2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章第01講數(shù)列的基本知識與概念(六大題型)(講義)(學(xué)生版+解析)

第01講數(shù)列的基本知識與概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識點(diǎn)1：數(shù)列的概念 4知識點(diǎn)2：數(shù)列的分類 4知識點(diǎn)3：數(shù)列的兩種常用的表示方法 5解題方法總結(jié) 5題型一：數(shù)列的周期性 5題型二：數(shù)列的單調(diào)性 6題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng) 8題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題 9題型五：數(shù)列的恒成立問題 11題型六：遞推數(shù)列問題 1104真題練習(xí)·命題洞見 1305課本典例·高考素材 1406易錯(cuò)分析·答題模板 15易錯(cuò)點(diǎn)：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn) 15答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用 15

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）數(shù)列的概念（2）數(shù)列的分類（3）數(shù)列的性質(zhì)2023年北京卷第10題，4分2022年乙卷（理）第4題，5分2021年北京卷第10題，4分2020年浙江卷第11題，4分高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．

知識點(diǎn)1：數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．【診斷自測】下列說法中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可表示為集合B．?dāng)?shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列可記為知識點(diǎn)2：數(shù)列的分類（1）按照項(xiàng)數(shù)分：有限和無限（2）按單調(diào)性來分：【診斷自測】已知函數(shù)，設(shè)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．是無窮數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C．不是常數(shù)列 D．中有最大項(xiàng)知識點(diǎn)3：數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【診斷自測】，數(shù)列1，，7，，31，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．解題方法總結(jié)（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則注意：根據(jù)求時(shí)，不要忽視對的驗(yàn)證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則題型一：數(shù)列的周期性【典例1-1】在數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，若對，則（

）A． B．1 C． D．【方法技巧】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．【變式1-1】（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報(bào)數(shù)游戲，從甲開始依次進(jìn)行，當(dāng)甲報(bào)出1，乙報(bào)出2后，之后每個(gè)人報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2024個(gè)被報(bào)出的數(shù)應(yīng)該為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-2】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．2【變式1-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，，則的值為（

）A． B． C．3 D．【變式1-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且滿足．若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A．0 B．1 C．675 D．2023題型二：數(shù)列的單調(diào)性【典例2-1】（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則“”是是遞增數(shù)列的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【方法技巧】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷【變式2-1】（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

）.A． B． C． D．【變式2-2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-3】數(shù)列中前項(xiàng)和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-5】已知數(shù)列滿足：，（，），數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A．2 B． C． D．4【變式2-6】（2024·浙江寧波·二模）已知數(shù)列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2-7】（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)【典例3-1】已知，則數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2024·上?！つM預(yù)測）數(shù)列的最小項(xiàng)的值為.【方法技巧】求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)．（2）通過通項(xiàng)公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng)．（3）比較法：若有或時(shí)，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為；若有或時(shí)，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為．【變式3-1】（2024·北京西城·一模）在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為，的最小值為.【變式3-2】（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式（），則的最小值為．【變式3-3】數(shù)列的通項(xiàng)，則數(shù)列中的最大項(xiàng)的值為.【變式3-4】設(shè)是的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)（），若，則的最大值是.【變式3-5】已知，則數(shù)列的最小值為.【變式3-6】在數(shù)列中，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)的值是．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題【典例4-1】（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（TowerofHanoi），是一個(gè)源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個(gè)不同大小的圓盤，要把所有盤子一個(gè)一個(gè)移動(dòng)到柱子B上，并且每次移動(dòng)時(shí)，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動(dòng)多少次？記至少移動(dòng)次數(shù)為，例如：，，則下列說法正確的是（

）A． B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．【典例4-2】（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項(xiàng)為（

）A．366 B．422 C．450 D．600【方法技巧】特殊值法、列舉法找規(guī)律【變式4-1】（2024·陜西西安·三模）定義，，，，，，，則（

）A． B． C． D．【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”與“弦”之間的關(guān)系為（其中）．當(dāng)時(shí)，有如下勾股弦數(shù)組序列：，，則在這個(gè)序列中，第10個(gè)勾股弦數(shù)組中的“弦”等于（

）A．145 B．181 C．221 D．265【變式4-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【變式4-4】（2024·云南保山·二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項(xiàng)為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14題型五：數(shù)列的恒成立問題【典例5-1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和且，若恒成立，則的最小值為．【典例5-2】記分別為數(shù)列前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．若恒成立，則的最小值為．【方法技巧】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．【變式5-1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若對于任意的正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式5-2】（2024·高三·重慶·期中）已知數(shù)列{}滿足，若對任意正整數(shù)都有恒成立，則k的取值范圍是.【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若對恒成立，則的取值范圍為.題型六：遞推數(shù)列問題【典例6-1】（2024·天津·二模）在數(shù)列中，若（），則的值為（

）A．1 B．3 C．9 D．27【典例6-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，則（

）A．511 B．677 C．1021 D．2037【方法技巧】列舉法【變式6-1】（2024·貴州遵義·一模）數(shù)列滿足，對任意正整數(shù)p，q都有，則（

）A．4 B． C．6 D．【變式6-2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，則第30層小球的個(gè)數(shù)為（

）A．464 B．465 C．466 D．467【變式6-3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)與面積的和分別為（

）

A．；n B．；C．；n D．；【變式6-4】某劇場有30排座位，第一排有20個(gè)座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位．(1)寫出前五排座位數(shù)．(2)第排與第排座位數(shù)有何關(guān)系？(3)第排座位數(shù)與第排座位數(shù)能用等式表示嗎？【變式6-5】觀察下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，回答(1)寫出圖中點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)遞推公式；并根據(jù)這個(gè)遞推公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：..1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立2．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．4．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號是．1．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)：（1），；（2），.2．已知數(shù)列滿足，，寫出它的前5項(xiàng)，并猜想它的通項(xiàng)公式.3．寫出下列數(shù)列的前項(xiàng)，并繪出它們的圖像：（1）素?cái)?shù)按從小到大的順序排列成的數(shù)列；（2）歐拉函數(shù)的函數(shù)值按自變量從小到大的順序排列成的數(shù)列.4．已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由給出.（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）利用數(shù)列，通過公式構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的前5項(xiàng).5．假設(shè)某銀行的活期存款年利率為某人存10萬元后，既不加進(jìn)存款也不取款，每年到期利息連同本金自動(dòng)轉(zhuǎn)存，如果不考慮利息稅及利率的變化，用表示第年到期時(shí)的存款余額，求、、及.6．已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）求證.（2）是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？易錯(cuò)點(diǎn)：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)易錯(cuò)分析：解題時(shí)容易找不到數(shù)列中的每項(xiàng)之間的相似地方，總結(jié)不出來一般規(guī)律。【易錯(cuò)題1】已知數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為．【易錯(cuò)題2】數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是．答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用1、模板解決思路判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法，一般采用作差法比較數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的大小；當(dāng)數(shù)列各項(xiàng)符號相同時(shí)，也可用作商法比較；還可以利用數(shù)列通項(xiàng)公式所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性．2、模板解決步驟第一步：根據(jù)條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．第二步：作差（或作商），并化簡．第三步：討論與（或與1）的大小，得出數(shù)列的單調(diào)性．【典型例題1】設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【典型例題2】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為遞增數(shù)列，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．第01講數(shù)列的基本知識與概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識點(diǎn)1：數(shù)列的概念 4知識點(diǎn)2：數(shù)列的分類 4知識點(diǎn)3：數(shù)列的兩種常用的表示方法 5解題方法總結(jié) 6題型一：數(shù)列的周期性 6題型二：數(shù)列的單調(diào)性 9題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng) 13題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題 17題型五：數(shù)列的恒成立問題 21題型六：遞推數(shù)列問題 2404真題練習(xí)·命題洞見 2705課本典例·高考素材 3506易錯(cuò)分析·答題模板 38易錯(cuò)點(diǎn)：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn) 38答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用 39

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）數(shù)列的概念（2）數(shù)列的分類（3）數(shù)列的性質(zhì)2023年北京卷第10題，4分2022年乙卷（理）第4題，5分2021年北京卷第10題，4分2020年浙江卷第11題，4分高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．

知識點(diǎn)1：數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．【診斷自測】下列說法中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可表示為集合B．?dāng)?shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列可記為【答案】C【解析】對于A，由數(shù)列的定義易知A錯(cuò)誤；對于B，兩個(gè)數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于C，數(shù)列的第項(xiàng)為，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，這與數(shù)列的定義不相符，故D錯(cuò)誤.故選：C.知識點(diǎn)2：數(shù)列的分類（1）按照項(xiàng)數(shù)分：有限和無限（2）按單調(diào)性來分：【診斷自測】已知函數(shù)，設(shè)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．是無窮數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C．不是常數(shù)列 D．中有最大項(xiàng)【答案】D【解析】對于A，顯然是無窮數(shù)列，故A正確；對于B，因?yàn)?，即，即是遞增數(shù)列，故B正確；對于C，因?yàn)?，，，故不是常?shù)列，故C正確；對于D，由B知，是遞增數(shù)列，當(dāng)趨近于無窮大時(shí)，也趨近于無窮大，所以中無最大項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：D知識點(diǎn)3：數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【診斷自測】，數(shù)列1，，7，，31，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：檢驗(yàn)可知對均成立，故D正確；故選：D.解題方法總結(jié)（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則注意：根據(jù)求時(shí)，不要忽視對的驗(yàn)證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則題型一：數(shù)列的周期性【典例1-1】在數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榍?，所以，，，，，，所以是以為周期的周期?shù)列，所以.故選：C【典例1-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，若對，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由與相減得：，即，又，故，所以.故選：A.【方法技巧】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．【變式1-1】（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報(bào)數(shù)游戲，從甲開始依次進(jìn)行，當(dāng)甲報(bào)出1，乙報(bào)出2后，之后每個(gè)人報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2024個(gè)被報(bào)出的數(shù)應(yīng)該為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】報(bào)出的數(shù)字依次是，除了首項(xiàng)以外是個(gè)周期為6的周期數(shù)列.去掉首項(xiàng)后的新數(shù)列第一項(xiàng)為2，因?yàn)?，所以原?shù)列第2024個(gè)被報(bào)出的數(shù)應(yīng)該為2.故選：A.【變式1-2】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，得，，，，，，則是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C【變式1-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：A.【變式1-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且滿足．若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A．0 B．1 C．675 D．2023【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)．，，，，，即，數(shù)列的前2023項(xiàng)和為．故選：B．題型二：數(shù)列的單調(diào)性【典例2-1】（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】為遞增數(shù)列時(shí)，有，不能得到為遞增數(shù)列，充分性不成立；為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有，即不能得到為遞增數(shù)列，必要性不成立.所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.【典例2-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則“”是是遞增數(shù)列的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，則，所以，即，所以是遞增數(shù)列，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，則，所以是遞增數(shù)列，所以當(dāng)數(shù)列是遞增數(shù)列，可以大于，所以必要性不成立，所以“”是是遞增數(shù)列的充分不必要條件.故選：B【方法技巧】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷【變式2-1】（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得恒成立，即，即，又，，故.故選：A.【變式2-2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，所以，即，所以為遞減數(shù)列，所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分條件，若為遞減數(shù)列，則，所以，所以，所以“”是“為遞減數(shù)列”的必要條件，所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分必要條件，故選：C.【變式2-3】數(shù)列中前項(xiàng)和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，兩式相減得，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，所以，解得.綜上.故選：B.【變式2-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】二次函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增；因?yàn)橹械淖宰兞繛檎麛?shù)，且，則，解得，顯然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式2-5】已知數(shù)列滿足：，（，），數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】因?yàn)椋?，且為遞增數(shù)列，所以，即，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知符合題意，故選：C.【變式2-6】（2024·浙江寧波·二模）已知數(shù)列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閷θ我舛加?，所以?shù)列在上是遞減數(shù)列，因?yàn)閷θ我舛加?，所以?shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式2-7】（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，由于，即，可得?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，可得，即對任意的正整數(shù)都成立．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞減，可得，則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞增，可得，則；綜上可得的取值范圍是．故選：B．題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)【典例3-1】已知，則數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列中，，則，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，即，同理當(dāng)時(shí)，，即，而當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為.故選：D【典例3-2】（2024·上?！つM預(yù)測）數(shù)列的最小項(xiàng)的值為.【答案】【解析】令，得，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即數(shù)列的最小項(xiàng)的值為.故答案為：.【方法技巧】求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)．（2）通過通項(xiàng)公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng)．（3）比較法：若有或時(shí)，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為；若有或時(shí)，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為．【變式3-1】（2024·北京西城·一模）在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為，的最小值為.【答案】【解析】由題意，又等差數(shù)列的公差為1，所以；故，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，顯然的最小值是.又，所以，即的最小值是.故答案為：，【變式3-2】（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式（），則的最小值為．【答案】/【解析】由于當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，要求的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)奇數(shù)項(xiàng)時(shí)即可，又，且當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，綜上，最小值為.故答案為：【變式3-3】數(shù)列的通項(xiàng)，則數(shù)列中的最大項(xiàng)的值為.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，則，令，即，因?yàn)椋獾?，所以，令，解得，所以，故?shù)列中的最大項(xiàng)為，其值為.故答案為：.【變式3-4】設(shè)是的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)（），若，則的最大值是.【答案】【解析】，因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，在是增函數(shù)，且，時(shí)，，所以時(shí)，，所以，所以的最小值是.故答案為：【變式3-5】已知，則數(shù)列的最小值為.【答案】【解析】，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)遞減，時(shí)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.故答案為：【變式3-6】在數(shù)列中，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)的值是．【答案】4【解析】根據(jù)以及，可知，所以①，則②，由②①得，即，因?yàn)?，所以與同號，又因?yàn)?，且，所以，所以?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以因此數(shù)列的最大項(xiàng)是，其值是4．故答案為：4.題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題【典例4-1】（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（TowerofHanoi），是一個(gè)源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個(gè)不同大小的圓盤，要把所有盤子一個(gè)一個(gè)移動(dòng)到柱子B上，并且每次移動(dòng)時(shí)，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動(dòng)多少次？記至少移動(dòng)次數(shù)為，例如：，，則下列說法正確的是（

）A． B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．【答案】C【解析】由題意知若有1個(gè)圓盤，則需移動(dòng)一次：若有2個(gè)圓盤，則移動(dòng)情況為：，需移動(dòng)3次；若有3個(gè)圓盤，則移動(dòng)情況如下：，共7次，故，A錯(cuò)誤；由此可知若有n個(gè)圓盤，設(shè)至少移動(dòng)次，則,所以，而，故為等比數(shù)列，故即，該式不是n的一次函數(shù)，則不為等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；又，則，，則為等比數(shù)列，C正確，，D錯(cuò)誤，故選：C【典例4-2】（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項(xiàng)為（

）A．366 B．422 C．450 D．600【答案】C【解析】由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為，可得該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，所以此數(shù)列的第30項(xiàng)為.故選：C.【方法技巧】特殊值法、列舉法找規(guī)律【變式4-1】（2024·陜西西安·三模）定義，，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，把排列成如下數(shù)陣：第n行有n個(gè)數(shù)對，各個(gè)數(shù)對的兩數(shù)和為，每個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)從左起依次為1，2，3，…，n，則前n行共有個(gè)數(shù)對，顯然數(shù)列單調(diào)遞增，而，所以是第64行第一個(gè)數(shù)對，即.故選：D【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”與“弦”之間的關(guān)系為（其中）．當(dāng)時(shí)，有如下勾股弦數(shù)組序列：，，則在這個(gè)序列中，第10個(gè)勾股弦數(shù)組中的“弦”等于（

）A．145 B．181 C．221 D．265【答案】C【解析】因?yàn)椋裕诮o定的勾股弦數(shù)組序列中，，所以．易得勾股弦數(shù)組序列中“勾”的通項(xiàng)公式為，所以，故“弦”的通項(xiàng)公式為．所以第10個(gè)勾股弦數(shù)組中的“弦”等于．故選：C．【變式4-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【答案】C【解析】設(shè)題圖②中第行白心圈的個(gè)數(shù)為，黑心圈的個(gè)數(shù)為，依題意可得，且有，所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，①；又，，故有，∴為常數(shù)數(shù)列，且，所以是以為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，②；由①②相加減得：，；所以．故選：C．【變式4-4】（2024·云南保山·二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項(xiàng)為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，...，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當(dāng)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為55，第56項(xiàng)為12，故選：B.題型五：數(shù)列的恒成立問題【典例5-1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和且，若恒成立，則的最小值為．【答案】2【解析】由，，則當(dāng)時(shí)，，整理得，即，∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式，所以，∴又因?yàn)楹愠闪?，所以，所以的最小值?故答案為：.【典例5-2】記分別為數(shù)列前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．若恒成立，則的最小值為．【答案】3【解析】∵，∴，∴，又∵是公差為的等差數(shù)列，∴，所以，即當(dāng)時(shí)，，∴，整理得：，即，∴，顯然對于也成立，∴，∴．所以，即的最小值為．故答案為：3.【方法技巧】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．【變式5-1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若對于任意的正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】根據(jù)，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，則可變?yōu)椋?，令，則，且，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式5-2】（2024·高三·重慶·期中）已知數(shù)列{}滿足，若對任意正整數(shù)都有恒成立，則k的取值范圍是.【答案】【解析】由可得，又因?yàn)?，所以，即?shù)列是一個(gè)以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，對任意正整數(shù)都有，則，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以故答案為：.【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若對恒成立，則的取值范圍為.【答案】【解析】法一：由，得，兩式相減得，則數(shù)列，都是以2為公差的單調(diào)遞增數(shù)列.要使對恒成立，只需，而，，則，解得.法二：由，得，兩式相減得，又，則，，要使對恒成立，即，即，解得.故答案為：.題型六：遞推數(shù)列問題【典例6-1】（2024·天津·二模）在數(shù)列中，若（），則的值為（

）A．1 B．3 C．9 D．27【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.【典例6-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，則（

）A．511 B．677 C．1021 D．2037【答案】B【解析】.故選：B.【方法技巧】列舉法【變式6-1】（2024·貴州遵義·一模）數(shù)列滿足，對任意正整數(shù)p，q都有，則（

）A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】由，得，令，依題意，對任意正整數(shù)p，q都有，令，則，，而，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，即，，所以.故選：B【變式6-2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，則第30層小球的個(gè)數(shù)為（

）A．464 B．465 C．466 D．467【答案】B【解析】設(shè)三角垛第層小球的個(gè)數(shù)為.由題意可知，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，有.所以，，，，，，兩邊同時(shí)相加可得，，所以，.當(dāng)時(shí)，，滿足題意.所以，.所以，.故選：B.【變式6-3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)與面積的和分別為（

）

A．；n B．；C．；n D．；【答案】D【解析】第一代“勾股數(shù)”中正方形的個(gè)數(shù)為，面積和為2，第二代“勾股數(shù)”中正方形的個(gè)數(shù)為，面積和為3，第三代“勾股數(shù)”中正方形的個(gè)數(shù)為，面積和為4，…第n代“勾股數(shù)”中正方形的個(gè)數(shù)為，面積和為，故選：D【變式6-4】某劇場有30排座位，第一排有20個(gè)座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位．(1)寫出前五排座位數(shù)．(2)第排與第排座位數(shù)有何關(guān)系？(3)第排座位數(shù)與第排座位數(shù)能用等式表示嗎？【解析】（1）由題意可知，后一排都比前一排多2個(gè)座位，所以前五排座位分別為：20，22，24，26，28；（2）由題意可知，后一排都比前一排多2個(gè)座位，故第排與第排座位數(shù)的關(guān)系為：第排比第排多兩個(gè)座位；（3）由（2）可知，能用等式表示第排座位數(shù)與第排座位數(shù)的關(guān)系，即.【變式6-5】觀察下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，回答(1)寫出圖中點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)遞推公式；并根據(jù)這個(gè)遞推公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.【解析】（1）由題可得，，，，可得，，，…，所以數(shù)列的遞推公式為，，；，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.（2）由（1）知，，，，，所以.1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【解析】法1：因?yàn)?，故，對于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.對于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏希?，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；對于C，因?yàn)?，則，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏希?，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)椋?，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．3．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，