，C錯(cuò)D對(duì).故選：ABD12.如圖，在五面體中，底面為矩形，和均為等邊三角形，平面，，，且二面角和的大小均為．設(shè)五面體的各個(gè)頂點(diǎn)均位于球的表面上，則（）A.有且僅有一個(gè)，使得五面體為三棱柱B.有且僅有兩個(gè)，使得平面平面C.當(dāng)時(shí)，五面體的體積取得最大值D.當(dāng)時(shí)，球的半徑取得最小值【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)棱柱的定義，主要利用線面、面面平行判定和性質(zhì)定理判定A；利用線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定B；利用體積分割，求得體積關(guān)于角度的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得五面體的體積最大值的條件，從而判定C；利用球的性質(zhì)找到外接球的球心，進(jìn)而得到半徑的改變規(guī)律，從而判定何時(shí)外接球的半徑最小，從而判定D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:∵平面,經(jīng)過的平面與平面交于直線,∴,取的中點(diǎn)分別為,連接,則連接,∵和均為等邊三角形，∴,又∵底面為矩形，∴垂直,故得二面角的平面角為,二面角的平面角為,因?yàn)?，分別在平面和平面中，平面與平面和分別交于直線，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面平面,故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，平面平面,即五面體為三棱柱，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:當(dāng)平面和平面不平行時(shí)，它們的交線為,由于,平面，平面，∴平面,又∵平面,平面平面=直線，∴，∴同理，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面平面，由于四邊形為等腰梯形，∴當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，,∴當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，平面平面，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:設(shè)的補(bǔ)角為，過A作直線AR與直線PQ垂直相交，垂足為R，連接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,又∵AD∩AR=A,AD,AR?平面ADF,∴平面ADR⊥直線PQ，同理做出S,得到平面SBC⊥直線PQ，為直三棱柱的底面，且RS=EF為直三棱柱的高，、為三棱錐和的底面上的高因?yàn)椋?/p>

所以五面體的體積為（如上圖）或（如下圖）兩種狀況下都有，令則，所以，對(duì)求導(dǎo)得，令得（舍去）或，,,故時(shí)體積取得極大值也是最大值.所以，所以.五面體的體積取得最大值.故C正確；對(duì)于D項(xiàng)：取等邊的中心，的中點(diǎn)，過作平面QBC的垂線與過的平面ABCD的垂線的交點(diǎn)即為五面體PQABCD的外接球的球心，如圖所示，連接,,則,∵四邊形為邊長(zhǎng)肯定的矩形，∴為定值，∴當(dāng)且僅當(dāng)最小，即重合時(shí)外接球的半徑最小，此時(shí)為銳角，故D不對(duì).故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的綻開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．【答案】7【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以的系數(shù)為，故答案為：14.書架上放有本語文書和本數(shù)學(xué)書，學(xué)生甲先隨機(jī)取走本書，學(xué)生乙再在剩下的書中隨機(jī)取走本書．已知甲至少取走了本數(shù)學(xué)書，則乙取走語文書的概率為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意列出樣本空間“甲至少取走了本數(shù)學(xué)書”所包含的樣本點(diǎn)，再依據(jù)全概率公式即可求解.【詳解】解：記2本語文書為，本數(shù)學(xué)書為，則甲至少取走了本數(shù)學(xué)書包含以下基本領(lǐng)件：共9個(gè)基本領(lǐng)件，設(shè)“甲至少取走了本數(shù)學(xué)書的狀況下甲取走i本數(shù)學(xué)書”為事務(wù)，“乙取走語文書”為事務(wù)，則事務(wù)包含共6個(gè)基本領(lǐng)件，故同理可得則，故答案為：15.已知奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則__________．【答案】-1【解析】【分析】由題目條件得到解析式，再求的值.【詳解】為奇函數(shù)，∴，∴或，由在單調(diào)遞減，∴且，得，或，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：-116.已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，和一個(gè)極大值點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，則__________；若的解集為，則的極大值為__________．【答案】①.4②.4【解析】【分析】依據(jù)已知，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征可得是的微小值點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)可得的關(guān)系即可求出；由不等式的解集求出，再驗(yàn)證即可求出極大值作答.【詳解】因三次函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，則該函數(shù)必有一個(gè)微小值點(diǎn)，且微小值點(diǎn)大于，又恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，因此也是的微小值點(diǎn)，求導(dǎo)得：，即，是方程的二根，有，即，明顯，則，整理得，兩邊平方得：，因成等比數(shù)列，即，于是得，即，而，有，所以；明顯有，，，因的解集為，則5是方程的根，即有，整理得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，，不等式，解得，符合題意，函數(shù)的極大值為，當(dāng)時(shí)，，，不等式，解得，不符合題意，舍去，所以函數(shù)的極大值為.故答案為：4；4【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號(hào)不同．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．證明：（1）為等比數(shù)列；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推式可得，即，由等比數(shù)列定義證明即可；（2）由（1）求得，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式，結(jié)合，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由已知得①，②，②①：，即，特殊地，①中令得：，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知：，所以，故，留意到，明顯時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，，所以得證.18.我國航空事業(yè)的發(fā)展，離不開航天器上精密的零件．某車間運(yùn)用數(shù)控機(jī)床制造一種圓形齒輪零件．由于零件的高精度要求，該車間負(fù)責(zé)人須要每隔一個(gè)生產(chǎn)周期對(duì)所生產(chǎn)零件的直徑進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，排查機(jī)床可能存在的問題并剛好調(diào)試修理．已知該負(fù)責(zé)人在兩個(gè)相鄰生產(chǎn)周期（分別記為周期Ⅰ和周期Ⅱ）中分別隨機(jī)檢查了枚零件，測(cè)量得到的直徑（單位：）如下表所示：周期Ⅰ4.95.15.05.05.15.04.95.25.04.8周期Ⅱ4.85.25.05.04.84.85.25.15.05.1周期Ⅰ和周期Ⅱ中所生產(chǎn)零件直徑的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）推斷機(jī)床在周期Ⅱ是否出現(xiàn)了比周期Ⅰ更嚴(yán)峻的問題（假如，則認(rèn)為機(jī)床在周期Ⅱ出現(xiàn)了比周期Ⅰ更嚴(yán)峻的問題，否則不認(rèn)為出現(xiàn)了更嚴(yán)峻的問題）．【答案】（1）5.0；5.0；0.012；0.022（2）無法推想機(jī)床在周期Ⅱ出現(xiàn)了比周期Ⅰ更嚴(yán)峻的問題．【解析】【分析】(1)依據(jù)平均數(shù)，方差公式即可求解.(2)依據(jù)題中公式，進(jìn)行求值比較，即可求解.【小問1詳解】由表可知【小問2詳解】由（1）可知，因此在的顯著性水平下，無法推想機(jī)床在周期Ⅱ出現(xiàn)了比周期Ⅰ更嚴(yán)峻的問題．19.在四棱錐中，底面是矩形平面，，，且二面角的大小為．（1）求四棱錐的體積；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】(1)先依據(jù)空間位置關(guān)系，證明PF為錐體的高，再依據(jù)錐體體積公式，即可求解.(2)找出線面角的平面角，即可求出正弦值.【小問1詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，連接；在平面中作于．因?yàn)槠矫?，平面，所以．同理，．因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以就是二面角的平面角，從而．因?yàn)榈酌媸蔷匦危?，所以矩形是正方形．所以，．又因?yàn)?，所以是等邊三角形，故．因?yàn)?，，，所以平面，即是四棱錐的高．故四棱錐的體積．【小問2詳解】設(shè)．因?yàn)?，，所以是的重心，故．因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成角．于是，因此，直線與平面所成角的正弦值為．20.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，．（1）證明：；（2）求面積的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊，再由余弦定理角化邊，即可求證；（2）依據(jù)（1）的結(jié)論，將其兩邊平方，再結(jié)合余弦定理，得到面積的表達(dá)式，再結(jié)合協(xié)助角公式，即可求得最值，再依據(jù)取等條件，驗(yàn)證是否符合題意即可.【小問1詳解】由正弦定理及已知可得，整理可得．由余弦定理可得，整理可得，所以．【小問2詳解】由（1）可知．由余弦定理可得，化簡(jiǎn)可得．記的面積為，則．留意到，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．此時(shí)回代有，可反解出，，，易知符合題意．所以面積的最大值為．21.已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，，是的兩條切線，，是切點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：存在定點(diǎn)，使得．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.(2)設(shè)，，依據(jù)導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線PA,PB方程，聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)直線AB方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，則由，即可建立關(guān)于定點(diǎn)的方程，即可解出.【小問1詳解】由題可知的焦點(diǎn)為，依距離公式可得，解得．所以的方程為；【小問2詳解】設(shè)，．由，可知直線的方程為，即．同理直線的方程為．聯(lián)立解得．若記，則有所以可寫出直線的方程為，即，即．由與相交可知．聯(lián)立可得．設(shè)，則由可知上式關(guān)于恒成立當(dāng)且僅當(dāng)解得或因此，存在定點(diǎn)或，使得．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，依據(jù)題意，將條件翻譯成代數(shù)式，即可求解，對(duì)學(xué)生的綜合分析實(shí)力，以及計(jì)算實(shí)力有較高的要求.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（2）是否存在