等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)

差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)等差數(shù)列一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)?數(shù)學(xué)5》（人教版）第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類(lèi)比”的思想方法。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析教學(xué)內(nèi)容針對(duì)的是高二的學(xué)生，經(jīng)過(guò)高中一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，所以在授課時(shí)要從具體的生活實(shí)例出發(fā)，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，注重引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生的積極主動(dòng)的去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步提高。三、設(shè)計(jì)思想1．教法⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。⑵分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。⑶講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。2．學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題（數(shù)數(shù)問(wèn)題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問(wèn)題、水庫(kù)水位問(wèn)題、儲(chǔ)蓄問(wèn)題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以對(duì)各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識(shí)多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見(jiàn)，把思路方法和需要解決的問(wèn)題弄清。四、教學(xué)目標(biāo)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及思想，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；并在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會(huì)函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來(lái)研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)、方法遷移能力。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：①等差數(shù)列的概念。②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用。難點(diǎn)：①理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義。②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學(xué)過(guò)程教學(xué)情境設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)任務(wù) 學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)在南北朝時(shí)期《張邱建算經(jīng)》傾聽(tīng)中，有一道題"今有十等人，每創(chuàng)等一人，宮賜金以等次差降之，設(shè)上三人先入，得金四斤，持出，情下四人后入得金三斤，持出，中景間三人未到者，亦依等次更給，問(wèn)各得金幾何，及未到三人復(fù)應(yīng)得金幾何"。這個(gè)問(wèn)題該怎樣解決呢？由學(xué)生觀(guān)察分析并得出答案：觀(guān)察分析，發(fā)表各自的意見(jiàn)在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開(kāi)始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，水庫(kù)的管理人員為了保證優(yōu)探質(zhì)魚(yú)類(lèi)有良好的生活環(huán)境，用定索期放水清理水庫(kù)的雜魚(yú)。如果一研個(gè)水庫(kù)的水位為18cm,自然放究水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么從開(kāi)始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天,水庫(kù)每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18,15.5,13,10.5,8,5.5思考：同學(xué)們觀(guān)察一下上面的這觀(guān)察分析并得出答案:兩個(gè)數(shù)列： 引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系,得到：0，5,10，15,20，…… ① 對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于518，15.5，13，10.5，8， 對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于二發(fā)5.5 ② 由學(xué)生歸納和概括出,以上兩個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與現(xiàn)看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。規(guī)［等差數(shù)列的概念］ 學(xué)生認(rèn)真閱讀課本相關(guān)概念，找出關(guān)鍵字。對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱(chēng)它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列?？傔@個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，結(jié)公差通常用字母d表示。那么對(duì)提于以上兩組等差數(shù)列，它們的公高差依次是5，5，-2.5。

提問(wèn)：如果在"與?.,中間插入一 由學(xué)生回答：因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義個(gè)數(shù)A,使白，A,6成等差數(shù)列數(shù)列，那么A數(shù)列，那么A應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?所以就有得到更一般化的結(jié)論由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)深入探究，列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。得到更一般化的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)。

看來(lái)從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則 +3［等差數(shù)列的通項(xiàng)公式］ 由學(xué)生經(jīng)過(guò)分析寫(xiě)出通項(xiàng)公式：內(nèi)容。對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們①這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是5,第2項(xiàng)是10(=5+5),第3項(xiàng)是能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出(=5+5+5+5)，……由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是來(lái)呢？這是我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)的②這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是18，第2項(xiàng)是15.5(=18-2.5)，第3項(xiàng)內(nèi)容。是10.5(=18-2.5X3),第5項(xiàng)是8(=18-2.5X4),第6項(xiàng)是⑴、我們是通過(guò)研究數(shù)列一的想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公式的定義,寫(xiě)出總這三組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。結(jié)短⑵、那么，如果任意給了一個(gè)等引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：提個(gè)等式J%高差數(shù)列的首項(xiàng)」和公差d,它的 個(gè)等式J%通項(xiàng)公式是什么呢?所以總思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表，一：結(jié)達(dá)呢？ %二句J=輔]+td=4+2￡ [1i=3,4-d=(^i]+2d)提高得出通項(xiàng)公式：由此我們可以猜思考，并發(fā)表各自的意見(jiàn)。想得出：以',為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列:‘：的通項(xiàng)公式為也就是說(shuō)，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng)；和公差d,那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)」就可以表示出來(lái)了。例1、⑴求等差數(shù)列8,5,讓兩個(gè)學(xué)生分別對(duì)這兩小題加以分析。2,…的第20項(xiàng).⑵-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13，…的項(xiàng)?如果是，是第幾項(xiàng)？應(yīng)分析： 解：⑴由；=8,d=5-8=-3,n=20,得「[1：■■內(nèi)⑴要求出第20項(xiàng)，可以利用通用 ⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為二項(xiàng)公式求出來(lái)。首項(xiàng)知道了，還鞏 知，本題是要回答是否存在正整數(shù)，使得-401=-4口-成立。需要知道的是該等差數(shù)列的公固 解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100即-401是這個(gè)數(shù)列的第10差,由公差的定義可以求出公差⑵這個(gè)問(wèn)題可以看成是上面那個(gè)問(wèn)題的一個(gè)逆問(wèn)題。要判斷這個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng),就是要看它是否滿(mǎn)足該數(shù)列的通項(xiàng)公式,并且需要注意的是,項(xiàng)數(shù)是否有

意義。例題評(píng)述：從該例題中可以看聆聽(tīng)教師點(diǎn)評(píng)出，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于.、；、d、n（獨(dú)立的量有3個(gè)）的方程；另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來(lái)判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)判斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)還應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。隨堂練習(xí)：課本45頁(yè)“練完成練習(xí)習(xí)”第1題；r例2．在南北朝時(shí)，在466例2．在南北朝時(shí)，在466解：按照題意，解法應(yīng)分三步?484年，張邱建寫(xiě)了一部算?484年，張邱建寫(xiě)了一部算第一步求公差d徑，即《張邱建算經(jīng)》，在這本算經(jīng)中，張邱建對(duì)等差數(shù)列的研徑，即《張邱建算經(jīng)》，在這本算經(jīng)中，張邱建對(duì)等差數(shù)列的研用現(xiàn)代符號(hào)，記后入人數(shù)為弓，后得金數(shù)為、先入人數(shù)為‘勺法為d=[(。/%)-3/%)]/[n-(/+%)/2]二(/$

究有一定的貢獻(xiàn)，例如算經(jīng)中有（巧+4）/2］叫巧｝，若記未列人數(shù)為人,則d二（q%—丁當(dāng)一道題"今有十等人，每等一題：解得d=7/78,現(xiàn)用現(xiàn)代計(jì)算公差d由：%+%+'口=4人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四即：3''+24d=4人后入得金三斤，持出，中間三 解得d=7/78人未到者，亦依等次更給，問(wèn)各 ■'+' ' =3得金幾何，及未到三人復(fù)應(yīng)得金 4;+6d=3幾何"。所以算經(jīng)中的解法是正確的。幾何"。所以算經(jīng)中的解法是正確的。算經(jīng)中的解法："以先入人數(shù)分所持金數(shù)為算經(jīng)中的解法："以先入人數(shù)分所持金數(shù)為第二步，把后入四人每人所得金數(shù)視為一等差數(shù)列，求每人上率，以后入人數(shù)分別持金數(shù)為必求’即,'=上率，以后入人數(shù)分別持金數(shù)為必求’即,'=｛、一[n(n—1)/2]d)/n。下率，二率相減，余為差實(shí)，并第三步，把十人各得金數(shù)視為一等差數(shù)列，求每人的金數(shù)，先后人數(shù)而半之，以減凡人數(shù)，即..=,，+（n—l）d,以上都是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張邱建提出的問(wèn)余為差法，實(shí)如法而一，得差數(shù)例題評(píng)述：這是等差數(shù)列用于解聆聽(tīng)教師點(diǎn)評(píng)決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，要學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖研究完成以下學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，并進(jìn)行學(xué)習(xí)小組討論，發(fā)表見(jiàn)解。探究：⑴在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出通項(xiàng)公式為"二2一：的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？⑵在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出探函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了索什么？據(jù)此說(shuō)一說(shuō)等差數(shù)列研. r .'' ;''''''與一次函數(shù)y=px+q究的圖象之間有什么關(guān)系。分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1,2,3，……時(shí)，對(duì)應(yīng)的「可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過(guò)描點(diǎn)知道該圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn)；本節(jié)主要內(nèi)容為： 以學(xué)習(xí)小組為單位，在學(xué)習(xí)小組中，各自歸納自己對(duì)這堂課的收①等差數(shù)列定義：即%一='(nN2)課②等差數(shù)列通項(xiàng)公式：堂"''I；j'(nN1)小推導(dǎo)出公式：:結(jié)1、已知:：是等差數(shù)列.⑴1'是否成立？■ ,.呢？為什么？⑵-■「'是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論