數(shù)學(xué)課堂探究：用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究1．對頻率分布直方圖的理解剖析:(1)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為eq\f（頻率,組距），而不是eq\f（頻數(shù),組距）．（2）因?yàn)樾￠L方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小．(3)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積之和等于1．（4）同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，得到的頻率分布直方圖的形狀也會不同．（5）同一個總體，由于抽樣的隨機(jī)性，如果隨機(jī)抽取另外一個容量為100的樣本，所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同．但是,它們都可以近似地看做總體的分布．（6)從頻率分布直方圖中可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢．(7)頻率分布表和頻率分布直方圖由樣本決定，因此它們會隨樣本的改變而改變．2．頻率分布表、頻率分布直方圖與頻率分布折線圖的關(guān)系剖析：頻率分布直方圖中各小矩形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大?。诜从硺颖镜念l率分布方面，頻率分布表比較準(zhǔn)確，頻率分布直方圖比較直觀，它們起著相互補(bǔ)充的作用．頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢．題型一樣本的頻率分布【例1】一個容量為100的樣本,其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下：組別［0,10)[10，20）［20，30)［30,40)［40，50）[50，60)［60，70］頻數(shù)1213241516137則樣本數(shù)據(jù)落在［10，40)上的頻率為（)A．0．13B．0．39C．0．52D．0．64解析：樣本數(shù)據(jù)落在［10,40)上的頻數(shù)為13＋24＋15＝52，故其頻率為eq\f(52,100）＝0．52．答案：C此范圍上的頻率為頻數(shù)除以樣本容量，注意頻數(shù)之和應(yīng)為樣本容量,頻率之和為1．題型二頻率分布直方圖的識讀與應(yīng)用【例2】圖1是某市有關(guān)部門根據(jù)對當(dāng)?shù)馗刹康脑率杖肭闆r調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖,已知圖中從左向右第一組的頻數(shù)為4000．在樣本中記月收入（單位:元)在［1000,1500），［1500，2000),［2000,2500)，［2500，3000)，[3000，3500),［3500，4000)的人數(shù)依次為A1，A2，…，A6．圖2是統(tǒng)計(jì)月工資收入在一定范圍內(nèi)的人數(shù)的算法流程圖，則樣本的容量n＝__________，輸出的S＝__________．(用數(shù)字作答）圖1圖2解析:∵月收入在[1000，1500）的頻率為0．0008×500＝0．4，且有4000人，∴樣本的容量n＝eq\f(4000，0.4）＝10000．由圖2知輸出的S＝A2＋A3＋…＋A6＝10000－4000＝6000．答案：100006000反思本題是把統(tǒng)計(jì)圖表和程序框圖結(jié)合起來的一類綜合問題,對于頻率分布直方圖的識讀，最主要的是把握好頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量）這一核心關(guān)系，再者每個矩形的面積等于相應(yīng)組的頻率，各組的頻率和等于1，也就是各小矩形的面積的和等于1．題型三莖葉圖的制作與識讀【例3】某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A．將其與原有的一個優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗(yàn)．兩種小麥各種植了25公頃，所得每公頃產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357，359,367，368，375,388,392，399,400,405,412,414,415,421，423，423,427，430，430,434,443,445，445,451，454品種B：363,371,374,383,385，386,391,392,394，394，395,397，397,400，401，401,403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）試用莖葉圖表示兩個品種每公頃的產(chǎn)量．（2）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？解：(1)（2)由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況,便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)．反思莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少、較為集中且位數(shù)不多時比較適用．由于它較好地保留了原始數(shù)據(jù)，所以可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布,還可以用來分析樣本數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征，用以判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．題型四頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用【例4】某校為慶?！拔逡粍趧庸?jié)”,進(jìn)行模具制作評比，作品上交時間為5月1日至31日，評委會把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖（如圖所示)，已知從左到右各長方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1，第三組的頻數(shù)為12，請解答下列問題：(1）本次活動共有多少件作品參加評比？(2）哪組上交的作品數(shù)最多?有多少件？（3)經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，問這兩組哪組獲獎率較高?解：（1）依題意知第三組的頻率為eq\f（4,2＋3＋4＋6＋4＋1)＝eq\f(1，5)．又因?yàn)榈谌M的頻數(shù)為12,所以本次活動的參評作品有eq\f(12,\f(1,5))＝60(件)．(2)根據(jù)題中頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共有60×eq\f(6，2＋3＋4＋6＋4＋1)＝18(件)．（3)第四組的獲獎率是eq\f(10,18）＝eq\f（5,9），第六組上交的作品數(shù)量為60×eq\f（1，2＋3＋4＋6＋4＋1)＝3（件)，所以第六組的獲獎率為eq\f(2,3)＝eq\f(6，9)，顯然第六組的獲獎率較高．反思(1）在頻率分布直方圖中,組距是一個固定值,所以各長方形高的比就是各組上交作品的頻率比．（2）每組上交的作品數(shù)量等于總?cè)萘砍烁鹘M作品占總?cè)萘康谋壤?3)通過頻率分布直方圖傳遞信息、掌握信息是關(guān)鍵．題型五易錯辨析【例5】觀察新生嬰兒的體重,其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在［2700，3000)g內(nèi)的頻率為()A．0