人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試卷有答案詳解

人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試題一、選擇題。（每小題只有一個(gè)正確答案）1．方程x（x+1）=0的根為（）A．0或﹣1 B．﹣1 C．±1 D．12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）3．拋物線y=﹣（x﹣1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）4．在⊙O中，⊙O的半徑為13，弦AB的長為10，則圓心O到AB的距離為（）A．13 B．12 C．10 D．55．正三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后，與自身重合，旋轉(zhuǎn)角至少為（）A．30° B．60° C．120° D．180°6．拋物線y=﹣（x﹣2）2﹣3經(jīng)過平移得到拋物線y=﹣x2﹣1，平移過程正確的是（）A．先向下平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位B．先向上平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位C．先向下平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位D．先向上平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位7．用配方法解方程x2+1=4x，下列變形正確的是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x+2）2=5 D．（x﹣2）2=58．如圖，在⊙O中，AB為直徑，圓周角∠ACD=20°，則∠BAD等于（）A．20° B．40° C．70° D．80°9．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2，4)，頂點(diǎn)在第四象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)>4 B．0<a<4 C．a(chǎn)>2 D．0<a<210．如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)F，以C為圓心，CF的長為半徑作圓，D是⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，當(dāng)AE最大時(shí)，BD的長為（）A．2 B．2 C．2+1 D．6二、填空題11．拋物線y=x2﹣x的對(duì)稱軸為_____．12．方程x2+6x+c=0有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則c=_____．13．線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，若AB=10，則OA=_____．14．籃球聯(lián)賽實(shí)行單循環(huán)賽制，即每兩個(gè)球隊(duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，計(jì)劃一共打36場(chǎng)比賽，設(shè)一共有x個(gè)球隊(duì)參賽，根據(jù)題意，所列方程為_____．15．平移拋物線M1：y=ax2+c得到拋物線M2，拋物線M2經(jīng)過拋物線M1的頂點(diǎn)A，拋物線M2的對(duì)稱軸分別交拋物線M1，M2于B，C兩點(diǎn)，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，c﹣1），則△ABC的面積為_____．16．將邊長為4的正方形ABCD向右傾斜，邊長不變，∠ABC逐漸變小，頂點(diǎn)A、D及對(duì)角線BD的中點(diǎn)N分別運(yùn)動(dòng)列、和的位置，若∠BC=30°，則點(diǎn)N到點(diǎn)N′的運(yùn)動(dòng)路徑長為_____．三、解答題17．解方程：x2﹣4x﹣4=0．18．要用總長160cm長的繩子圍成如圖所示的圖案，其中兩節(jié)繩子將矩形外框分割成三個(gè)小矩形，已知矩形外框的面積為800cm2，求矩形外框的周長．19．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度（小于360°）得到△B′AC′．（1）若點(diǎn)B′落在線段AC上，在圖中畫出△B′AC′，并直接寫出當(dāng)AC=4時(shí)，CC′的值；（2）若∠ACB=20°，旋轉(zhuǎn)后，B′C′⊥AC，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．20．如圖，在兩個(gè)同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．（1）求證：AC=BD；（2）若AC=2，BC=4，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值；（3）若AC?BC等于12，請(qǐng)直接寫出兩圓之間圓環(huán)的面積．（結(jié)果保留π）21．如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是二次函數(shù)的關(guān)系．鉛球行進(jìn)起點(diǎn)的高度為m，行進(jìn)到水平距離為4m時(shí)達(dá)到最高處，最大高度為3m．（1）求二次函數(shù)的解析式（化成一般形式）；（2）求鉛球推出的距離．22．某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每個(gè)星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每個(gè)星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每個(gè)星期可多賣出20件．已知商品進(jìn)價(jià)為每件40元，設(shè)每件商品的售價(jià)為x元（且x為正整數(shù)），每個(gè)星期的銷售量為y件．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）設(shè)每星期的銷售利潤為W，請(qǐng)直接寫出W與x的關(guān)系式；（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)星期可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？23．如圖，E為菱形ABCD的邊CD上任意點(diǎn)，將CE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定角度后與AD平行．（1）如圖，若CE旋轉(zhuǎn)后得到PE和NE，試判斷下列結(jié)論是否成立？①BD平分AN，；②BD⊥AP，（填寫“成立”或“不成立”）；（2）證明（1）中你的判斷．（3）若∠ABC=60°，AB=BM=+1，請(qǐng)直接寫出CE的長度．24．已知拋物線y=ax2﹣2anx+an2+n+3的頂點(diǎn)P在一條定直線l上．（1）直接寫出直線l的解析式；（2）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，存在確定的n的值，使拋物線與x軸有唯一的公共點(diǎn)，求此時(shí)n的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，拋物線與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)A，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交x軸于點(diǎn)B，求的值或取值范圍．25．如圖，過的直徑上兩點(diǎn)，分別作弦，．求證：（1）；（2）．參考答案1．A【分析】利用兩因式的積零，則這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為零可得．【詳解】∵x（x+1）=0，∴x=0或x+1=0，解得：x=0或x=﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可．【詳解】點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，-y），所以點(diǎn)（3，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，4），故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．3．D【解析】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】拋物線y=﹣（x﹣1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣2）．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點(diǎn)式解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】過O作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC的長，根據(jù)勾股定理求出OC即可．【詳解】過O作OC⊥AB于C，連接OA．∵OC⊥AB，OC過O，∴AC=BC=AB=10=5．在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC===12．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵，垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對(duì)的兩條?。?．C【分析】求出正三角形的中心角即可得解【詳解】正三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后，與自身重合，旋轉(zhuǎn)角至少為120°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，掌握正多邊形的中心角的求解是解題的關(guān)鍵6．D【分析】先利用頂點(diǎn)式得到拋物線y=﹣（x﹣2）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），拋物線y=﹣x2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），然后利用點(diǎn)平移的規(guī)律確定拋物線的平移情況．【詳解】拋物線y=﹣（x﹣2）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），拋物線y=﹣x2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），而點(diǎn)（2，﹣3）先向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后可得點(diǎn)（0，﹣1），拋物線y=﹣（x﹣2）2﹣3先向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后可得拋物線y=﹣x2﹣1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．7．B【分析】移項(xiàng)，配方，即可得出選項(xiàng)．【詳解】x2+1=4x，x2﹣4x=﹣1，x2﹣4x+4=﹣1+4，∴（x﹣2）2=3．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解答此題的關(guān)鍵．8．C【分析】連接OD，根據(jù)∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】連接OD．∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°．∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=（180°﹣40°）=70°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．9．A【解析】∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2，4)，∴4=4a?4a+c，解得c=4，∴=a(x?1)2+4?a，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4?a)，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，∴4?a<0，解得a>4，故選A.10．B【分析】點(diǎn)E在以F為圓心的圓上運(yùn)到，要使AE最大，則AE過F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理證得F是BC的中點(diǎn)，從而得到EF為△BCD的中位線，根據(jù)平行線的性質(zhì)證得CD⊥BC，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】點(diǎn)D在⊙C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在以F為圓心的圓上運(yùn)到，要使AE最大，則AE過F，連接CD．∵△ABC是等邊三角形，AB是直徑，∴EF⊥BC，∴F是BC的中點(diǎn)．∵E為BD的中點(diǎn)，∴EF為△BCD的中位線，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故BD===2．故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助圓是解題的關(guān)鍵．11．x=1．【分析】先根據(jù)拋物線的解析式得出a、b的值，再根據(jù)其對(duì)稱軸方程即可得出結(jié)論．【詳解】∵拋物線的解析式為y=x2﹣x，∴a=，b=﹣1，∴其對(duì)稱軸直線x=﹣=﹣=1．故答案為x=1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x=﹣是解答此題的關(guān)鍵．12．9．【分析】由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于c的一元一次方程，解之即可得出c值．【詳解】∵方程x2+6x+c=0有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△=62﹣4c=36﹣4c=0，解得：c=9．故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．13．5．【分析】根據(jù)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分可得答案．【詳解】∵線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，AB=10，∴AO=5．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱，關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)．14．x（x﹣1）=36．【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場(chǎng)），x個(gè)球隊(duì)比賽總場(chǎng)數(shù)為，即可列方程．【詳解】設(shè)一共有x個(gè)球隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)都要賽（x﹣1）場(chǎng)，但兩隊(duì)之間只有一場(chǎng)比賽，由題意得：x（x﹣1）=36．故答案為x（x﹣1）=36．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場(chǎng)數(shù)的等量關(guān)系．15．2．【分析】由y=ax2+c變換后頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，c﹣1），可得M2的解析式，根據(jù)A在M2上，可得a，求出BC，即可得到答案．【詳解】由題意得：M2的解析式為y=a（x﹣2）2+c﹣1，由A在M2上，得：4a+c﹣1=c，解得：a=，C（2，c﹣1），B（2，1+c）．BC=1+c﹣（c﹣1）=2．S△ABC=×2×2=2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用待定系數(shù)法求得a的值是解題的關(guān)鍵，還利用了平移的知識(shí)：左加右減，上加下減．16．．【解析】試題分析：作NM⊥BC于點(diǎn)M，連接MN′，∵點(diǎn)N′和點(diǎn)M分別為線段BD′和BC的中點(diǎn)，∴MN′=CD′=2，∴MN′=BM，∴∠MBN′=∠MN′B，∵∠A′BC=30°，∴∠MBN′=15°，∴∠N′MC=30°，∴∠NMN′=60°，∴點(diǎn)N到點(diǎn)N′的運(yùn)動(dòng)路徑長為：=，故答案為．考點(diǎn)：1．軌跡；2．正方形的性質(zhì)．17．x1=2+2，x2=2﹣2【解析】【分析】求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．【詳解】∵a=1，b=﹣4，c=﹣4，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）=32＞0，∴x=，∴x1=2+2，x2=2﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．18．120cm【分析】設(shè)矩形外框的寬為xcm，則矩形外框的長為（80﹣2x）cm，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合矩形外框的面積為800cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x值，再根據(jù)矩形的周長公式即可求出矩形外框的周長．【詳解】設(shè)矩形外框的寬為xcm，則矩形外框的長為（80﹣2x）cm，根據(jù)題意得：x（80﹣2x）=800解得：x1=x2=20，∴80﹣2x=40，∴2×（40+20）=120（cm）．答：矩形外框的周長為120cm．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19．（1）4；（2）70°或250°．【分析】（1）如圖1中，△B′AC′如圖所示；作AH⊥CC′于H．只要證明CH=HC′，只要求出CH的長即可解決問題；（2）如圖2，分兩種情況討論．【詳解】（1）如圖1中，△B′AC′如圖所示；作AH⊥CC′于H．∵AC=AC′=4，∠C′AC=∠CAB=120°，AH⊥CC′，∴CH=HC′，∠CAH=∠CAC′=60°，∠ACH=30°，∴AH=AC=2，∴CH==2，∴CC′=4．（2）如圖2中，如圖所示，分兩種情況討論：①當(dāng)B旋轉(zhuǎn)到B′時(shí)．∵B′C′⊥AC，∠C′=∠C=20°，∴∠C′AM=90°－∠C′=90°－20°=70°，∴旋轉(zhuǎn)角為70°；②當(dāng)B旋轉(zhuǎn)到B″時(shí)，同理可得：∠NAC″=70°．∵∠B″AC″=∠BAC=120°，∴∠NAB″=120°－70°=50°．∵∠BAN=180°－120°=60°，∴∠BAB″=60°+50°=110°，∴旋轉(zhuǎn)角=360°－110°=250°．綜上所述：旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為70°或250°．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（1）見解析；（2）r為；（3）12π【分析】（1）過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為CD和AB的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接OC、OA，由條件可求得CD的長，則可求得CE和AE的長．在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的長．在Rt△COE中可求得OC的長；（3）連接OA，OC，作OE⊥AB于點(diǎn)E，由垂徑定理可得AE=BE．由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，繼而可得OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=BC?AC=12，則可求得圓環(huán)的面積．【詳解】（1）過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE﹣CE=BE﹣DE，∴AC=BD；（2）連接OC、OA，如圖2．∵AC=2，BC=4，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE﹣AC=3﹣2=1．在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2﹣AE2=52﹣32=16．在Rt△COE中，由勾股定理可得：OC2=CE2+OE2=12+16=17，∴OC=，即小圓的半徑r為；（3）連接OA，OC，作OE⊥AB于點(diǎn)E，如圖2，由垂徑定理可得AE=BE．在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=（BE+CE）?AC=BC?AC=12，∴OA2﹣OC2=12，∴圓環(huán)的面積為：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=12π．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．21．（1）y==﹣x2+x+；（2）10m．【分析】（1）把（0，）代入y=a（x﹣4）2+3，求出a的值即可；（2）解一元二次方程即可．【詳解】設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣4）2+3，把（0，）代入y=a（x﹣4）2+3，解得：a=﹣，則二次函數(shù)的解析式為：y=﹣（x﹣4）2+3=﹣x2+x+；（2）令﹣x2+x+=0，解得：x1=﹣2（舍去），x2=10，則鉛球推出的距離為10m．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）；（3）定價(jià)為65元時(shí)可獲得最大利潤為6250元【分析】（1）根據(jù)“每漲價(jià)1元，每個(gè)星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每個(gè)星期可多賣出20件”列出y與x的函數(shù)關(guān)系．（2）設(shè)每星期所獲利潤為W，根據(jù)一星期利潤等于每件的利潤×銷售量得到W與x的關(guān)系式；（3）把（2）中解析式配成拋物線的頂點(diǎn)式，利用拋物線的最值問題即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意得：漲價(jià)時(shí)，y=300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），降價(jià)時(shí)，y=300+20（60﹣x）（40≤x＜60），整理得：；（2）當(dāng)漲價(jià)時(shí)，y=（x﹣40）（﹣10x+900）（60≤x≤90），當(dāng)降價(jià)時(shí)，y=（x﹣40）（﹣20x+1500）（40≤x＜60）；綜上所述：；（3）當(dāng)漲價(jià)時(shí)，W=（x﹣40）（﹣10x+900）=﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），當(dāng)x=65時(shí)，W的最大值是6250；當(dāng)降價(jià)時(shí)，W=（x﹣40）（﹣20x+1500）=﹣20（x﹣57.5）2+6125（40≤x＜60），所以定價(jià)為：x=57.5（元）時(shí)利潤最大，最大值為6125元．綜合所述，定價(jià)為65元時(shí)可獲得最大利潤為6250元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式，再配成拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，然后利用當(dāng)a＜0，x=h時(shí)，y有最大值k；當(dāng)a＞0，x=h時(shí)，y有最小值k等性質(zhì)解決實(shí)際問題．23．（1）①成立；②成立；（2）見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)題意、結(jié)合圖形進(jìn)行猜測(cè)；（2）連接AC、PC、CN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明∠ECP=∠DCA，得到A、P、C三點(diǎn)共線，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明即可；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和余弦的定義求出BH，得到HM，根據(jù)三角形中位線定理求出CN，根據(jù)余弦的定義求出PN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）①BD平分AN，成立；②BD⊥AP，成立．故答案為①成立；②成立；（2）連接AC、PC、CN．∵EP=EC，∴∠ECP=∠EPC，∴∠ECP==90°﹣∠PEC，同理，∠DCA=90°﹣∠ADC．∵PN∥AD，∴∠PEC=∠ADC，∴∠ECP=∠DCA，∴A、P、C三點(diǎn)共線．∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵CE=PE=EN，∴∠PCN=90°，∴CN∥BD，又AH=HC，∴AM=MN，即BD平分AN；（3）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴BH=AB×cos30°=，∴HM=BM﹣BH=+1﹣=．∵∠ABC=60°，∴∠BAD=120°．∵∠ABH=30°，∠AHB=90°，∴∠BAH=60°，∴∠DAC=120°－60°=60°．∵AD∥PN，∴∠NPC=∠DAC=60°．∵AH=HC，AM=MN，∴CN=2HM=﹣1，CN∥BD，∴∠PCN=∠BHC=90°，∴∠PNC=90°－60°=30°，∴PN==，∴CE=PN=．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義