不定積分求解方法-換元法

二、類換元法節(jié)一、類換元法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束換元積分法章2021/6/271第二類換元法第一類換元法基本思路機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)可導(dǎo),則有2021/6/272一、第一類換元法（P221）定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/273例1.

求解:

令則故原式

=注:

當(dāng)時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/274例2.

（P222）求解:令則想到公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/275例3.

（P223）求想到解:(直接配元)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/276例4.

（P225）求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類似2021/6/277例5.

（P223）求解:∴原式

=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/278常用的幾種配元形式:萬(wàn)能湊冪法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/279例6.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2710例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2711例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2712例10.（P227）求解法1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2713解法2同樣可證或(P226-P227)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2714例11.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2715例12.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2716例13.

求解:∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2717例14.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束分析:

2021/6/2718例15.

求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2719小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬(wàn)能湊冪法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用積化和差;分式分項(xiàng);利用倍角公式,如2021/6/2720思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/27212.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2722二、第二類換元法（P228）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一類換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，2021/6/2723定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有換元公式（P228）2021/6/2724例16.

（P230）求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2725例17.

求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2726例18.（P230）

求解:令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2727令于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2728說(shuō)明:被積函數(shù)含有時(shí),除采用采用雙曲代換消去根式,所得結(jié)果一致.或或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三角代換外,還可利用公式2021/6/2729原式例19.

求解:

令則原式當(dāng)

x<0時(shí),類似可得同樣結(jié)果.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2730小結(jié):1.第二類換元法常見(jiàn)類型:令令令或令或令或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四節(jié)講2021/6/2731機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.常用基本積分公式的補(bǔ)充(P399-404)(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令2021/6/2732機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2733解:

原式(P399公式(9))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例20.

求例21.

求解:(P400公式(15))2021/6/2734例22.

求解:

原式=(P401公式(33))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例23.

求解:

原式(P401公式(33))2021/6/2735例24.

求解:

令得原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(P400公式(19))2021/6/2736例25.

求解:

原式令例16例16目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2737思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便?令令令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/27382.已知求解:

兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2739備用題1.求下列積分:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回