廣西玉林、柳州市2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

廣西玉林、柳州市2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．842．雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．3．小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過5分鐘的概率是（）A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的（）A．4 B．5 C．6 D．75．一個(gè)頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有（）A． B． C． D．6．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%7．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)8．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點(diǎn)，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．9．已知是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．10．已知的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式是（）A． B．C． D．11．第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運(yùn)會(huì)會(huì)旗中五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積之和的比值P，某學(xué)生做如圖所示的模擬實(shí)驗(yàn)：通過計(jì)算機(jī)模擬在長為10，寬為6的長方形奧運(yùn)會(huì)旗內(nèi)隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為n個(gè)，已知圓環(huán)半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．12．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)___________．14．的展開式中，的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)15．設(shè)為正實(shí)數(shù)，若則的取值范圍是__________．16．已知平面向量與的夾角為，，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正實(shí)數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：18．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段與橢圓的交點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)的直線與橢圓相切，且直線交軸于.設(shè)過點(diǎn)且平行于直線的直線交軸于點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）記的面積為，的面積為，求的最小值.19．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級(jí)不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.20．（12分）如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝60°．（1）求BC的長度；（2）在線段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問點(diǎn)P在何處時(shí)，α+β最??？21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.22．（10分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.2、A【解析】

將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.3、C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為，以12：00點(diǎn)為開始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過5分鐘的概率為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過程.5、B【解析】

計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】試題分析：由題意故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布7、C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學(xué)生對該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.8、A【解析】

根據(jù)正弦定理可得，求出，根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方，求的最大值，根據(jù)三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點(diǎn)，且，，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.9、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，結(jié)合的取值范圍求出的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得，得，，，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.11、B【解析】

根據(jù)比例關(guān)系求得會(huì)旗中五環(huán)所占面積，再計(jì)算比值.【詳解】設(shè)會(huì)旗中五環(huán)所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由，,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因?yàn)?

所以

,

，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題可得，因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，解得．14、【解析】

根據(jù)組合的知識(shí)，結(jié)合組合數(shù)的公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：項(xiàng)來源可以是：（1）取1個(gè)，4個(gè)（2）取2個(gè)，3個(gè)的系數(shù)為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的知識(shí)，熟悉二項(xiàng)式定理展開式中每一項(xiàng)的來源，實(shí)質(zhì)上每個(gè)因式中各取一項(xiàng)的乘積，轉(zhuǎn)化為組合的知識(shí)，屬中檔題.15、【解析】

根據(jù)，可得，進(jìn)而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，令，，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題，16、【解析】

根據(jù)已知求出，利用向量的運(yùn)算律，求出即可.【詳解】由可得，則，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），所以（2）證明：因?yàn)椋怨剩ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）直線的方程為（Ⅱ）【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)B，并代入橢圓方程解得，從而求出直線的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，表示點(diǎn)，然后聯(lián)立方程，利用相切得出，然后求出切點(diǎn)，再設(shè)出設(shè)直線的方程，求出點(diǎn)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，從而求出，最后利用以上已求點(diǎn)的坐標(biāo)表示面積，根據(jù)基本不等式求最值即可.【詳解】解：（Ⅰ）由橢圓，可得：由題意：設(shè)點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得：代入橢圓方程，可得：所以：所以.故直線的方程為.（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，故設(shè)直線的方程為：令，得：，所以：.聯(lián)立：，消，整理得：.因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以.即.設(shè)，則，，所以.又直線直線，所以設(shè)直線的方程為：.令，得，所以：.因?yàn)?，所以直線的方程為：.令，得，所以：.所以.又因?yàn)?.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程以及求橢圓中的最值問題，最值問題一般是把目標(biāo)式求出，結(jié)合目標(biāo)式特點(diǎn)選用合適的方法求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，本題利用了基本不等式求最小值的方法，運(yùn)算量較大，屬于難題.19、（1）（2）①2②期望值為X900600300100P【解析】

（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則,.由得，所以當(dāng)時(shí)，，即，由得，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，所以X的分布列為X900600300100P則期望為.20、（1）；（2）當(dāng)BP為cm時(shí)，α+β取得最小值．【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，根據(jù)得到，解得答案.（2）設(shè)BP＝t，則，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到最值.【詳解】（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，則，化簡得，解之得，或（舍），（2）設(shè)BP＝t，則，，設(shè)，，令f'（t）＝0，因?yàn)?，得，?dāng)時(shí)，f'（t）＜0，f（t）是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f'（t）＞0，f（t）是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因?yàn)楹愠闪ⅲ詅（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，因?yàn)閥＝tanx在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，α+β取得最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；（3）證明見解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，求得其導(dǎo)函數(shù)，，可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）由已知得，得出導(dǎo)函數(shù)，并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，，由（2）得的單調(diào)區(qū)間，以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)