24.1.2垂直于弦的直徑

人教版.九年級(jí)上冊(cè)24.1.2垂直于弦的直徑學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，了解圓是軸對(duì)稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論.

3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.重點(diǎn)：理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論.

難點(diǎn)：靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)：

圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線.結(jié)論：自主探究用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？●O

要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需要證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在的直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.

如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C,D以外的任意一點(diǎn).

過點(diǎn)A作AA’⊥CD,交⊙O于點(diǎn)A’，垂足為M,連接OA,OA’.結(jié)論證明在△OAA’中，∵OA=OA’

∴△OAA’是等腰三角形.∵AA’⊥CD∴AM=AM’即CD是AA’的垂直平分線，因此⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱.·OBCDMA從前面的證明我們知道,如果⊙O的直徑CD⊥AB，垂足為M

，那么點(diǎn)A與B對(duì)稱點(diǎn).你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?線段:

AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒這樣我們就得到了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵CD是直徑，AB為弦∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.幾何語言：垂徑定理CD⊥AB于點(diǎn)E，垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：ABOCDEABOEDABOCABO

DC想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直是不是，因?yàn)镃D沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE定理辨析如果把垂徑定理中“垂直于弦的直徑平分弦”的題設(shè)與結(jié)論交換一下，所得命題是否成立？所得命題：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦.·OABDMC已知：AB是⊙O的一條弦，

作直徑CD，使AM=BM.求證（1）CD⊥AB

（2）

定理推論⌒⌒AC與BC相等嗎？⌒⌒AD與BD相等嗎？如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒（1）連接AO,BO,則AO=BO又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）∴∠AEO=∠BEO=90°∴CD⊥AB推論論證AC與BC相等嗎？

AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒⌒思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的弧.·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.∵

CD是直徑，AB是弦（不是直徑）

且AM=BM,∴CD⊥AB，⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.幾何語言：垂徑定理推論37m7.23m例

趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑.人教版初中數(shù)學(xué)《垂直于弦的直徑》ppt精美（PPT優(yōu)秀課件）例題講解

解：用

表示主橋拱，設(shè)

所在圓的圓心為O，半徑為R．

經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足.由垂徑定理可得，D是AB的中點(diǎn)，C是

的中點(diǎn)，CD就是拱高．ACDBOAD=AB=18.5，R18.5OD=OC-CD=R-7.23在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2R-7.23∴R2=18.52+(R-7.23)2解得R≈27.3∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m．例題講解如圖，已知在圓O中，弦AB的長(zhǎng)為8㎝，圓心O到AB的距離為3㎝，求圓O的半徑.解：過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，連接OA.，AE=4cm

OE⊥AB

OE=3cm在Rt△OEA中，根據(jù)勾股定理得：AO2=OE2+AE2=32+42=25AO=5cm鞏固練習(xí)在利用垂徑定理解題時(shí)，通常需要作______，構(gòu)造__________，把___