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南陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,集合,則A. B.或C. D.2.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最大值為()A.2 B.3 C.5 D.83.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中,點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),則()A. B. C. D.4.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-35.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或6.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為()A. B. C. D.7.已知若在定義域上恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知,,則()A. B. C.3 D.49.已知甲盒子中有個(gè)紅球,個(gè)藍(lán)球,乙盒子中有個(gè)紅球,個(gè)藍(lán)球,同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換,(a)交換后,從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.(b)交換后,乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則()A. B.C. D.10.在三角形中,,,求()A. B. C. D.11.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.12.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則________.14.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則________15.在編號(hào)為1,2,3,4,5且大小和形狀均相同的五張卡片中,一次隨機(jī)抽取其中的三張,則抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)的概率為_(kāi)_______.16.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、,其中為左焦點(diǎn).點(diǎn)為兩曲線在第一象限的交點(diǎn),、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開(kāi)始,不分文理科;2020年開(kāi)始,高考總成績(jī)由語(yǔ)數(shù)外3門(mén)統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門(mén)選考科目構(gòu)成.將每門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量,則,,)18.(12分)已知.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,,證明:.19.(12分)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,直線交曲線于兩點(diǎn),為中點(diǎn).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)若,求的值.21.(12分)已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn),點(diǎn)滿足.(1)求的方程;(2)若點(diǎn)在圓上,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍.22.(10分)已知拋物線,過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)為,.(1)求拋物線的方程;(2)當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí),求直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.2、D【解析】
畫(huà)出函數(shù)的圖象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解:函數(shù),如圖所示當(dāng)時(shí),,由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3,又∴,,則當(dāng)時(shí),,則不滿足題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,沒(méi)有整數(shù)解當(dāng)時(shí),,至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上,實(shí)數(shù)的最大值為故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,屬于較難題.3、C【解析】
根據(jù)平面向量基本定理,用來(lái)表示,然后利用數(shù)量積公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),所以又所以則故選:C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.4、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題.5、D【解析】
設(shè),,根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系,從而可得出離心率.【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為、,不妨設(shè),,則,為雙曲線上的點(diǎn),則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率的求解,涉及雙曲線和拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.6、D【解析】
利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹(shù)狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.7、C【解析】
先解不等式,可得出,求出函數(shù)的值域,由題意可知,不等式在定義域上恒成立,可得出關(guān)于的不等式,即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】,先解不等式.①當(dāng)時(shí),由,得,解得,此時(shí);②當(dāng)時(shí),由,得.所以,不等式的解集為.下面來(lái)求函數(shù)的值域.當(dāng)時(shí),,則,此時(shí);當(dāng)時(shí),,此時(shí).綜上所述,函數(shù)的值域?yàn)?,由于在定義域上恒成立,則不等式在定義域上恒成立,所以,,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù),同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中等題.8、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征,求出和,再利用復(fù)數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,解得則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】分析:首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果,從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小,再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清,對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì),利用公式求得其期望.詳解:根據(jù)題意有,如果交換一個(gè)球,有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球,紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況;如果交換的是兩個(gè)球,有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán),對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況,所以分析可以求得,故選A.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白,對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算,以及變量的可取值會(huì)分析是多少,利用期望公式求得結(jié)果.10、A【解析】
利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【詳解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.11、C【解析】
,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.12、D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡(jiǎn),結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因?yàn)樵谏线f減,,即.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),代入已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn),根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,求得的值.【詳解】設(shè),由,得,所以,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù),考查復(fù)數(shù)相等的條件,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】,.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用.15、【解析】
先求出所有的基本事件個(gè)數(shù),再求出“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個(gè)數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機(jī)抽取其中的三張,所有基本事件為:1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5;1,4,5;2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5;共有10個(gè),其中“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”包含6個(gè)基本事件,因此“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”的概率為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè),由橢圓和雙曲線的定義得到,根據(jù)是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據(jù),得到,再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè),由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切危?,即,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,所以,即,而,因?yàn)椋栽谏线f增,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率,進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)槲锢碓汲煽?jī),所以.所以物理原始成績(jī)?cè)冢?7,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機(jī)抽取1人,其成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機(jī)抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】(1)解答第一問(wèn)的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個(gè)特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時(shí)注意結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性.(2)解答第二問(wèn)的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大時(shí),抽樣可認(rèn)為是等可能的,進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.18、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對(duì)值求解;(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí),不等式可化為.當(dāng)時(shí),,,所以;當(dāng)時(shí),,.所以不等式的解集是.(2)證明:由,,得,,,又,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式問(wèn)題的求解,含有絕對(duì)值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.19、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)再判斷單調(diào)性即可.(2),有零點(diǎn)等價(jià)于方程實(shí)數(shù)根,再換元將原方程轉(zhuǎn)化為,再求導(dǎo)分析的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)?,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.(2),有零點(diǎn)等價(jià)于方程實(shí)數(shù)根,令則原方程轉(zhuǎn)化為,令,.令,,∴,,,,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.如圖可知①當(dāng)時(shí),有唯一零點(diǎn),即有唯一零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)時(shí),有唯一零點(diǎn),即有唯一零點(diǎn);④時(shí),此時(shí)無(wú)零點(diǎn),即此時(shí)無(wú)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性的方法,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題,屬于中檔題.20、(1),;(2)或【解析】
(1)根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程,再由,,可得點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)將曲線極坐標(biāo)方程求,與直線極坐標(biāo)方程聯(lián)立,消去,得到關(guān)于的二次方程,由的幾何意義可求出,而(1)可知,然后列方程可求出的值.【詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,圓的圓心為,設(shè),所以,則由,即為點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.(2)曲線的極坐標(biāo)方程為,將與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得,,設(shè),所以,,由,即,令,上述方程可化為,解得.由,所以,即或.【點(diǎn)睛】此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,利用極坐標(biāo)求點(diǎn)的軌跡方程,考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程為,由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程,由韋達(dá)定理表示出,由判別式可得;由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義,化簡(jiǎn)可得,代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn);由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓的方程,化簡(jiǎn)可得,代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn),由換元法令,代入可得,再令及,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍,即確定的取值范圍,因而可得的取值范圍.【詳解】(1)分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),則,橢圓的離心率為則解得,所以,所以的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)滿足,則為中點(diǎn),點(diǎn)在圓上,設(shè),聯(lián)立直線與橢圓
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