2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第04講隨機(jī)事件、頻率與概率(六大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第04講隨機(jī)事件、頻率與概率目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：隨機(jī)事件與樣本空間 2題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算 2題型三：頻率與概率 2題型四：生活中的概率 3題型五：互斥事件與對(duì)立事件 4題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率 502重難創(chuàng)新練 503真題實(shí)戰(zhàn)練 8題型一：隨機(jī)事件與樣本空間1．袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請(qǐng)寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間：.2．從含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為．3．將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗(yàn)樣本空間為.題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算4．拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件，則（

）A． B．C．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或35．已知事件A、B、C滿足A?B，B?C，則下列說法不正確的是（

）A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生6．拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．題型三：頻率與概率7．（2024·高三·重慶沙坪壩·期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.8．已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.9．一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無療效，則沒有明顯療效的頻率是．10．若隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計(jì)事件A的概率，即．題型四：生活中的概率11．某地區(qū)牛患某種病的概率為0.25，且每頭牛患病與否是互不影響的，今研制一種新的預(yù)防藥，任選12頭牛做試驗(yàn)，結(jié)果這12頭牛服用這種藥后均未患病，則此藥(填“有效”或“無效”)．12．有以下說法：①昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率為95%”是錯(cuò)誤的；②“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)；③做10次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為；④某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品．其中錯(cuò)誤說法的序號(hào)是.13．在一個(gè)大轉(zhuǎn)盤上，盤面被均勻地分成12份，分別寫有1~12這12個(gè)數(shù)字，其中2，4，6，8，10，12這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是文具盒，而1，3，5，7，9，11這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是隨身聽.游戲規(guī)則是轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)后指針停在哪一格，則繼續(xù)向前前進(jìn)相應(yīng)的格數(shù).例如：你轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在4所在區(qū)域，則還要往前前進(jìn)4格，到標(biāo)有8的區(qū)域，此時(shí)8區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品就是你的，依此類推.請(qǐng)問：小明在玩這個(gè)游戲時(shí)，得到的獎(jiǎng)品是隨身聽的概率是.14．某射擊教練評(píng)價(jià)一名運(yùn)動(dòng)員時(shí)說：“你射中的概率是90%．”你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中哪一個(gè)能代表教練的觀點(diǎn)（填序號(hào)）．①該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了100次，恰有90次擊中目標(biāo)；②該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會(huì)是90%．題型五：互斥事件與對(duì)立事件15．從裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的盒子里摸出3個(gè)球，則以下哪個(gè)選項(xiàng)中的事件A與事件B互斥卻不互為對(duì)立（

）A．事件A：3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中至少有1個(gè)白球B．事件A：3個(gè)球中恰有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中恰有1個(gè)白球C．事件A：3個(gè)球中至多有2個(gè)紅球：事件B：3個(gè)球中至少有2個(gè)白球D．事件A：3個(gè)球中至多有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中至多有1個(gè)白球16．從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件（

）A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球C．恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D．至少有一個(gè)黑球與都是白球17．王老師從甲、乙、丙三位同學(xué)中隨機(jī)抽選兩位同學(xué)進(jìn)行家訪．事件表示“抽中甲、乙兩位同學(xué)”，事件表示“抽中甲、丙兩位同學(xué)”，則（

）A．是必然事件 B．是不可能事件C．與是互斥事件 D．與是對(duì)立事件18．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（

）A． B． C． D．題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率19．甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.7，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為.20．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）嵊（shèng）州是歷史文化名城，早在秦朝已設(shè)郡縣，古稱剡（shàn）縣，贍縣、嵊縣，古往今來無數(shù)文人墨客都醉心于嵊州的山水風(fēng)景之中，李白曾夢(mèng)到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有詩曰：剡溪蘊(yùn)秀異，欲罷不能忘，其中萬年小黃山，千年唐詩路，百年越劇是三張重要?dú)v史文化名片，現(xiàn)有甲、乙兩人到達(dá)高鐵嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬年小黃山、千年唐詩路之謝靈運(yùn)垂釣處、越劇誕生地打卡，已知每人都只去1個(gè)景點(diǎn)，且甲、乙兩人前往三地打卡的概率分別是和，則甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為.21．某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李華答對(duì)每道題目的概率都是，若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，則李華最終通過面試的概率為.22．甲、乙兩人進(jìn)行投籃練習(xí)，甲投中的概率為23，乙投中的概率為，甲、乙兩人各投籃1次，甲、乙之間互不影響，已知兩人至少有一人投中，則甲投中的概率.23．已知事件和事件相互獨(dú)立，表示事件的對(duì)立事件，，，則.24．有兩顆種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，則恰好有一顆發(fā)芽的概率是．1．某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，則該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（

）A． B． C． D．2．從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從乙袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個(gè)球，則是（

）A．4個(gè)球不都是紅球的概率 B．4個(gè)球都是紅球的概率C．4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率 D．4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負(fù)者先著子，則最終甲勝的概率為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.5754．有—個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)方向一人，事件“甲向南”與事件“乙向南”是（

）A．互斥但非對(duì)立事件 B．對(duì)立事件C．非互斥事件 D．以上都不對(duì)5．投擲一枚均勻硬幣和一個(gè)均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于4”為事件，則事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是（

）A． B． C． D．6．甲袋中裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，乙袋中裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，現(xiàn)從兩袋中各摸一個(gè)球，“兩球同色”，“兩球異色”，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．視，的大小而定7．在如圖所示的電路中，5個(gè)盒子表示保險(xiǎn)匣，盒子中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲熔斷的概率，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．A，B兩個(gè)盒子并聯(lián)后FG段暢通的概率為B．D，E兩個(gè)盒子串聯(lián)后GH段暢通的概率為C．C，D，E三個(gè)盒子混聯(lián)后GK段暢通的概率為D．當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率大于整個(gè)電路不通的概率8．已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，丙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是，乙廠產(chǎn)品的合格率是，丙廠產(chǎn)品的合格率是，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)產(chǎn)品，此產(chǎn)品是次品的概率是（

）A． B． C． D．9．（多選題）在某次英語四級(jí)考試中，若甲、乙、丙通過考試的概率分別為，且成等比數(shù)列，三人各自是否通過這次考試相互獨(dú)立，則（

）A．B．甲、乙都通過這次考試的概率為0.24C．甲、丙都不通過這次考試的概率為0.12D．乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為0.9610．（多選題）已知事件兩兩互斥，若，，，則（

）A． B．C． D．11．（多選題）從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列說法正確的是（

）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”是互斥而不對(duì)立的事件B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”不是互斥事件C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而且是對(duì)立的事件D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”是對(duì)立事件12．在一個(gè)盒子中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，甲?乙兩人輪流從盒子中隨機(jī)地取球，甲先取，乙后取?然后甲再取，…，每次取1個(gè)，取后不放回．直到2個(gè)白球都被取出來后就停止取球，則2個(gè)白球都被乙取出的概率為；將球全部取出才停止取球的概率為．13．小耿與小吳參與某個(gè)答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會(huì)，小吳有1道題不會(huì)，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會(huì)答的概率為14．某校組織羽毛球比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（每局比賽沒有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽），兩人第一局獲勝的概率均為，從第二局開始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局獲勝的概率為，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為，且一方第一局、第二局連勝的概率為．則打完4場(chǎng)結(jié)束比賽的概率為．15．下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗(yàn)的結(jié)果．甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.故答案為：；.5．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（陜西卷））某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為，且各輪問題能否回答正確互不影響．(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率．6．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷Ⅱ））從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取件，假設(shè)事件：“取出的件產(chǎn)品中至多有件是二等品”的概率．(1)求從該批產(chǎn)品中任取件是二等品的概率；(2)若該批產(chǎn)品共有件，從中任意抽取件，求事件：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率．7．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（遼寧卷））甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒有影響．求：(1)甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率；(2)甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率．8．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（湖南卷））某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡(jiǎn)稱安檢）．若安檢不合格，則必須整改．若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)制關(guān)閉．設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計(jì)算（結(jié)果精確到0.01）：(1)恰好有兩家煤礦必須整改的概率；(2)某煤礦不被關(guān)閉的概率；(3)至少關(guān)閉一家煤礦的概率．9．（2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（天津卷））有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，0.95和0.95，各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)．(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有兩件不合格的概率．（精確到0.001）第04講隨機(jī)事件、頻率與概率目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：隨機(jī)事件與樣本空間 2題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算 2題型三：頻率與概率 3題型四：生活中的概率 5題型五：互斥事件與對(duì)立事件 6題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率 802重難創(chuàng)新練 1003真題實(shí)戰(zhàn)練 17題型一：隨機(jī)事件與樣本空間1．袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請(qǐng)寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間：.【答案】（答案不唯一）【解析】從袋中任取個(gè)球，共有如下情況.其中一個(gè)不等可能的樣本空間為，此樣本空間中兩個(gè)黑球的情況有1個(gè)，一黑一白的情況有2個(gè)，是不等可能的樣本空間.故答案為：.(答案不唯一)2．從含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為．【答案】【解析】由分析可知取出的件產(chǎn)品的次品個(gè)數(shù)為，，，，，所以樣本空間為，故答案為：.3．將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗(yàn)樣本空間為.【答案】【解析】因?yàn)閷⒁幻队矌艗伻?，其正面朝上的次?shù)可能為，所以該試驗(yàn)樣本空間為.故答案為：.題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算4．拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件，則（

）A． B．C．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【答案】C【解析】由題意可知，，，，，所以，，2，，則表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3，故ABD錯(cuò)誤，C正確．故選：C．5．已知事件A、B、C滿足A?B，B?C，則下列說法不正確的是（

）A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生【答案】D【解析】由已知可得A?C，又因?yàn)锳?B，B?C，如圖事件A，B，C用集合表示：則選項(xiàng)A，B正確，事件，則C正確，D錯(cuò)誤故選：D．6．拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，顯然，，，C不含于A.故選：D題型三：頻率與概率7．（2024·高三·重慶沙坪壩·期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.【答案】【解析】20組數(shù)據(jù)中，共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，故估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.故答案為：8．已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.【答案】/【解析】組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是、、、、，其頻率為，以此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.故答案為：9．一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無療效，則沒有明顯療效的頻率是．【答案】0.386/【解析】由題意可得沒有明顯療效的人數(shù)為，所以沒有明顯療效的頻率為，故答案為：0.38610．若隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計(jì)事件A的概率，即．【答案】【解析】在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會(huì)在隨機(jī)事件發(fā)生的概率附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這個(gè)性質(zhì)成為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計(jì)事件A的概率，即.故答案為：題型四：生活中的概率11．某地區(qū)牛患某種病的概率為0.25，且每頭牛患病與否是互不影響的，今研制一種新的預(yù)防藥，任選12頭牛做試驗(yàn)，結(jié)果這12頭牛服用這種藥后均未患病，則此藥(填“有效”或“無效”)．【答案】有效【解析】若此藥無效，則頭牛都不患病的概率為，這個(gè)概率很小，故該事件基本上不會(huì)發(fā)生，所以此藥有效．故答案為：有效.12．有以下說法：①昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率為95%”是錯(cuò)誤的；②“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)；③做10次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為；④某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品．其中錯(cuò)誤說法的序號(hào)是.【答案】①②③【解析】①中降水概率為95%，仍有不降水的可能，故①錯(cuò)誤；②中“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示在設(shè)計(jì)彩票時(shí)，有1%的機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)，但不一定買100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)，故②錯(cuò)誤；③中正面朝上的頻率為，概率仍為，故③錯(cuò)誤；④中次品率為2%，但50件產(chǎn)品中可能沒有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正確.故答案為：①②③13．在一個(gè)大轉(zhuǎn)盤上，盤面被均勻地分成12份，分別寫有1~12這12個(gè)數(shù)字，其中2，4，6，8，10，12這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是文具盒，而1，3，5，7，9，11這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是隨身聽.游戲規(guī)則是轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)后指針停在哪一格，則繼續(xù)向前前進(jìn)相應(yīng)的格數(shù).例如：你轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在4所在區(qū)域，則還要往前前進(jìn)4格，到標(biāo)有8的區(qū)域，此時(shí)8區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品就是你的，依此類推.請(qǐng)問：小明在玩這個(gè)游戲時(shí)，得到的獎(jiǎng)品是隨身聽的概率是.【答案】0【解析】根據(jù)游戲規(guī)則,轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)趨^(qū)域再前進(jìn)相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標(biāo)為偶數(shù)的區(qū)域,而得到隨身聽對(duì)應(yīng)的區(qū)域均標(biāo)為奇數(shù),即可求得轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)趨^(qū)域再前進(jìn)相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標(biāo)為偶數(shù)的區(qū)域,又得到隨身聽對(duì)應(yīng)的區(qū)域均標(biāo)為奇數(shù),得到的獎(jiǎng)品為隨身聽的概率為.故答案為:.14．某射擊教練評(píng)價(jià)一名運(yùn)動(dòng)員時(shí)說：“你射中的概率是90%．”你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中哪一個(gè)能代表教練的觀點(diǎn)（填序號(hào)）．①該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了100次，恰有90次擊中目標(biāo)；②該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會(huì)是90%．【答案】②【解析】射中的概率是90%說明中靶的可能性大小，即中靶機(jī)會(huì)是90%，所以①不正確，②正確.故答案為：②.題型五：互斥事件與對(duì)立事件15．從裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的盒子里摸出3個(gè)球，則以下哪個(gè)選項(xiàng)中的事件A與事件B互斥卻不互為對(duì)立（

）A．事件A：3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中至少有1個(gè)白球B．事件A：3個(gè)球中恰有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中恰有1個(gè)白球C．事件A：3個(gè)球中至多有2個(gè)紅球：事件B：3個(gè)球中至少有2個(gè)白球D．事件A：3個(gè)球中至多有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中至多有1個(gè)白球【答案】B【解析】對(duì)于A，事件與事件可能同時(shí)發(fā)生，例如摸出2個(gè)白球和1個(gè)紅球，所以事件與事件不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，但不是一定有一個(gè)發(fā)生，還有可能是3個(gè)白球或3個(gè)紅球，所以事件與事件互斥卻不互為對(duì)立，故B正確；對(duì)于C，事件與事件可能同時(shí)發(fā)生，例如摸出2個(gè)白球和1個(gè)紅球，所以事件與事件不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，所以事件與事件是互斥事件也是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤．故選：B．16．從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件（

）A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球C．恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D．至少有一個(gè)黑球與都是白球【答案】C【解析】A選項(xiàng)，至少有一個(gè)黑球包括一個(gè)黑球一個(gè)白球和兩個(gè)黑球兩種情況，與都是黑球不互斥，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，至少有一個(gè)白球包括一個(gè)白球一個(gè)黑球和兩個(gè)白球兩種情況，與至少有一個(gè)黑球不互斥，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，恰好有一個(gè)黑球、恰好有兩個(gè)黑球還有恰好沒有黑球這種情況，所以互斥但不對(duì)立，故C正確；D選項(xiàng)，至少有一個(gè)黑球和都是白球互斥且對(duì)立，故D錯(cuò).故選：C.17．王老師從甲、乙、丙三位同學(xué)中隨機(jī)抽選兩位同學(xué)進(jìn)行家訪．事件表示“抽中甲、乙兩位同學(xué)”，事件表示“抽中甲、丙兩位同學(xué)”，則（

）A．是必然事件 B．是不可能事件C．與是互斥事件 D．與是對(duì)立事件【答案】C【解析】從甲、乙、丙三位同學(xué)中隨機(jī)抽選兩位同學(xué)進(jìn)行家訪,所有的基本事件有{（甲乙），（甲丙），（乙丙）}，對(duì)于A，是不一定發(fā)生，故不是必然事件，對(duì)于B，是可能發(fā)生，所以不是不可能事件，對(duì)于C，與不能同時(shí)發(fā)生，故與是互斥事件，對(duì)于D,與不能同時(shí)發(fā)生，但不是全部事件，所以不是對(duì)立事件，故選：C18．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，，又，所以，解得，所以.故選：D.題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率19．甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.7，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為.【答案】0.245/【解析】由題意知甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”，設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.7，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，則甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第一場(chǎng)負(fù)，另外四場(chǎng)全勝概率為，甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第二場(chǎng)負(fù)，另外四場(chǎng)全勝概率為，甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第三次場(chǎng)，另外四場(chǎng)全勝概率為，甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第四次場(chǎng)，另外四場(chǎng)全勝概率為所以甲隊(duì)以4：1獲勝的概率.故答案為：0.24520．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）嵊（shèng）州是歷史文化名城，早在秦朝已設(shè)郡縣，古稱剡（shàn）縣，贍縣、嵊縣，古往今來無數(shù)文人墨客都醉心于嵊州的山水風(fēng)景之中，李白曾夢(mèng)到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有詩曰：剡溪蘊(yùn)秀異，欲罷不能忘，其中萬年小黃山，千年唐詩路，百年越劇是三張重要?dú)v史文化名片，現(xiàn)有甲、乙兩人到達(dá)高鐵嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬年小黃山、千年唐詩路之謝靈運(yùn)垂釣處、越劇誕生地打卡，已知每人都只去1個(gè)景點(diǎn)，且甲、乙兩人前往三地打卡的概率分別是和，則甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為.【答案】【解析】甲乙打卡相同景點(diǎn)的概率為，所以甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為.故答案為：21．某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李華答對(duì)每道題目的概率都是，若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，則李華最終通過面試的概率為.【答案】【解析】依題意，李華3道題都沒有答對(duì)的概率為，所以李華最終通過面試的概率為.故答案為：.22．甲、乙兩人進(jìn)行投籃練習(xí)，甲投中的概率為23，乙投中的概率為，甲、乙兩人各投籃1次，甲、乙之間互不影響，已知兩人至少有一人投中，則甲投中的概率.【答案】【解析】“至少有一人命中的”的對(duì)立事件是“兩人都沒有命中”，兩人都沒有命中的概率，所以“至少有一人命中的”概率.所以兩人至少有一人投中，甲投中的概率為故答案為：23．已知事件和事件相互獨(dú)立，表示事件的對(duì)立事件，，，則.【答案】/0.125【解析】由事件和事件相互獨(dú)立，則事件和事件也相互獨(dú)立.所以.故答案為：24．有兩顆種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，則恰好有一顆發(fā)芽的概率是．【答案】0.26/【解析】有兩顆種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，則恰好有一顆發(fā)芽的概率是.故答案為：.1．某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，則該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：．故選：C.2．從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從乙袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個(gè)球，則是（

）A．4個(gè)球不都是紅球的概率 B．4個(gè)球都是紅球的概率C．4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率 D．4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率【答案】C【解析】4個(gè)球都是紅球的概率為，故B錯(cuò)誤；4個(gè)球不都是紅球的概率為，故A錯(cuò)誤；4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率為，故C正確；4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負(fù)者先著子，則最終甲勝的概率為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575【答案】D【解析】由題意知，一二局甲勝的概率為：，一三局甲勝的概率為：，二三局甲勝的概率為：，因此最終甲勝的概率為，故選：D.4．有—個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)方向一人，事件“甲向南”與事件“乙向南”是（

）A．互斥但非對(duì)立事件 B．對(duì)立事件C．非互斥事件 D．以上都不對(duì)【答案】A【解析】因?yàn)榧?、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)方向一人，所以事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)都不發(fā)生，故事件“甲向南”與事件“乙向南”是互斥但非對(duì)立事件；故選：A5．投擲一枚均勻硬幣和一個(gè)均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于4”為事件，則事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的對(duì)立事件是事件，都不發(fā)生，而事件不發(fā)生的概率為，事件不發(fā)生的概率為，所以事件，都不發(fā)生的概率為，故事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是，故D正確.故選：D6．甲袋中裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，乙袋中裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，現(xiàn)從兩袋中各摸一個(gè)球，“兩球同色”，“兩球異色”，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．視，的大小而定【答案】A【解析】設(shè)“取出的都是白球”，“取出的都是黑球”，則，互斥且，．設(shè)“從甲袋取出白球，乙袋取出黑球”，“從甲袋取出黑球，乙袋取出白球”，則，互斥且．由于，故．故．故選：A.7．在如圖所示的電路中，5個(gè)盒子表示保險(xiǎn)匣，盒子中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲熔斷的概率，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．A，B兩個(gè)盒子并聯(lián)后FG段暢通的概率為B．D，E兩個(gè)盒子串聯(lián)后GH段暢通的概率為C．C，D，E三個(gè)盒子混聯(lián)后GK段暢通的概率為D．當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率大于整個(gè)電路不通的概率【答案】D【解析】對(duì)于A，A，B兩個(gè)盒子并聯(lián)后FG段暢通的概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，D，E兩個(gè)盒子串聯(lián)后GH段暢通的概率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，GH熔斷的概率為，因此C，D，E三個(gè)盒子混聯(lián)后GK段暢通的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)AC知，整個(gè)電路暢通的概率為不通的概率為，D正確.故選：D8．已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，丙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是，乙廠產(chǎn)品的合格率是，丙廠產(chǎn)品的合格率是，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)產(chǎn)品，此產(chǎn)品是次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，產(chǎn)品是次品的概率是，故選：D.9．（多選題）在某次英語四級(jí)考試中，若甲、乙、丙通過考試的概率分別為，且成等比數(shù)列，三人各自是否通過這次考試相互獨(dú)立，則（

）A．B．甲、乙都通過這次考試的概率為0.24C．甲、丙都不通過這次考試的概率為0.12D．乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為0.96【答案】BD【解析】因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，解得，故A錯(cuò)誤；所以甲、乙都通過這次考試的概率為，故B正確；所以甲、丙都不通過這次考試的概率為，故C錯(cuò)誤；所以乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為，故D正確.故選：BD.10．（多選題）已知事件兩兩互斥，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)槭录蓛苫コ?，所?因?yàn)?，，所以，則正確.因?yàn)?，，所以，則正確.因?yàn)槭录蓛苫コ猓?，則錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，則正確.故選：ABD11．（多選題）從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列說法正確的是（

）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”是互斥而不對(duì)立的事件B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”不是互斥事件C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而且是對(duì)立的事件D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”是對(duì)立事件【答案】BD【解析】“至少有一個(gè)黑球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球或兩個(gè)黑球”與“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；“至少有一個(gè)黑球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球或兩個(gè)黑球”，“至少有一個(gè)紅球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球或兩個(gè)紅球”，可以同時(shí)發(fā)生，故B正確；“恰好有一個(gè)黑球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球”，與“恰好有兩個(gè)黑球”，不同時(shí)發(fā)生，還有可能都是紅球，不是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；“至少有一個(gè)黑球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球或兩個(gè)黑球”，與“都是紅球”，不同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，是對(duì)立事件，故D正確．故選：BD．12．在一個(gè)盒子中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，甲?乙兩人輪流從盒子中隨機(jī)地取球，甲先取，乙后取?然后甲再取，…，每次取1個(gè)，取后不放回．直到2個(gè)白球都被取出來后就停止取球，則2個(gè)白球都被乙取出的概率為；將球全部取出才停止取球的概率為．【答案】//【解析】若2個(gè)白球都被乙取出，則第一次甲取出紅球，第二次乙取出白球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出白球，結(jié)束取球，其概率為．若將球全部取出才停止取球，則最后一次即第5次取出的一定是白球．四種情況：①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，其概率為；②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，其概率為；③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，其概率為；④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，其概率為；故所求概率為．故答案為：；.13．小耿與小吳參與某個(gè)答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會(huì)，小吳有1道題不會(huì)，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會(huì)答的概率為【答案】/0.56【解析】小耿與小吳恰有1人會(huì)答，包括兩種情況，小耿會(huì)小吳不會(huì)和小吳會(huì)小耿不會(huì).則小耿與小吳恰有1人會(huì)答的概率為.故答案為：.14．某校組織羽毛球比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（每局比賽沒有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽），兩人第一局獲勝的概率均為，從第二局開始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局獲勝的概率為，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為，且一方第一局、第二局連勝的概率為．則打完4場(chǎng)結(jié)束比賽的概率為．【答案】【解析】令事件為一方在第i局獲勝，，則連勝兩局的概率，解得，若打完4場(chǎng)結(jié)束比賽，則需一方以獲勝，因此則第4場(chǎng)必須是勝，前3場(chǎng)勝2場(chǎng)即可，其中一方在第1、2、4場(chǎng)獲勝的概率，其中一方在第1、3、4場(chǎng)獲勝的概率，其中一方在第2、3、4場(chǎng)獲勝的概率，所以打完4場(chǎng)結(jié)束比賽的概率，故答案為：.15．下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗(yàn)的結(jié)果．種子個(gè)數(shù)n100400900150025004000發(fā)芽種子個(gè)數(shù)m92352818133622513601發(fā)芽種子頻率0.920.880.910.890.900.90根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)該植物的種子發(fā)芽的概率為（精確到0.1）．【答案】【解析】在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率；觀察表格得到某種植物發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在附近，進(jìn)而求解即可.故答案為：1．（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（浙江卷））從存放號(hào)碼分別為1，2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：卡片號(hào)碼12345678910取到的次數(shù)138576131810119則取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率是（

）A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37【答案】A【解析】由題意知，∵有放回地取100次，每次取