一輪復(fù)習(xí)-直線平面平行的判定及其性質(zhì)

《直線與平面平行的判定》2021/6/271復(fù)習(xí)提問(wèn)直線與平面有什么樣的位置關(guān)系？1.直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；2.直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；3.直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)。aaa2021/6/272直線與平面平行的判定定理：

符號(hào)表示：

b歸納結(jié)論(線線平行線面平行)

平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.2021/6/273感受校園生活中線面平行的例子:天花板平面2021/6/274定理的應(yīng)用

例1.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn).

求證：EF∥平面BCD.ABCDEF

分析：要證明線面平行只需證明線線平行，即在平面BCD內(nèi)找一條直線平行于EF，由已知的條件怎樣找這條直線？2021/6/275證明：連結(jié)BD.∵AE=EB,AF=FD∴EF∥BD（三角形中位線性質(zhì)）

例1.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn).

求證：EF∥平面BCD.ABDEF定理的應(yīng)用2021/6/2761.如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若，則EF與平面BCD的位置關(guān)系是_____________.

EF//平面BCD變式1:ABCDEF2021/6/277變式2:ABCDFOE2.如圖,四棱錐A—DBCE中,O為底面正方形DBCE對(duì)角線的交點(diǎn),F為AE的中點(diǎn).求證:AB//平面DCF.(天津高考)分析:連結(jié)OF,可知OF為△ABE的中位線,所以得到AB//OF.2021/6/278∵O為正方形DBCE對(duì)角線的交點(diǎn),∴BO=OE,又AF=FE,∴AB//OF,BDFO2.如圖,四棱錐A—DBCE中,O為底面正方形DBCE對(duì)角線的交點(diǎn),F為AE的中點(diǎn).求證:AB//平面DCF.證明:連結(jié)OF,ACE變式2:2021/6/2791.線面平行,通常可以轉(zhuǎn)化為線線平行來(lái)處理.反思~領(lǐng)悟：2.尋找平行直線可以通過(guò)三角形的中位線、梯形的中位線、平行線的判定等來(lái)完成。3、證明的書(shū)寫(xiě)三個(gè)條件“內(nèi)”、“外”、“平行”，缺一不可。2021/6/2710D1C1B1A1DCBA1.如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,與AA1平行的平面是___________________.鞏固練習(xí):平面ＢＣ1、平面CD12021/6/2711

分析：要證BD1//平面AEC即要在平面AEC內(nèi)找一條直線與BD1平行.根據(jù)已知條件應(yīng)該怎樣考慮輔助線?鞏固練習(xí):2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，求證:BD1//平面AEC.ED1C1B1A1DCBAO2021/6/2712

證明:連結(jié)BD交AC于O,連結(jié)EO.∵O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),∴DO=OB,

又∵DE=ED1,∴BD1//EO.ED1C1B1A1DCBAO鞏固練習(xí):

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，求證:BD1//平面AEC.2021/6/2713歸納小結(jié)，理清知識(shí)體系1.判定直線與平面平行的方法：（1）定義法：直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)則線面平行；（2）判定定理：（線線平行線面平行）；2.用定理證明線面平行時(shí),在尋找平行直線可以通過(guò)三角形的中位線、梯形的中位線、平行線的判定等來(lái)完成。2021/6/2714《平面與平面平行的判定》2021/6/2715復(fù)習(xí)回顧：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．（2）直線與平面平行的判定定理：（1）定義法；線線平行線面平行1.

到現(xiàn)在為止,我們一共學(xué)習(xí)過(guò)幾種判斷直線與平面平行的方法呢?2021/6/2716（1）平行（2）相交α∥β復(fù)習(xí)回顧：怎樣判定平面與平面平行呢？問(wèn)題：2.

平面與平面有幾種位置關(guān)系？分別是什么？2021/6/2717生活中有沒(méi)有平面與平面平行的例子呢?(1)三角板或課本的一條邊所在直線與桌面平行，這個(gè)三角板或課本所在平面與桌面平行嗎？(2)三角板或課本的兩條邊所在直線分別與桌面平行，情況又如何呢？觀察：思考：教室的天花板與地面給人平行的感覺(jué)，前后兩塊黑板也是平行的。2021/6/2718探究：當(dāng)三角板的兩條邊所在直線分別與地面平行時(shí),這個(gè)三角板所在平面與地面平行。結(jié)論：（１）平面內(nèi)有一條直線與平面平行，，平行嗎？（２）平面內(nèi)有兩條直線與平面平行，，平行嗎？2021/6/2719結(jié)論：（1）中的平面α，β不一定平行。如圖，借助長(zhǎng)方體模型，平面ABCD中直線AD平行平面BCC'B'，但平面ABCD與平面BCC'B'不平行。2021/6/2720結(jié)論：（2）分兩種情況討論：如果平面β內(nèi)的兩條直線是平行直線，平面α與平面β不一定平行。如圖，AD∥PQ，AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD與平面BCC’B’不平行。PQ如果平面β內(nèi)的兩條直線是相交的直線，兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)一定平行？2021/6/2721直線的條數(shù)不是關(guān)鍵直線相交才是關(guān)鍵2021/6/2722

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

兩個(gè)平面平行的判定定理：線不在多，重在相交符號(hào)表示：ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ圖形表示：結(jié)論：abP2021/6/2723判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由．（1）若平面內(nèi)的兩條直線分別與平面平行，則與平行；（2）若平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線分別與平面平行，則與平行；（3）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；（4）兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行直線，這兩個(gè)平面平行；（5）過(guò)已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面．練習(xí)×××××2021/6/2724例1：已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面C1BD證明：因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴D1C1BA是平行四邊形，∴D1A∥C1B，又D1A

平面C1BD,CB平面C1BD.由直線與平面平行的判定,可知同理

D1B1∥平面C1BD,又D1A∩D1B1=D1,所以，平面AB1D1∥平面C1BD。D1A∥平面C1BD，2021/6/2725變式:在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面AMN//平面EFDB。ABCA1B1C1D1DMNEF線面平行面面平行線線平行2021/6/2726第一步：在一個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線；第二步：證明兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面。第三步：利用判定定理得出結(jié)論。證明兩個(gè)平面平行的一般步驟：方法總結(jié)：2021/6/27271、如圖：三棱錐P-ABC,D,E,F分別是棱PA，PB，PC中點(diǎn)， 求證：平面DEF∥平面ABC。PDEFABC例2、2021/6/2728小結(jié)：1、面面平行的定義；2、面面平行的判定定理；3、面面平行判定定理的應(yīng)用：要證面面平行，只要證線面平行，而要證線面平行，只要證線線平行。在立體幾何中，往往通過(guò)線線、線面、面面間的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化使問(wèn)題得到解決。2021/6/2729《直線與平面平行的性質(zhì)》2021/6/2730復(fù)習(xí)舊知線面平行、面面平行判定定理的內(nèi)容是什么?判定定理中的線與線、線與面應(yīng)具備什么條件?答:直線和平面平行的判定定理是:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行.定理中的線與線、線與面應(yīng)具備的條件是:一線在平面外,一線在平面內(nèi);兩直線互相平行。平面和平面平行的判定定理是：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。定理中的線與線、線與面應(yīng)具備的條件是:兩條直線必須相交,且兩條直線都平行于另一個(gè)平面。2021/6/2731提出問(wèn)題:如果已知直線與平面平行，會(huì)有什么結(jié)論？提出問(wèn)題、引入新課直線與平面平行的性質(zhì)2021/6/2732探研新知探究1.如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行？這條直線與這個(gè)平面內(nèi)有多少條直線平行？結(jié)合實(shí)例(教室內(nèi)的有關(guān)例子)得出結(jié)論:如果一條直線與平面平行，這條直線不會(huì)與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行,但在這個(gè)平面內(nèi)卻有無(wú)數(shù)條直線與這條直線平行。2021/6/2733探究2.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系？探研新知答:由直線與平面平行的定義，如果一條直線a與平面α平行，那么a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，即a上的點(diǎn)都不在平面α內(nèi)，平面α內(nèi)的任何直線與a都無(wú)公共點(diǎn)，這樣，平面α內(nèi)的直線與平面α外的直線a只能是異面直線或平行直線。abα

aαb2021/6/2734探研新知探究3.如果一條直線a與平面α平行,在什么條件下直線a與平面α內(nèi)的直線平行呢？答:由于a與平面α內(nèi)的任何直線無(wú)公共點(diǎn)，所以過(guò)直線a的某一平面，若與平面α相交，則直線a就平行于這條交線。下面我們來(lái)證明這一結(jié)論.2021/6/2735探研新知已知：如圖，a∥α，a

ìβ，α∩β＝b。求證：a∥b。證明：∵α∩β＝b，∴bìα∵

a∥α，∴a與b無(wú)公共點(diǎn)，∵aìβ，bìβ，∴a∥b。我們可以把這個(gè)結(jié)論作定理來(lái)用.2021/6/2736直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線和一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與這個(gè)平面的交線與該直線平行。abαβ符號(hào)表示：作用：可證明兩直線平行。欲證“線線平行”，可先證明“線面平行”。2021/6/2737直線和平面平行的判定定理:直線與直線平行直線與平面平行直線和平面平行的性質(zhì)定理:注意:

平面外的一條直線只要和平面內(nèi)的任一條直線平行，則就可以得到這條直線和這個(gè)平面平行；但是若一條直線與一個(gè)平面平行，則這條直線并不是和平面內(nèi)的任一條直線平行，它只與該平面內(nèi)與它共面的直線平行．2021/6/2738探研新知探究4.教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與地面平行，如何在地面上作一條直線與燈管所在的直線平行？答:只需由燈管兩端向地面引兩條平行線,過(guò)兩條平行線與地面的交點(diǎn)的連線就是與燈管平行的直線。

2021/6/2739例題示范例1：已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，求證：另一條也平行于這個(gè)平面。第一步:將原題改寫(xiě)成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言如圖,已知直線a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求證:b//α.第二步:分析：怎樣進(jìn)行平行的轉(zhuǎn)化？→如何作輔助平面？第三步:書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程2021/6/2740例題示范如圖,已知直線a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求證:b//α.證明:過(guò)a作平面β,使它與平面α相交,交線為c.因?yàn)閍//α,a

ìβ,α

?β=c,所以

a//

c.

因?yàn)閍//b,所以,b//c.又因?yàn)閏

ìα,

b

α,所以

b//

α。2021/6/2741練習(xí)反饋：一條直線和兩個(gè)相交平面平行，求證：它和這兩個(gè)平面的交線平行。已知直線a∥平面α，直線a∥平面β，平面α?平面β=b，求證a//b.2021/6/2742例題示范例2：有一塊木料如圖，已知棱BC平行于面A′C′(1)要經(jīng)過(guò)木料表面A′B′C′D′

內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi)，應(yīng)怎樣畫(huà)線？(2)所畫(huà)的線和面AC有什么關(guān)系？解：（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥B’C’，分別交棱A’B’，C’D’于點(diǎn)E，F(xiàn)。連接BE，CF，則EF，BE，CF就是應(yīng)畫(huà)的線。PA1DABB1D1C1CEF2021/6/2743例題示范例2：有一塊木料如圖，已知棱BC平行于面A′C′(1)要經(jīng)過(guò)木料表面A′B′C′D′

內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi)，應(yīng)怎樣畫(huà)線？(2)所畫(huà)的線和面AC有什么關(guān)系？（2）因?yàn)槔釨C平行于平面A'C'，平面BC'與平面A'C'交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知，EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC,EF

平面AC,BCì平面AC.所以,EF//平面AC.BE、CF顯然都與平面AC相交。

2021/6/2744

變式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎樣的位置關(guān)系．為什么？探究:練一練:

設(shè)平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b.

求證：a∥b∥c.2021/6/2745小結(jié)

如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。線線平行

線面平行線面平行線線平行線面平行的判定定理線面平行的性質(zhì)定理

如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。2021/6/2746《平面與平面平行的性質(zhì)》2021/6/2747復(fù)習(xí)提問(wèn)、引入新課復(fù)習(xí)：如何判斷平面和平面平行?答:有兩種方法,一是用定義法,須判斷兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn);二是用平面和平面平行的判定定理,須判斷一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都和另一個(gè)平面平行.思考:如果兩個(gè)平面平行，會(huì)有哪些結(jié)論呢?2021/6/2748探究新知探究1.

如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系？a答:如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行.2021/6/2749借助長(zhǎng)方體模型探究結(jié)論:如果兩個(gè)平面平行，那么兩個(gè)平面內(nèi)的直線要么是異面直線,要么是平行直線.探究新知探究2.如果兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面內(nèi)的直線有什么位置關(guān)系？2021/6/2750探究3:當(dāng)?shù)谌齻€(gè)平面和兩個(gè)平行平面都相交時(shí)，兩條交線有什么關(guān)系？為什么？