2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章重難點(diǎn)突破06證明不等式問題(十三大題型)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)突破06證明不等式問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 2題型一：直接法 2題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造） 3題型三：分析法 5題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù) 5題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友 7題型六：放縮法 8題型七：虛設(shè)零點(diǎn) 10題型八：同構(gòu)法 11題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 13題型十：分段分析法、主元法、估算法 15題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值 16題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題 17題型十三：三角函數(shù) 1803過關(guān)測(cè)試 19

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形題型一：直接法【典例1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．（參考數(shù)據(jù)：）【典例1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【變式1-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若，，證明：．【變式1-2】已知函數(shù)，．(1)求的最小值；(2)證明：．【變式1-3】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）【典例2-1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，若存在使得，則稱和互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.設(shè)，，且和互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.(1)求的取值范圍；(2)令（為的導(dǎo)函數(shù)），分析與是否互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”；(3)若，證明：.【典例2-2】（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：函數(shù)的圖象位于直線的下方；【變式2-1】已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，其中．(1)求的值；(2)若對(duì)任意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)設(shè)，對(duì)任意，證明：不等式恒成立．【變式2-2】設(shè)，當(dāng)時(shí)，求證：．【變式2-3】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若，證明:．題型三：分析法【典例3-1】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：.【典例3-2】已知函數(shù)，．(1)若直線是函數(shù)的圖象的切線，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意的，不等式恒成立．【變式3-1】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)求曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角；(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：.題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)【典例4-1】已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.【典例4-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【變式4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值與的最小值之和為，求的值．(2)若，，證明：．【變式4-2】已知，，，求證：．【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．(2)若的極大值為，求的取值范圍．(3)當(dāng)時(shí)，求證：．【變式4-4】已知函數(shù)，求證：.【變式4-5】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：.題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典例5-1】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【典例5-2】（2024·青海·模擬預(yù)測(cè)）已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求m的值；(2)證明：對(duì)一切，都有．【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)，都有．【變式5-2】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)證明：．【變式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點(diǎn).(1)求a；(2)證明：.題型六：放縮法【典例6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最值．(2)證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【典例6-2】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)證明：．【變式6-1】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【變式6-2】（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若，證明：．【變式6-3】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）定義：若曲線或函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為曲線或函數(shù)的圖象的“自公切線”.(1)設(shè)曲線C：，在直角坐標(biāo)系中作出曲線C的圖象，并判斷C是否存在“自公切線”？（給出結(jié)論即可，不必說明理由）(2)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在“自公切線”；(3)證明：當(dāng)，時(shí)，.【變式6-4】已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.題型七：虛設(shè)零點(diǎn)【典例7-1】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.【典例7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)若，，求證：．【變式7-1】已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)證明：若，且，則.【變式7-2】（2024·高三·遼寧丹東·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)求證：.【變式7-3】（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．【變式7-4】（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮?shù)．(1)求的極值；(2)證明：．題型八：同構(gòu)法【典例8-1】已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．【典例8-2】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【變式8-1】（2024·甘肅定西·一模）設(shè)函數(shù)，(1)證明：.(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【變式8-2】（2024·甘肅白銀·三模）設(shè)函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性．(2)證明：．(3)當(dāng)時(shí)，證明：．【變式8-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.【變式8-4】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；(2)若，求證：當(dāng)時(shí)，．題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理【典例9-1】證明不等式：．【典例9-2】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．【變式9-1】（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)“”是一個(gè)求和符號(hào)，例如，，等等．英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用．證明：（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有；（ii）．【變式9-2】英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；(2)由該公式可得：．當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；(3)設(shè)，證明：.【變式9-3】閱讀材料一：“裝錯(cuò)信封問題”是由數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個(gè)人寫了封不同的信及相應(yīng)的個(gè)不同的信封，他把這封信都裝錯(cuò)了信封，問都裝錯(cuò)信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯(cuò)封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中．閱讀材料二：英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處階可導(dǎo)，則有：，注表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請(qǐng)完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大?。ūＡ粜?shù)點(diǎn)后2位），并給出用和表示的估計(jì)公式；(3)求證：，其中．題型十：分段分析法、主元法、估算法【典例10-1】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)，恒成立．【典例10-2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，．【變式10-1】若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說明理由．【變式10-2】已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值【典例11-1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求a，b的值;(2)若方程（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：【典例11-2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，且.①證明：隨的增大而增大；②證明：.【變式11-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若是的兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：．題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題【典例12-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：時(shí)，；(2)證明：．【典例12-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)處的切線斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)①當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；②證明：．【變式12-1】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且在上的最小值為0.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；（ii）記，其中，求證：.【變式12-2】（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：．【變式12-3】（2024·湖南衡陽·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng).(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若函數(shù)，正項(xiàng)數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.題型十三：三角函數(shù)【典例13-1】（2024·全國·三模）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求a的值；(2)證明：.【典例13-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.【變式13-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，，證明：.【變式13-2】已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求曲線在處的切線方程(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)證明：．【變式13-3】（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，且，證明：.1．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)若，證明：時(shí)，；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證：．2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)記在上的零點(diǎn)為，求證;（i）是一個(gè)遞減數(shù)列（ii）．3．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)．（?。┳C明：；（ⅱ）證明：時(shí)，．4．已知，.(1)若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；(2)設(shè)，對(duì)，，有恒成立，求k的最小值；(3)證明：..5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；(2)求證：．6．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．7．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的值域；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．8．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.9．已知，函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值是0，求實(shí)數(shù)m的值；(2)已知曲線在點(diǎn)處切線的縱截距為正數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）證明：．10．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：.15．（2024·福建莆田·三模）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.(2)若，證明：有三個(gè)零點(diǎn)，，（），且，，成等比數(shù)列.(3)證明：（）.16．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：是增函數(shù).(2)若恒成立，求的取值范圍.(3)證明：（，）.17．已知函數(shù).(1)證明：，總有成立；(2)設(shè)，證明：．18．求證：．19．（2024·河南·二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.20．已知函數(shù)（），.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：時(shí)，.21．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求證：．重難點(diǎn)突破06證明不等式問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 2題型一：直接法 2題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造） 6題型三：分析法 11題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù) 14題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友 20題型六：放縮法 24題型七：虛設(shè)零點(diǎn) 31題型八：同構(gòu)法 37題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 43題型十：分段分析法、主元法、估算法 50題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值 55題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題 60題型十三：三角函數(shù) 6703過關(guān)測(cè)試 72

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形題型一：直接法【典例1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜合得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為．要證成立，需成立，即證．令，則．令，得（負(fù)值舍去）．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，故當(dāng)時(shí)，．【典例1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）的定義域?yàn)?，．若，則，在上單調(diào)遞減：若，則由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）方法1，當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值．所以，從而．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，即；方法2：當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，從而，令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)?shù)忍?hào)成立；所以，當(dāng)時(shí)，，即.【變式1-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若，，證明：．【解析】（1）由有3個(gè)極值點(diǎn)，可得到具有3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)不是的零點(diǎn)，則可得在有3個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，，則，令，解得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以,則的取值范圍為.（2）構(gòu)造函數(shù)則，且，構(gòu)造函數(shù)，則，再令，則，因?yàn)闀r(shí)，則，在單調(diào)遞增，而，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，故，即.【變式1-2】已知函數(shù)，．(1)求的最小值；(2)證明：．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，令解得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；故，故．（2），，則，故當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；故．又因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”），所以．【變式1-3】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）得，

要證，即證，即證，令，則，

令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，.題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）【典例2-1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，若存在使得，則稱和互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.設(shè)，，且和互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.(1)求的取值范圍；(2)令（為的導(dǎo)函數(shù)），分析與是否互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”；(3)若，證明：.【解析】（1）令，得，令，得，①，解得，②，解得，所以的取值范圍為.（2），則，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，所以與不互.為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的零點(diǎn)為，所以與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以此時(shí)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.綜上，當(dāng)時(shí)，與不互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.（3）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，則，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，得證.【典例2-2】（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：函數(shù)的圖象位于直線的下方；【解析】（1），則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）因?yàn)?，所以，要證明，只需要證明，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，故在取極大值也是最大值，故，所以恒成立，即原不等式成立，所以函數(shù)的圖象位于直線的下方.【變式2-1】已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，其中．(1)求的值；(2)若對(duì)任意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)設(shè)，對(duì)任意，證明：不等式恒成立．【解析】（1）的定義域?yàn)?，．由，得．∵?dāng)時(shí)，則在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是減函數(shù)，∴在處取得極大值也為最大值．由題意知，解得．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得，，知不合題意．當(dāng)時(shí)，設(shè)．則．令，得，．①若≤0，即≤時(shí)，在上恒成立，∴在上是增函數(shù)，從而總有，即在上恒成立．②若，即時(shí)，對(duì)于，，∴在上單調(diào)遞減．于是，當(dāng)取時(shí)，，即不成立．故不合題意．綜上，的最大值為．（3）由．不妨設(shè)，則要證明，只需證明，即，即證．設(shè)，則只需證明，化簡(jiǎn)得．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，得證．故原不等式恒成立．【變式2-2】設(shè)，當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】要證時(shí)，，只需證，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，要證時(shí)，，只需證，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，綜上，，【變式2-3】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若，證明:．【解析】（1），令，所以，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.又因?yàn)?，所以，即，且至多在一個(gè)點(diǎn)處取到.所以在上單調(diào)遞減，沒有單調(diào)遞增區(qū)間.（2）證明，只需證：，即證：，令，所以，只需證：，即證：，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.題型三：分析法【典例3-1】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】當(dāng)時(shí)，有，所以，要證，只需證，即證，,設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，得證.【典例3-2】已知函數(shù)，．(1)若直線是函數(shù)的圖象的切線，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意的，不等式恒成立．【解析】（1）直線是函數(shù)的圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，，，得．切點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，代入得，解得或．再代入解得或，∴實(shí)數(shù)的值為1或．（2）證明：要證，即，，，又由知即證，設(shè)，則．令，則，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上，，即，令，則，設(shè)，則．令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上有最小值，為．的最小值為，原不等式得證．【變式3-1】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)求曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角；(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：.【解析】（1）由，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為0.（2）由（1）知，且，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即此時(shí)極小值不可能小于0，所以當(dāng)時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即函數(shù)無極值，不滿足題意，所以當(dāng)時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以；綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為或.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，即，兩邊取自然對(duì)數(shù)得：，則.要證成立，只需證，.兩邊同除得：，即.只需證：，即證，令，，，解得：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立.綜上可知不等式得證.題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)【典例4-1】已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.【解析】由題意等價(jià)于，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．【典例4-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.（2）令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，由（1）知，恒成立，所以，即當(dāng)時(shí)，.【變式4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值與的最小值之和為，求的值．(2)若，，證明：．【解析】（1）因?yàn)?，所以．令，解得．所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以．

因?yàn)?，，所以．令，解得．所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．

由題意可得，解得．（2）證明：方法一

當(dāng)時(shí)，，，則．要證，即證，．令，，則．令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．

因?yàn)椋?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以．

由，得，所以．兩邊取對(duì)數(shù)，得，所以，所以，即．因?yàn)椋?，即?/p>

方法二要證，即證，即證．

令，，，．易得，則令，得；令，得．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．

易得．令，得；令，得．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，

所以，故．【變式4-2】已知，，，求證：．【解析】令，，則，則，只需證明，即證；，，故只需證明，即證，記，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即在上遞減，在上遞增，①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，再記，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上遞增，在上遞減．②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．由①②等號(hào)不同時(shí)取到，得，于是．【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．(2)若的極大值為，求的取值范圍．(3)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1）由題意，得，所以．因?yàn)榍€在處的切線方程為，又，所以，所以．所以．令，得；令，得．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）由題意得．當(dāng)時(shí)，令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)只有極小值，不符合題意．當(dāng)時(shí)，令，得，．因?yàn)榈臉O大值為，所以，解得．綜上，的取值范圍為．（3）當(dāng)時(shí)，．要證，即證，只需證．先證：，．設(shè)，，則．設(shè)，，則．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以．再證：，，即證．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以．設(shè)，，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以．所以，即．綜上，得證．故．【變式4-4】已知函數(shù)，求證：.【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，由，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以，即，，所以，而，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，．【變式4-5】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：.【解析】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，解得或（舍去），令，解得；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）即，也即，也即.設(shè)，則，令，解得，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以，由題意，所以，所以，得證.題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典例5-1】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】（1），當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，，故在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，令，則.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，證原不等式等價(jià)于證，令，則，且，故只需證，即證令，則，令，則，由于，令則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng),時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，當(dāng)時(shí)，1.【典例5-2】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求m的值；(2)證明：對(duì)一切，都有．【解析】（1），，，則有，，解得；（2）由，故，要證對(duì)一切，都有，即證對(duì)一切恒成立，即證對(duì)一切恒成立，令，，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，即在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故對(duì)一切恒成立，即得證.【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)，都有．【解析】（1）由，得．所以．又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．由切線方程為，得．（2）方法一

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則．設(shè)，則．設(shè)，則．令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以存在唯一的，使，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以，所以存在唯一的，使，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以在上恒成立，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，即對(duì)，都有．方法二

當(dāng)時(shí)，記，則要證，即證．記，則．令，得．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上分別單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，即對(duì)，都有．【變式5-2】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)證明：．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，將代入，解得，即，由切線方程，可知切線斜率，故，解得；（2）由（1）知，要證，即證．設(shè)，則，令，解得，或（舍去），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以，所以，即．【變式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點(diǎn).(1)求a；(2)證明：.【解析】（1），依題意，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以；（2）由（1）可知，，要證，即證，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，因?yàn)?，，所?題型六：放縮法【典例6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最值．(2)證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【解析】（1）由題意知，定義域?yàn)?，從而．所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的最大值為，無最小值．（2）欲證，只需證．由（1）知，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．下面證明：．設(shè)，則．設(shè)，則．設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由于，故設(shè)存在唯一的，使，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以存在唯一的，使，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．從而函數(shù)在上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以在上恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．因?yàn)槿〉葪l件不相同，所以恒成立，即成立．【典例6-2】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)證明：．【解析】（1）由題知，，令，而恒成立，故在單調(diào)遞增．又，，故，由零點(diǎn)存在性定理可知一定存在，使得，綜合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，，令，而，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，且，故，成立令，而，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故最大值為，且，故，即，故得證，∴，不等式得證；當(dāng)時(shí)，即證．令，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．則①，令，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增．則②．由①②可知，，故不等式得證．【變式6-1】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，有，所以，因?yàn)椋?令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以.故.【變式6-2】（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若，證明：．【解析】（1）由題知，令，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，且，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以無極值點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述，的取值范圍是.（3）要證，只要證，只要證，，因?yàn)椋瑒t，所以只要證對(duì)任意，有，只要證對(duì)任意，有（※），因?yàn)橛桑?）知：當(dāng)時(shí)，若，則，所以，即①，令函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增；則，即，由①②得，所以（※）成立，所以成立.【變式6-3】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）定義：若曲線或函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為曲線或函數(shù)的圖象的“自公切線”.(1)設(shè)曲線C：，在直角坐標(biāo)系中作出曲線C的圖象，并判斷C是否存在“自公切線”？（給出結(jié)論即可，不必說明理由）(2)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在“自公切線”；(3)證明：當(dāng)，時(shí)，.【解析】（1）曲線C：，當(dāng)時(shí)，，表示以點(diǎn)為圓心，半徑為的部分圓弧，當(dāng)時(shí)，，表示以點(diǎn)為圓心，半徑為的半圓圓，從而圖象如下：由圖象可知，存在“自公切線”；（2）由題意，，下面只需證明在上單調(diào)即可，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，所以圖象不存在“自公切線”，得證.（3），，故只需證明，即只需證明，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，所以，即，故只需證，設(shè)，注意到，，注意到，令，則由（2）知，，且由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以，從而在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，從而，當(dāng)，時(shí)，.【變式6-4】已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.【解析】因?yàn)?，所以，解得，即函?shù)的定義域?yàn)?，令，可得，所以在單調(diào)遞增，所以，即，要證不等式，只需證明，又由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，，只需證明：，即，即，即，令，可得，設(shè)，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，易知在單調(diào)遞增，故方程有唯一解.又由以上不等式的等號(hào)不能同時(shí)成立，所以.題型七：虛設(shè)零點(diǎn)【典例7-1】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.【解析】（1）由題意可得：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)建，則，由可知，構(gòu)建，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，可知在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)，則，即；當(dāng)，則，即；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又因?yàn)?，則，，可得，即，所以.【典例7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)若，，求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且．①若，則，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增．又，所以；②若，則，，所以存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以．綜上所述，當(dāng)，時(shí)，．【變式7-1】已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)證明：若，且，則.【解析】（1）的定義域?yàn)椋?若，則，所以在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí)，a的取值范圍為.（2）記，則，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，且，，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以是的極大值點(diǎn).令，則，所以是上的增函數(shù)，故，所以當(dāng)時(shí)，，令，則，由，得，時(shí)，是減函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，所以，即，所以，下面證明，令，即證，即，設(shè)，則，所以是上的增函數(shù)，所以時(shí)，，成立，命題得證.【變式7-2】（2024·高三·遼寧丹東·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)求證：.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，記，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞增，且，所以.（2）要證，只需證明：對(duì)于恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞增，即在上為增函數(shù)，又因?yàn)?，，所以存在使得，由，得即即即，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即.【變式7-3】（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．【解析】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以切線方程為，即.（2），令，則，因?yàn)椋源嬖?，使得，即，易知在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.【變式7-4】（2024·山東威海·二模）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)證明：．【解析】（1）由題意得的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)極大值為，無極小值；（2）證明：設(shè)，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，故，使得，即，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故即，即，則.題型八：同構(gòu)法【典例8-1】已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，證明（2）設(shè)，則，由（1）可得在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，．【典例8-2】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，即，△，解得或，若，此時(shí)△，在恒成立，所以在單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增．綜上所述：若，在單調(diào)遞增；若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（1），所以在上恒成立．（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面證，即證2，設(shè)，，設(shè)，，易知在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，．法二：，即，令，則原不等式等價(jià)于，，令，則，遞減，故，，遞減，又，故，原結(jié)論成立．【變式8-1】（2024·甘肅定西·一模）設(shè)函數(shù)，(1)證明：.(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】（1）因?yàn)椋涠x域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，證畢.（2）當(dāng)時(shí)，，而，要證，即證，即證，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，故只需證明，由（1）知，在上成立，故，即成立.【變式8-2】（2024·甘肅白銀·三模）設(shè)函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性．(2)證明：．(3)當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1）因?yàn)?，易知定義域?yàn)椋?，由，得到，由，得到或，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，易知定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.（3）由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要證明，即證明，令，則在區(qū)間上恒成立，又，所以，所以，命題得證.【變式8-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.【解析】（1）（）（），令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，而，.所以綜上所述，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，所以，.（2）方法一：隱零點(diǎn)法因?yàn)椋?，所以，欲證，只需證明，設(shè)，（），，令，易知在上單調(diào)遞增，而，，所以由零點(diǎn)的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，因此，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；所以所以，因此.方法二：（同構(gòu)）因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，只需證明，因此構(gòu)造函數(shù)（），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增：所以，所以，所以，因此.【變式8-4】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；(2)若，求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）由題意知，，則，即．因?yàn)榍芯€與直線垂直，所以直線的斜率為1，得，則，故的方程為，即．（2）解法一

由題知，當(dāng)時(shí)，，故只需證．令，則，，在上單調(diào)遞增，且，，所以在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，且，所以．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增．所以，所以，故當(dāng)時(shí)，．解法二

由題知，當(dāng)時(shí)，，故只需證，即證．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．易知函數(shù)的值域?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，．題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理【典例9-1】證明不等式：．【解析】設(shè)，則，，代入的二階泰勒公式，有，．所以原題得證．【典例9-2】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．【解析】解：（1），，△，①時(shí)，恒成立，故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，②時(shí)，或，故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，綜上，時(shí)，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，時(shí)，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，（2），對(duì)，恒成立，即，時(shí)，恒成立，令，，則，令，則，在遞減且（1），時(shí)，，，遞增，當(dāng)，，，遞減，（1），綜上，的范圍是，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，，不妨設(shè)，下先證：存在，，使得，構(gòu)造函數(shù)，顯然，且，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，即存在，，使得，又為增函數(shù)，，即，設(shè)，則，，①，②，由①②得，，即．【變式9-1】（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)“”是一個(gè)求和符號(hào)，例如，，等等．英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用．證明：（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有；（ii）．【解析】（1），令，則，當(dāng)時(shí)，，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，即有在上單調(diào)遞減，則，故函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點(diǎn)；（2）（i）令，其中，，則，又當(dāng)時(shí)，，則，即，令，則，令，則，由，故，又，故恒成立，即在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即；（ii）由，，故要證，即證，即證，只需證，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，則可令，此時(shí)，則，即，即，即，故只需證，令，，則，由（i）知，當(dāng)時(shí)，，即，即，故在上單調(diào)遞增，故，即，即得證.【變式9-2】英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；(2)由該公式可得：．當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；(3)設(shè)，證明：.【解析】（1）令，則，，，，故，，，，，由麥克勞林公式可得，故．（2）結(jié)論：，證明如下：令，，則令，則，故在上單調(diào)遞增，，則故在上單調(diào)遞增，，即證得，故．（3）由（2）可得當(dāng)時(shí)，，且由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，，，，而，即有故而，即證得．【變式9-3】閱讀材料一：“裝錯(cuò)信封問題”是由數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個(gè)人寫了封不同的信及相應(yīng)的個(gè)不同的信封，他把這封信都裝錯(cuò)了信封，問都裝錯(cuò)信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯(cuò)封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中．閱讀材料二：英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處階可導(dǎo)，則有：，注表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請(qǐng)完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大?。ūＡ粜?shù)點(diǎn)后2位），并給出用和表示的估計(jì)公式；(3)求證：，其中．【解析】（1）因?yàn)椋?，，，所以．?）由麥克勞林公式，令，有再取，可得，所以估算值為．在中，取，可得.（3）證明：由麥克勞林公式，當(dāng)時(shí)，令，有，猜想：令，有，猜想：令，由，所以，即．令，由，再令，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，且，所以在上為增函數(shù)，所以，即．又時(shí)，，，所以.令，當(dāng)，有，則，命題得證．題型十：分段分析法、主元法、估算法【典例10-1】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)，恒成立．【解析】（1）由已知可得，，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得，．由可得，，所以，即在上單調(diào)遞減；由可得，，所以，即在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)椋詫?duì)，有．設(shè)，則．解可得，或或．由可得，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；由可得，或，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．所以，在處取得極大值，在處取得極小值．又，所以，即．所以，有，整理可得，，所以，有，恒成立．【典例10-2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，．【解析】（1），，①當(dāng)，即時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增．②當(dāng)，即時(shí)，令，得，令，得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．③當(dāng)，即時(shí)，若，則，在區(qū)間單調(diào)遞增．若，令，得，令，得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增．綜上，時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減、在區(qū)間單調(diào)遞增．（2）證明：要證，即證，即證．令，，則，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即時(shí)，．令，，則在時(shí)恒成立，所以，且時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)闀r(shí)，，，且，所以，且時(shí)，，即．所以，且時(shí)，．【變式10-1】若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（Ⅱ），，①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）解：設(shè)，，，在，上為減函數(shù)，又（e），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．，，在，上為增函數(shù)，又（1），，時(shí)，，在，上為增函數(shù)，（1）．①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，在，上為減函數(shù)，（1），當(dāng)，，，比更接近．②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，在時(shí)為減函數(shù)，（e），在時(shí)為減函數(shù)，（e），，比更接近．綜上：在且時(shí)時(shí)，比更接近．【變式10-2】已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，故則在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，要證明對(duì)任意的，，．則只需要證明對(duì)任意的，，．設(shè)（a），看作以為變量的一次函數(shù)，要使，則，即，恒成立，①恒成立，對(duì)于②，令，則，設(shè)時(shí)，，即．，，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故④式成立，綜上對(duì)任意的，，．題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值【典例11-1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求a，b的值;(2)若方程（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：【解析】（1）因?yàn)?，所以，由題意知，所以，聯(lián)立方程組，解得.（2）由（1）可知，，，設(shè)，，所以即在上單調(diào)遞增.又，所以存在，使得，且時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，且，也就是，且注意到在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.設(shè)的根為：，則，又在上單調(diào)遞增，所以，故①.易知的圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程為，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，?設(shè)的根為，則，又在上單調(diào)遞減，所以，所以，從而②.由①②可知：.【典例11-2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，且.①證明：隨的增大而增大；②證明：.【解析】（1）由可得，令，故在單調(diào)遞增，令，故在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）①由于有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，且.所以是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，對(duì)任意的，設(shè)，則其中其中由于在單調(diào)遞減，，故，所以，在單調(diào)遞增，，故，所以，又，所以，所以，故隨的增大而增大；②設(shè)，令，則；令在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，故在恒成立，此時(shí)恒成立，由①知所以，即，令，記，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，時(shí)，，在單調(diào)遞增，故，進(jìn)而，因此，所以，故，即，進(jìn)而，又因?yàn)?，所以，得證【變式11-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若是的兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：．【解析】（1）令，則．令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，所以．（2）易知函數(shù)的定義域是．由，可得．令得；令得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．①當(dāng)，即時(shí)，至多有1個(gè)零點(diǎn)，故不滿足題意．②當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且．所以，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，不妨記為，且．由（1）知，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，記為，且．所以，所以．同理，若記則有，綜上所述，．題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題【典例12-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：時(shí)，；(2)證明：．【解析】（1）證明：要證，只要證，即證時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，，所以時(shí)，．（2）證明：由（1）知，令得，即，所以，，，……，，所以，即．【典例12-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)處的切線斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)①當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；②證明：．【解析】（1）設(shè)點(diǎn).由于，則，得，則，且，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）①，則，記，則易知在上單調(diào)遞減，且,，即，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.②由①可知，時(shí)恒成立，即恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，取，則，，得證.【變式12-1】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且在上的最小值為0.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；（ii）記，其中，求證：.【解析】（1），，，，，令，等號(hào)不同時(shí)取，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，①若，即，，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，符合題意.②若，即，此時(shí)，，又函數(shù)在的圖象不間斷，據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，與題意矛盾，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）（i）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，.要證函數(shù)在上具有性質(zhì).即證：當(dāng)時(shí)，.即證：當(dāng)時(shí)，.令，，則，即，，，所以在上單調(diào)遞增，.即當(dāng)時(shí)，，得證.（ii）法一：由（i）得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.下面先證明兩個(gè)不等式：①，其中；②，其中.①令，，則，在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，.②令，，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即當(dāng)時(shí)，，故，得.據(jù)不等式②可知，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.結(jié)合不等式①可得，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，有.所以.又，所以法二：要證：.顯然，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立.只要證：當(dāng)，時(shí)，.即證：當(dāng)，時(shí)，.令，.所以，，所以，在上單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，時(shí)，，有，所以當(dāng)，時(shí)，.所以【變式12-2】（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：．【解析】（1），有，因?yàn)?，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）因?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以是的極大值點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，需?yàn)證，當(dāng)時(shí)，恒成立即可，因?yàn)?，令，則，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，，②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，綜上，符合題意．所以恒成立時(shí)，.（3）由（2）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，所以，，因?yàn)?，所以即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以即證：，令，則，所以時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，綜上，.【變式12-3】（2024·湖南衡陽·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng).(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若函數(shù)，正項(xiàng)數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.【解析】（1）正項(xiàng)數(shù)列中，，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，而，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）（i）令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，于是，即，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因此，所以（ii）由已知，所以，得，當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)時(shí)，，又，所以，恒有，當(dāng)時(shí)，，由，得當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，從而，于是，所以.題型十三：三角函數(shù)【典例13-1】（2024·全國·三模）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求a的值；(2)證明：.【解析】（1）由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，又，函?shù)在處的切線方程為，其斜率為，得：，解得.（2）注意到，且，則，，令，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.【典例13-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.【解析】（1）令，由可知，構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以的最小值為1.（2）由（1）可知：，即，又因?yàn)?，則，可得，則，構(gòu)建，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可得，注意到，則，所以.【變式13-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，，證明：.【解析】（1）由，，得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞增.所以是的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，存在極值，綜上所述，存在極值時(shí)，的取值范圍是.（2）欲證不等式在時(shí)恒成立，只需證明在時(shí)恒成立.設(shè)，，則，令，，則.當(dāng)時(shí)，，所以，所以即在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立.【變式13-2】已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求曲線在處的切線方程(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)證明：．【解析】（1）函數(shù)，，，，，所以曲線在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為0，切線方程為.（2），因?yàn)?，所以，則，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.，，所以函數(shù)的值域?yàn)?若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為，所以實(shí)數(shù)的最大值為.（3），設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，，則有，，故存在，使得，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且是唯一的極小值，故函數(shù)，，，故，所以即.【變式13-3】（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，且，證明：.【解析】（1）由，得，則，，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：由，，且，不妨設(shè)，，，則證明等價(jià)于證明，，即證，從而構(gòu)造函數(shù)，利用其調(diào)性證明結(jié)論.令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，故，，即，，則，要證，只需證.令，則，令，得.令，，則，令，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，則，則，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，則，在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即在上恒成立，從?1．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)若，證明：時(shí)，；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證：．【解析】（1）由題意可知：等價(jià)于，其中．構(gòu)建，則，可知在上單調(diào)遞減，則時(shí)，，所以時(shí)，．（2）由題意可知：，則①若，則，由可得，可知在上單調(diào)遞減，不合題意；②若，則，可知上為增函數(shù)，符合題意；③若，則，由可得，可知在上單調(diào)遞減，不合題意；綜上所述：．（3）由（2）知：在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即，由（1）知：時(shí)，，則，所以時(shí)，，令得：，即，因?yàn)?，所以，由知：，又因?yàn)?，所以，所以?．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)記在上的零點(diǎn)為，求證;（i）是一個(gè)遞減數(shù)列（ii）．【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).證明如下：當(dāng)時(shí)，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，若為奇數(shù)，，則，此時(shí)在內(nèi)無零點(diǎn)；若為偶數(shù)，設(shè)，則，方程有一個(gè)解，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，此時(shí)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).（2）（i）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在在內(nèi)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，則，故，所以數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列；（ii）由（i）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有，所以，求和可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，故，則，得，即，即，即，即，即，即，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，均有成立，求和可得.綜上，.3．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)．（ⅰ）證明：；（ⅱ）證明：時(shí)，．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；（2）（?。┯桑?）可知在上的最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得，又，所以，且當(dāng)時(shí)，即，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，則單調(diào)遞增，所以為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，因?yàn)?，所以，要證，即證，又，只需證，即證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即成立，所以；（ⅱ）由（?。┲?，，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以.4．已知，.(1)若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；(2)設(shè)，對(duì)，，有恒成立，求k的最小值；(3)證明：..【解析】（1）由題意，函數(shù)，.則，又，故，而，所以，故在上單調(diào)遞增.（2）由題意知，，對(duì)，，有恒成立.，設(shè)，則，由于，故，時(shí)，單調(diào)遞增，又，，因此在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，使，即，且當(dāng)，，，單調(diào)遞減；，，，單調(diào)遞增.故，故，由于，則，故，即，設(shè)，，，又設(shè)，故在上單調(diào)遞增，因此，即，在上單調(diào)遞增，，又，所以，故所求k的最小值為2.（3）由（1）可知時(shí)，，即，設(shè)，則，因此，即，得證.5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；(2)求證：．【解析】（1）由題意，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋院愠闪?，則在上單調(diào)遞增，又，所以恒大于等于0不成立.當(dāng)時(shí)，由得，所以當(dāng)，當(dāng)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，若恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則，所以令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，故得證.6．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【解析】（1）在恒成立．構(gòu)造函數(shù)，則在恒成立．當(dāng)時(shí)，，所以在遞增，所以，矛盾，故舍去當(dāng)時(shí)，由得，所以在遞增，故，均有，矛盾，故舍去當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，所以，滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，恒成立，即在恒成立且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)時(shí)，可得同理，，，兩邊分別累加得：即即7．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的值域；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1），，令，則，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故的值域?yàn)椋?）令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以．由（1）知，當(dāng)1時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，令，其中，，2，3，，n，則，所以，，，，，以上n個(gè)式子相加得，即當(dāng)時(shí)，．8．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以在處取到極大值，無極小值.（2）因?yàn)?，恒成立，所以恒成立，令，則，令，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由（2）可知，取，當(dāng)時(shí)，，所以，取，則有，即，所以將上述式子相加得即9．已知，函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值是0，求實(shí)數(shù)m的值；(2)已知曲線在點(diǎn)處切線的縱截距為正數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）證明：．【解析】（1）因?yàn)?，則，且，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為，解得.（2）由（1）可知：，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，則切線方程為，令，可得，由題意可得：，且，解得；（i）因?yàn)?，可知的定義域?yàn)?，，設(shè)，則在內(nèi)恒成立，可知函數(shù)在上遞增，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，可得，又因，由零點(diǎn)的存在性定理可得，存在，使得，即，（*）當(dāng)