湖南省2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中大聯(lián)考試題含解析

Page12湖南省大聯(lián)考2024－2024學(xué)年度高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，通過解不等式分別表示出兩集合，再依據(jù)數(shù)軸，即可求解.【詳解】依據(jù)題意，易得，，因此．故選：A.2.已知函數(shù)則（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，先求，再求即可.【詳解】依據(jù)題意，因為，所以．故選：B.3.在中，“”是“為等腰三角形”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，結(jié)合小范圍可以推出大范圍，而大范圍推不出小范圍，即可求解.【詳解】依據(jù)題意，由，可得為等腰三角形，反之由為等腰三角形，可得或或，故“”是“為等腰三角形”的充分不必要條件．故選：C.4.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】抽象函數(shù)定義域的求解，須要遵循兩個原則，第一是定義域是指的取值范圍；其次是同一對應(yīng)法則下，整體范圍相同.【詳解】因為的定義域為，所以，解得或．又因為，解得，所以的定義域為．故選：C5.若函數(shù)（，且）在上的最大值與最小值的和為，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，得到，解得答案.【詳解】在上單調(diào)，所以在上的最大值與最小值的和為，解得或（舍去）．故選：B.6.已知函數(shù)的定義域為R，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，分類探討，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿意，因為函數(shù)的定義域為，即不等式在上恒成立，當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，恒成立，符合題意．當(dāng)時，不符合題意，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．故選：D.7.已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】要想使分段函數(shù)在R上的增函數(shù)，須要每段函數(shù)都是單調(diào)遞增函數(shù)，且在分段處左邊函數(shù)的端點值，小于等于右邊函數(shù)的端點值【詳解】由題意可得：解得：．故選：B8.某公司實行10周年紀(jì)念活動，確定給每個員工發(fā)放紀(jì)念品，并找設(shè)計師設(shè)計了甲、乙、丙三款紀(jì)念品．為了了解員工更喜愛哪一款紀(jì)念品，隨機(jī)抽取了60名員工對這三款紀(jì)念品進(jìn)行投票，每人至少選擇一款自己喜愛的紀(jì)念品投票（假如有多款喜愛的紀(jì)念品，可以選擇多款紀(jì)念品投票）．詳細(xì)投票狀況如下表：紀(jì)念品給該款紀(jì)念品投票的人數(shù)甲31乙30丙33甲與乙11乙與丙17甲與丙15那么給三款紀(jì)念品都投票了的人數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用集合學(xué)問容斥原理進(jìn)行求解【詳解】設(shè)給甲投票的員工為集合，給乙投票的員工為集合，給丙投票的員工為集合，因為每個人都有投票，所以三個集合的容斥原理為：所以給三款紀(jì)念品都投票了的人數(shù)為．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的三要素：定義域、表達(dá)式以及值域逐項推斷即可.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，對A，，定義域為，即與函數(shù)是同一函數(shù)，故A符合題意；對B，，定義域為，所以與函數(shù)不是同一函數(shù)，故B不符合題意；對C，，定義域為，所以與函數(shù)不是同一函數(shù)，故C不符合題意；對D，當(dāng)，，當(dāng)，，即，，所以與函數(shù)是同一函數(shù)，故D符合題意.故選：AD.10.函數(shù)的大致圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題得再對分三種狀況探討，結(jié)合特值法分析推斷得解.【詳解】由題得當(dāng)時，A正確．當(dāng)時，不妨取，則B正確．當(dāng)時，不妨取，則C正確．假設(shè)為偶函數(shù)，則對于恒成立，所以，無論取何值，都不行能對于恒成立，所以D錯誤.故選：ABC11.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，干脆對利用基本不等式，求出；B選項，先平方，再結(jié)合A選項的進(jìn)行求解，C選項利用基本不等式“1”的代換；D選項化為進(jìn)行求解.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，A正確．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，B錯誤．，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，C正確．，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，D正確．故選：ACD12.已知偶函數(shù)的定義域為R，也是偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行推斷即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，．因為是偶函數(shù)，所以，則．．解得．因為在上單調(diào)遞增，所以．因為，所以．故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“，”的否定是________．【答案】，【解析】【分析】特稱命題的否定，只需把存在量詞換成全稱量詞，再把結(jié)論否定即可.【詳解】依據(jù)題意，知命題“，”的否定是，.故答案為：，.14.已知，則________．【答案】【解析】【分析】先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用同底數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行計算【詳解】，因為，所以，則．故答案為：15.某閱讀平臺為了吸引用戶，確定對部分圖書開展限時免費(fèi)閱讀活動．當(dāng)供應(yīng)免費(fèi)閱讀的圖書為a本時，其用戶人數(shù)（表示不大于a的最大整數(shù)）．當(dāng)時，用戶人數(shù)為________；若該平臺想通過本次活動運(yùn)用戶人數(shù)不少于5000，則至少須要供應(yīng)免費(fèi)閱讀的圖書數(shù)量為________．【答案】①.②.【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式，代入，即可求得的值，令，求得，即可求解.【詳解】由題意，用戶人數(shù)（表示不大于a的最大整數(shù)）．可得．令，解得，則，即，故至少須要供應(yīng)免費(fèi)閱讀的圖書數(shù)量為．故答案為：；．16.已知定義在R上的函數(shù)滿意對隨意實數(shù)x，都有，且，則________．【答案】2024【解析】【分析】依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)滿意對隨意實數(shù)x，都有，且，當(dāng)且時，可得，則，所以．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合．（1）求集合真子集的個數(shù)；（2）求【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合真子集定義可干脆求解；（2）由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算可干脆求解.【小問1詳解】因為，所以，則真子集的個數(shù)為個；【小問2詳解】，，則.18.已知冪函數(shù)滿意f（2）＞f（1）．（1）求a的值；（2）若關(guān)于x的方程有唯一解，求m的值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由是冪函數(shù)，求得a，再由f（2）＞f（1），驗證即可；（2）將方程有唯一解，轉(zhuǎn)化為方程有唯一解求解.【小問1詳解】解：因為是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時．，不滿意f（2）＞f（1）；當(dāng)時，，滿意f（2）＞f（1）；【小問2詳解】由（1）得，則方程，即為，因為方程有唯一解，所以方程有唯一解，所以，解得.19.已知函數(shù)．（1）推斷在上的單調(diào)性并用定義法證明；（2）推斷的奇偶性，并求在上的值域．【答案】（1）在上為減函數(shù)，證明見解析（2）為奇函數(shù)，在上的值域為【解析】【分析】（1）推斷出在上為減函數(shù)，然后任取、，作差，因式分解后推斷的符號，即可證得結(jié)論成立；（2）求出函數(shù)的定義域，驗證與的關(guān)系，即可得出函數(shù)的奇偶性，再利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的值域.【小問1詳解】解：在上為減函數(shù)，證明如下：任取，則，因為，所以，，，，則，即．故在上為減函數(shù)．【小問2詳解】解：的定義域為，，故為奇函數(shù)．結(jié)合（1）知在上減函數(shù)，當(dāng)時，取得最大值，且最大值，當(dāng)時，取得最小值，且最小值為．故在上的值域為．20.已知二次函數(shù)在上有最大值7，最小值．（1）求的解析式；（2）若關(guān)于x的不等式在上有解，求k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，列出關(guān)于的方程組解出即可；（2）利用分別參數(shù)思想可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可得結(jié)果.【小問1詳解】的圖象開口向上，對稱軸為直線，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得解得故．【小問2詳解】由，可得，即．令，則，設(shè)函數(shù)，，則，故．綜上，k的取值范圍為．21.已知函數(shù)滿意．（1）證明：．（2）解不等式．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用基本不等式證明；（2）等價于或，再解兩個不等式綜合即得解.【小問1詳解】證明：因為，①將①中x用代替，得，②①得，③③②整理得．故（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．小問2詳解】解：因，所以，解得或．當(dāng)時，，即，解得；當(dāng)時，，，解得．故不等式的解集為．22.1.某科研機(jī)構(gòu)為了探討某種藥物對某種疾病的治療效果，打算利用小白鼠進(jìn)行科學(xué)試驗．探討發(fā)覺，藥物在血液內(nèi)的濃度與時間的關(guān)系因運(yùn)用方式的不同而不同．若運(yùn)用注射方式給藥，則在注射后的4小時內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿意關(guān)系式（，a為常數(shù)）；若運(yùn)用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿意關(guān)系式現(xiàn)對小白鼠同時進(jìn)行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的汲取與代謝互不干擾．假設(shè)同時運(yùn)用兩種方式給藥后，小白鼠血液中藥物的濃度等于單獨(dú)運(yùn)用每種方式給藥的濃度之和．（1）若，求4小時內(nèi)，該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用藥后4小時內(nèi)血液中的藥物濃度都不低于4毫克/升，求正數(shù)a的取值范