浙江專用2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷期末測(cè)試卷01新人教A版

-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測(cè)試卷01測(cè)試范圍：第1-4章一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的性質(zhì)即可求解.【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.2．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因?yàn)?，所以，，故選：D3．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，則正數(shù)的值是（

）A．3 B．4 C．9 D．21【答案】A【分析】由干脆可得.【解析】由題知，所以，因?yàn)椋?故選：A4．已知向量，，且與相互垂直，則k的值是（

）.A．1 B． C． D．【答案】D【分析】向量的垂直用坐標(biāo)表示為，代入即可求出答案.【解析】，，因?yàn)榕c相互垂直，所以，所以，所以.故選：D.5．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則數(shù)列（

）A．是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列【答案】B【分析】依據(jù)與的關(guān)系求出通項(xiàng)，然后可知答案.【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可推斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B6．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依據(jù)圓心到直線的距離即可推斷.【解析】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).故選：B.7．在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)滿意，點(diǎn)滿意，當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【解析】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線上，棱長(zhǎng)為1的正四面體中，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A8．已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交另一條漸近線于點(diǎn)A.已知為原點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖象，結(jié)合漸近線方程得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合漸近線的斜率及角度關(guān)系，列出方程，求出，從而求出.【解析】漸近線為，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FB垂直于點(diǎn)B，交于點(diǎn)A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C二、多選題9．在長(zhǎng)方體中，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】依據(jù)空間向量的加減運(yùn)算即可得到答案.【解析】如圖：對(duì)A，，正確；對(duì)B，，正確；對(duì)C，，錯(cuò)誤；對(duì)D，，錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知圓：，：，則（

）A．圓的圓心坐標(biāo)是B．圓的半徑等于4C．圓與圓相離D．圓與軸相交，且截得的弦長(zhǎng)等于【答案】ACD【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解出圓心坐標(biāo)、半徑去推斷選項(xiàng)AB；由兩圓圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系去推斷選項(xiàng)C；解得圓截軸所得的弦長(zhǎng)去推斷選項(xiàng)D.【解析】由，得圓心，半徑故選項(xiàng)A推斷正確；選項(xiàng)B推斷錯(cuò)誤；由，得圓心，半徑兩圓圓心距，，由，可知圓與圓相離.選項(xiàng)C推斷正確；圓截軸所得的弦長(zhǎng)為.選項(xiàng)D推斷正確.故選：ACD11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減C．?dāng)?shù)列的全部項(xiàng)中第四項(xiàng)或第五項(xiàng)最小D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】BCD【分析】利用時(shí)可推斷AB；求出可推斷C；分、求出可推斷D.【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故不符合此式，所以，故A錯(cuò)誤；由于，，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減的，所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即或時(shí)最小，故C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得，所以時(shí)，，，時(shí)，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故D正確.故選：BCD.12．如圖所示，已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心肯定不在直線上C． D．的取值范圍是【答案】ABC【分析】由雙曲線定義及圓的切線長(zhǎng)定理，數(shù)形結(jié)合可以順當(dāng)求得的橫坐標(biāo)，同樣由數(shù)形結(jié)合可得到直線的傾斜角取值范圍為，接下來(lái)再去求值、證明即可解決.【解析】雙曲線的，漸近線方程為、，兩漸近線傾斜角分別為和，設(shè)圓與x軸切點(diǎn)為G過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可知直線的傾斜角取值范圍為由雙曲線定義和圓的切線長(zhǎng)定理可知、的橫坐標(biāo)均為，即與x軸垂直.故圓和圓均與x軸相切于，圓和圓兩圓外切.選項(xiàng)A推斷正確；由雙曲線定義知，中，，則AO只能是的中線，不能成為的角平分線，則圓心肯定不在直線上.選項(xiàng)B推斷正確；在中，，，則由直角三角形的射影定理可知，即則，故.選項(xiàng)C推斷正確；由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則的取值范圍為，故則令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，，，值域?yàn)楣实闹涤驗(yàn)?選項(xiàng)D推斷錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，許多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是依據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。奇妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是探討“以形助數(shù)”。三、填空題13．已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則______．【答案】7【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再依據(jù)雙曲線的定義可求解.【解析】由雙曲線的對(duì)稱性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，由，可知點(diǎn)在雙曲線的左支，如下圖所示：由雙曲線定義有，又，所以.故答案為：14．在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱、、兩兩夾角都為，且，，，、分別為、的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為__________.【答案】【分析】計(jì)算出以及、的值，可求得的值，即可得解.【解析】如下圖所示：由題意可得，，所以，，，，所以，.因此，與所成角的余弦值為.故答案為：.15．已知平面上隨意一點(diǎn)，直線，則點(diǎn)P到直線l的距離為；當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離為，請(qǐng)參考該公式．求出的最小值為____________．【答案】【分析】令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的倍與到的距離之和的倍的和，即可求得最小值．【解析】令，，∴表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離，表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離，∴目標(biāo)式幾何意義：半圓函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的倍與到的距離之和的倍的和.依據(jù)圓上的點(diǎn)到與圓相離的直線的距離最小值為圓心到直線的距離與半徑之差，所求最小值為．故答案為：.16．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，則的最大值是________．【答案】【分析】由已知等式結(jié)合因式分解可求得，求出，可得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，可求得數(shù)列最大項(xiàng)的值，進(jìn)而可求得數(shù)列最大項(xiàng)的值.【解析】因?yàn)椋瑒t，由，可得，所以，，即，滿意，，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列從第三項(xiàng)起先單調(diào)遞減，故，所以，.故答案為：.四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；(2)求的值.【答案】(1)，；(2).【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項(xiàng)相消去求解作答.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和.(2)由(1)知，，所以.18．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)求直線的方程.【答案】(1)；(2)或或.【分析】(1)依據(jù)給定條件結(jié)合p的幾何意義，干脆求出p寫出方程作答.(2)直線l的斜率存在設(shè)出其方程，再與拋物線C的方程聯(lián)立，再探討計(jì)算，l斜率不存在時(shí)驗(yàn)證作答.(1)因拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，于是得，所以拋物線的方程為.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，由消去y并整理得：，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)是直線與拋物線唯一公共點(diǎn)，因此，，直線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與拋物線相切，直線方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，y軸與拋物線有唯一公共點(diǎn)，直線方程為，所以直線方程為為或或.19．一個(gè)小島的四周有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無(wú)暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.(1)若，輪船直線返港，沒(méi)有觸礁危急，求的取值范圍?(2)若輪船直線返港，且必需經(jīng)過(guò)小島中心東北方向處補(bǔ)水，求的最小值.【答案】(1)(2)120【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)直線方程，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得；（2）先求補(bǔ)水點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)直線過(guò)該點(diǎn)，結(jié)合所求，依據(jù)基本不等式可得.(1)依據(jù)題意，以小島中心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，則輪船返港的直線為，因?yàn)闆](méi)有觸礁危急，所以原點(diǎn)到的距離，解得.(2)依據(jù)題意可得，，點(diǎn)C在直線上，故點(diǎn)C，設(shè)輪船返港的直線是，則，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.20．如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，，.

(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.(1)證明：∵，，∴△≌△,∴,設(shè)，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點(diǎn)，分別以，為軸、軸，過(guò)作軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，的中點(diǎn)，則，，∵，∴.(2)由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，滿意，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列對(duì)隨意都有恒成立，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）依據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義即可求解；（2）依據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，求出，最終利用錯(cuò)位相減法即可得答案.(1)解：因?yàn)?，，所以，，得，所以是?為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，所以，，所以；因?yàn)椋?，又由得，所以是?為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，即，記，則,,則.22．如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相