遼寧省大連市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

Page20一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分別求出集合，，從而求出，由此能求出．【詳解】解：全集，集合或，，，．故選：．2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0求得值，則答案可求．【詳解】解：是純虛數(shù)，，即．的虛部為．故選：C．3.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確是A.若則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)全部的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知等式切化弦可求得，依據(jù)二倍角公式可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，．故選：A.5.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)奇函數(shù)對(duì)進(jìn)行變形，然后比較出，進(jìn)而依據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴∵在R上單調(diào)遞增，∴，即∵在R上單調(diào)遞增，∴，即∴∵在上是增函數(shù)∴，即故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)值的比較大小，重點(diǎn)是比較自變量的大小，然后依據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性干脆得出結(jié)果；而自變量的大小比較主要涉及指冪對(duì)式利用相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大.6.已知向量，，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算和協(xié)助角公式可得，向左平移個(gè)單位，得到，從而有，，再結(jié)合，即可得解.【詳解】，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到，該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，該函數(shù)是奇函數(shù)，，，，，又，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、協(xié)助角公式和三角函數(shù)的圖象變換，屬于中檔題.7.如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角的余弦值，再得正弦值．【詳解】由題意以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，又，．，則，設(shè)異面直線與所成角，則，為銳角，，所以．故選：D．8.已知圓的半徑是，點(diǎn)是圓內(nèi)部一點(diǎn)（不包括邊界），點(diǎn)是圓圓周上一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得,則當(dāng)時(shí),,再依據(jù),則將代入求解即可.【詳解】由題,因?yàn)?所以,則當(dāng)即時(shí),,因?yàn)?所以當(dāng)取得最小值時(shí),,故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．）9.已知函數(shù)對(duì)隨意都有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)隨意的，，且，都有，則下列結(jié)論正確的是（）．A.是偶函數(shù) B.的周期C. D.在單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，故是偶函數(shù)，可推斷A的正誤；由，令，可得，則，得到的周期，可推斷B的正誤；又在遞增，結(jié)合奇偶性，周期性，再推斷CD是否正確.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，故是偶函數(shù)，A正確；由，令，可得，則，則的周期，B正確；，故C正確；又在遞增，則遞減，由周期，則在單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故答案為：ABC【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶性，周期性，單調(diào)性，屬于中檔題.10.對(duì)于實(shí)數(shù)，，下列真命題的為（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，且，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)推斷ABC，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式推斷D．也可舉反例說(shuō)明．【詳解】時(shí)，，A錯(cuò)誤；，則，，所以，B正確；，若，則，則成立，若，則明顯成立，若，則，，所以，綜上成立，C正確；，且，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．D正確．故選：BCD．11.將個(gè)數(shù)排成行列一個(gè)數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個(gè)數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（）……A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合可求得，同時(shí)確定、的值、得到的正誤；首先利用等比數(shù)列求和公式求得第行個(gè)數(shù)的和，再結(jié)合等差求和公式得到的正誤.【詳解】對(duì)于，，，，又，，正確；對(duì)于，，，錯(cuò)誤；對(duì)于，，，正確；對(duì)于，第行個(gè)數(shù)的和，，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的新定義問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠敏捷應(yīng)用等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，將新定義的數(shù)陣轉(zhuǎn)化為等差和等比數(shù)列的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解.12.高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）A.的一個(gè)周期是 B.是非奇非偶函數(shù)C.在單調(diào)遞減 D.的最大值大于【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)周期函數(shù)的對(duì)于驗(yàn)證可推斷選項(xiàng)A；特別值驗(yàn)證與的關(guān)系可推斷選項(xiàng)B不正確；時(shí)計(jì)算可推斷選項(xiàng)C，由可推斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：，所以的一個(gè)周期是，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：，因?yàn)椋?，所以是非奇非偶函?shù)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以在是常函數(shù)，在是常函數(shù)，不具有單調(diào)性，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：，所以的最大值為大于，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.定義在上的函數(shù)滿意，且，則不等式的解集為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】由已知得函數(shù)是減函數(shù)，由減函數(shù)的定義可解不等式．【詳解】設(shè)，由已知式變形為，所以在上是減函數(shù)，又．所以不等式化為，又，所以．故答案為：，14.在三棱錐中，，且底面為正三角形，為側(cè)棱的中點(diǎn)，若，棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的表面上，則球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】證明出、、兩兩垂直，將正三棱錐補(bǔ)成正方體，計(jì)算出正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，可得出球的半徑，利用球體的表面積公式即可得解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，，為的中點(diǎn)，則，同理可得，，平面，平面，，，，平面，、平面，，，，且底面為正三角形，則三棱錐為正三棱錐，則，所以，、、兩兩垂直，將正三棱錐補(bǔ)成正方體，則該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以球的半徑為，因此，球的表面積為.故答案為：.15.已知遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意（），則首項(xiàng)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)前項(xiàng)和的公式得到遞推公式，進(jìn)而化簡(jiǎn)整理得到，從而得列是偶數(shù)項(xiàng)以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)從起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列，從而知需滿意，然后將用表示后，解不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，即，又，故，所以數(shù)列是偶數(shù)項(xiàng)以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)從起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列，若數(shù)列單調(diào)遞增，所以需滿意，又，所以，解得，故的取值范圍為.16.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．【答案】或．【解析】【分析】令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，視察可得．【詳解】令，則方程有兩個(gè)解，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，如圖，再作出直線，它始終過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線與相切，切點(diǎn)為，由知，切線斜率為，切線方程為，把代入得，，所以切線斜率為，設(shè)與相切，則，即，，解得（舍去），由圖可得實(shí)數(shù)的范圍是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想，從圖象中易得其結(jié)論與方法．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出即可求解.（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式，再有裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：（1）由已知：，即，所以或（舍去），（2）由（1）知：【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.18.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.（1）求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)對(duì)稱軸和周期可求和的值．（2）由題設(shè)可得，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦可求的值．【詳解】（1）因?yàn)閳D象相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，故周期為，所以，故．又圖象關(guān)于直線，故，所以，因?yàn)?，故．?）由（1）得，因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，故．又．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)的中的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結(jié)構(gòu)上差異的處理則是已知公式的逆用等，最終角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.19.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，．（1）證明：平面；（2）若，與平面所成角為，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由平面，可得，再由可推斷平面，得到，而∥，從而可得，再由線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）依據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，因?yàn)椋?所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以∥，所以，因?yàn)椋?，所以平面；?）解：由（1）可知，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，所以為在平面上的射影，因?yàn)榕c平面所成角為，所以，所以，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角為，20.已知的內(nèi)角、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，在①；②；③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后作答：當(dāng)__________時(shí)，且的外接圓半徑為，求的面積的最大值．【答案】選①：；選②：；選③：.【解析】【分析】選①：利用正弦定理化邊為角結(jié)合兩角和的正弦公式即可求角，再由余弦定理求的最大值，由面積公式即可求解；選②：由正弦定理化邊為角結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式即可求求角，再由余弦定理求的最大值，由面積公式即可求解；選③：由正弦定理和余弦定理即可求求角，再由余弦定理求的最大值，由面積公式即可求解.【詳解】選①：因?yàn)?，所以，即可得：，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)椋?，因?yàn)榈耐饨訄A半徑為，所以，在中，由余弦定理可得：，可得，所以，所以的面積的最大值為.選②：由正弦定理可知：，因?yàn)椋约?，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)榈耐饨訄A半徑為，所以，在中，由余弦定理可得：，可得，所以，所以的面積的最大值為.選③：由，可得即由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，因?yàn)椋?，因?yàn)榈耐饨訄A半徑為，所以，在中，由余弦定理可得：，可得，所以，所以的面積的最大值為.21.已知數(shù)列滿意，（）．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意，．求證：①；②．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）把已知條件變形得到，從而證明數(shù)列為等差數(shù)列；并通過(guò)求數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）①由題設(shè)條件寫(xiě)出三者關(guān)系式即可證明結(jié)論；②利用①中的結(jié)論，依據(jù)累加法可求出的值，再利用基本不等式求證出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，所以，即，所以，即，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，即.（2）①由（1）知：，所以，所以，兩式相減，得，即，所以；②因?yàn)?，，所以，且?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列.由①知：，所以由累加法，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.22.設(shè)函數(shù)，（）．（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）試推斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）；（3）時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率，然后由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程并化為一般式；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)確定的單調(diào)性，然后分類(lèi)探討得函數(shù)在上的單調(diào)性，得最小值，由最小值為2得出參數(shù)范圍；（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由（2）知的單調(diào)性，易得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，時(shí)需確定最小值與的大小關(guān)系后才能確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】函數(shù)的定義域是，（1）時(shí)，，，，又，所以切線方程為，即；（2），令，，時(shí)，，在上恒成立，在上是減函數(shù)；此時(shí)在上是減函數(shù)，，與沖突，故舍去；時(shí)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，遞增．當(dāng)即時(shí)，在上是增函數(shù)，，所以滿意題意；當(dāng)即時(shí)，在上是減函數(shù)，則，，故舍去；當(dāng)，即時(shí)，在間遞減，在上遞增，則，而，且，故不行能成立，故舍去；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）