江蘇省常熟市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page16江蘇省常熟市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.將3張不同的演唱會(huì)門(mén)票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A.2160 B.720 C.240 D.120【答案】B【解析】【分析】按依次分步驟確定每張門(mén)票的分法種數(shù)，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】分步來(lái)完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，共有10×9×8＝720種分法．本題答案為B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，考查分析問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.在的綻開(kāi)式中.常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先寫(xiě)出二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)，再令，求出，最終代入計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以故選：B3.某校有1200人參與某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成果近似聽(tīng)從正態(tài)分布，試卷滿(mǎn)分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀（高于120分）人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成果在90分到105分之間的人數(shù)約為A.180 B.240 C.360 D.480【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性特征，成果高于120分和成果低于90分概率值應(yīng)當(dāng)相同，成果在90分到105分的占余下的，代入數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算即可【詳解】由題知，，所以，所以，所以此次數(shù)學(xué)考試成果在90分到105分之間的人數(shù)約為人．答案選C【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布基本量的計(jì)算，解題一般思路：先確定對(duì)稱(chēng)軸，依據(jù)對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)求解相應(yīng)數(shù)值4.易經(jīng)是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖所示的是易經(jīng)八卦(含乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌八卦)，每一卦由三根線(xiàn)組成(“——”表示一根陽(yáng)線(xiàn)，“——”表示一根陰線(xiàn)).現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線(xiàn)中至少有兩根陽(yáng)線(xiàn)的概率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求這兩卦的六根線(xiàn)中只有一根陽(yáng)線(xiàn)的概率，再利用對(duì)立事務(wù)，即可得答案；【詳解】從八卦中任取兩卦，共有種取法，若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線(xiàn)中只有一根陽(yáng)線(xiàn)，則應(yīng)取坤卦，再?gòu)恼?艮?坎三卦中取一卦，有種取法.所以所求的概率為.故選：B.5.函數(shù)部分圖象大致形態(tài)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性的定義可證是奇函數(shù)，在利用導(dǎo)函數(shù)探討單調(diào)性即可確定函數(shù)圖象.【詳解】由解析式知：，即是奇函數(shù)，且，即可解除A、B；因?yàn)?，所以時(shí)有單調(diào)遞減，解除D；故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性推斷函數(shù)的圖象.6.7人中選出5人排成一行，其中甲、乙兩人必需選出，且甲必需排在乙的左邊（不肯定相鄰），則不同的排法種數(shù)有A.240 B.480 C.600 D.1200【答案】C【解析】【分析】先從5人中選出3人，再將選出的3人與甲乙2人全排列，最終除以即可得結(jié)果.【詳解】先從5人中選出3人有種選法，再將選出的3人與甲乙2人全排列，因?yàn)榧妆匦枧旁谝业淖筮?，所以再除以，共有種方法，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見(jiàn)排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問(wèn)題實(shí)行“捆綁法”；（2）不相鄰問(wèn)題實(shí)行“插空法”；（3）有限制元素實(shí)行“優(yōu)先法”；（4）特別依次問(wèn)題，先讓全部元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).7.若，則（）A.6562 B.3281 C.3280 D.6560【答案】B【解析】【分析】分別令和再聯(lián)立求解即可【詳解】令有，令有，故故選：B8.函數(shù)f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在區(qū)間內(nèi)有微小值，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)等于零，求出方程的兩個(gè)根，通過(guò)探討根的范圍可得a的取值范圍.【詳解】解：由，得，（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為函數(shù)的一個(gè)微小值點(diǎn)，（2）當(dāng)時(shí)，令，則或，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為函數(shù)的一個(gè)微小值點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，i)若，即時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為函數(shù)的一個(gè)微小值點(diǎn)，ii)若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)無(wú)極值；iii)若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為上的微小值點(diǎn)，綜上a的取值范圍是，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的極值，考查了分類(lèi)探討思想，屬于中檔題.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)或不答的得0分.9.下列四個(gè)關(guān)系式中，肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)排列數(shù)的計(jì)算可推斷A,B,依據(jù)組合數(shù)的計(jì)算以及性質(zhì)可求解C,D.【詳解】,故A錯(cuò)誤，，故B對(duì)，,故C對(duì)，由可得：，故D錯(cuò)誤故選：BC10.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是（）A.1 B. C.2 D.0【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程，依據(jù)切線(xiàn)與有一個(gè)公共點(diǎn)，探討、推斷公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得a值.【詳解】解：令，則，則，∴在處的切線(xiàn)方程為，即.又與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，整理得，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，明顯只有一個(gè)解，符合題設(shè)；∴或故選：BD.11.體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球勝利，則停止發(fā)球；否則始終發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球勝利的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則p的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意，分別求出再依據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解，求出，選出符合的選項(xiàng)即可.【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種狀況：三次都不勝利、第三次勝利，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，B.函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為C.函數(shù)的值域D.恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)干脆推斷A，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值推斷BC，D選項(xiàng)中，不等式變形為，然后引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得最小值推斷D．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，令可得，有，可知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由上可知，時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.已知車(chē)輪旋轉(zhuǎn)的角度（單位：）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)起先后第時(shí)的瞬時(shí)角速度為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，則，故答案為：.14.已知是一個(gè)三位數(shù)，若的十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱(chēng)為遞增數(shù).已知，設(shè)事務(wù)A為“由，，組成一個(gè)三位數(shù)”，事務(wù)為“由，，組成的三位數(shù)為遞增數(shù)”，則___________.【答案】##0.1【解析】【分析】先算出由0，1，2，3，4得到的全部三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)，留意對(duì)0不排首位，數(shù)字可重復(fù)；再計(jì)算遞增數(shù)個(gè)數(shù)，此時(shí)數(shù)字不重復(fù)，從左到右，漸漸減?。罱K套用條件概率公式求解．【詳解】解：先計(jì)算全部正整數(shù)的個(gè)數(shù)：有個(gè)，即（A）個(gè)，再計(jì)算遞增數(shù)的個(gè)數(shù)：共有個(gè)，即個(gè)．故．故答案為：15.如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部運(yùn)用），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】96【解析】【詳解】試題分析：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；其次步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域4，有2種方法（此前三步已經(jīng)用去三種顏色）；第四步：涂區(qū)域3，分兩類(lèi)：第一類(lèi)，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；其次類(lèi)，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時(shí)區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的隨意一種顏色，有3種方法．所以，不同的涂色種數(shù)有4×3×2×（1×1+1×3）=96.考點(diǎn)：排列組合的應(yīng)用.16.已知函數(shù),且對(duì)隨意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】【詳解】由題意可得對(duì)隨意的恒成立，令,，，在恒成立，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在，使，且，即存在，使，且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)的最小值為，因?yàn)?，則，令，則，所以在上為增函數(shù)，所以的解為，，因此，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為1.【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題的常用解法：（1）化不等式為，然后求的最小值，由這個(gè)可得參數(shù)范圍．（2）利用參數(shù)分別法，化不等式為，一般化為（或）然后求得的最大值，解不等式，可得結(jié)論．四?解答題：本題共6小題，共0分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時(shí)都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)，不等式恒成立，求c的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）或【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由題可得即可求出；（2）求出在的最大值即可建立關(guān)系求解.【詳解】（1），，在與時(shí)都取得極值，，解得，，令可解得或；令可解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），由（1）可得當(dāng)時(shí)，為極大值，而，所以，要使對(duì)恒成立，則，解得或.18.中學(xué)2024級(jí)某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組共有男生4人，女生3人.（1）7個(gè)人站成一排，甲?乙兩人中間恰好有2人的站法有多少種？（2）7人站成一排，甲與乙相鄰且丙與丁不相鄰，有多少種排法？（3）現(xiàn)有10個(gè)乒乓球（完全相同）分發(fā)給這7名同學(xué)，每人至少一個(gè)，問(wèn)有多少種不同的分發(fā)？【答案】（1）種（2）種（3）種【解析】【分析】（1）利用插空法、捆綁法求解.（2）先將甲乙看成整體，再用插空法求解.（3）利用隔板法求解.【小問(wèn)1詳解】法一：甲?乙中間兩人的排列數(shù)為，而甲?乙位置可以互換，故這四個(gè)人的排列數(shù)有.將這四人看成一個(gè)整體，與剩余3人排站，故有種排列方式.不同站法有種.法二：甲?乙兩人的位置編號(hào)（不計(jì)依次）只能是，，，四種，對(duì)每一種狀況，甲?乙排列數(shù)為，其余五人排列數(shù)為，所以不同站法有種.【小問(wèn)2詳解】法一：若甲?乙相鄰，則將甲?乙看成一個(gè)整體，則總共的排法數(shù)為（相當(dāng)于只剩下6個(gè)人的全排列，而甲?乙可互換），考慮其中甲乙和丙丁都相鄰的狀況，同上述方法可知有種.符合要求的排法有.法二：若甲?乙相鄰，則將甲?乙看成一個(gè)整體，與丙丁以外的三個(gè)人排序有，將丙丁插空，則有.共有種.【小問(wèn)3詳解】問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：將10個(gè)乒乓球排成一列，再分成7堆，每堆至少一個(gè)，求其方法數(shù).事實(shí)上，只需在上述10個(gè)乒乓球所產(chǎn)生9個(gè)空檔中選出6個(gè)空檔插入檔板，即產(chǎn)生符合要求的方法數(shù).故有種.19.每年3月20日是國(guó)際華蜜日，某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的華蜜度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名，用“10分制”記錄了他們的華蜜度指數(shù)，分別為7.3，7.0，8.2，8.1，8.4，8.3，8.9，8.8，8.5，8.6，8.7，8.5，9.7，9.5，9.6，9.5，9.4，9.3.若福度不低于8.5分，則稱(chēng)該人的華蜜度為“很華蜜”.（1）求從這18人中隨機(jī)選取3人，至少有1人是“很華蜜”的概率；（2）以這18人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)許多）任選3人，記表示抽到“很華蜜”的人數(shù)，求的分布列及.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）利用對(duì)立事務(wù)的概率和為1，先求解3人都認(rèn)為不“很華蜜”的概率即可；（2）依據(jù)題意，隨機(jī)變量，再求解分布列與即可【小問(wèn)1詳解】由數(shù)據(jù)可得，華蜜度不低于8.5分的人數(shù)為12，低于8.5分的人數(shù)為6.設(shè)事務(wù){(diào)抽出的3人至少有1人是“很華蜜”的}，則表示3人都認(rèn)為不“很華蜜”..【小問(wèn)2詳解】依據(jù)題意，“很華蜜”的人數(shù)占比，故隨機(jī)變量滿(mǎn)意二項(xiàng)分布，的可能的取值為0，1，2，3.；；；.所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以的期望.20.已知f(x)＝(＋3x2)n的綻開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.（1）求綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出綻開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和，二項(xiàng)式系數(shù)和，再建立方程求出n，最終依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）求出二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)，依據(jù)系數(shù)最大列出不等式組即可作答.【詳解】（1）令，則綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，綻開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為，依題意，，即，整理得，于是得，解得，而5為奇數(shù)，所以綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們是，；（2）由(1)知綻開(kāi)式通項(xiàng)為，令Tr＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則有，即，整理得，解得，而，從而得，所以綻開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為.21.科學(xué)家為探討對(duì)某病毒有效的疫苗，通過(guò)小鼠進(jìn)行毒性和藥效預(yù)試驗(yàn).已知5只小鼠中有1只患有這種病毒引起的疾病，須要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的小鼠.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病小鼠，呈陰性即沒(méi)患病.下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病小鼠為止.方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病小鼠為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).（1）求方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的分布列；（2）推斷哪一個(gè)方案的效率更高，并說(shuō)明理由.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）乙方案的效率更高，詳見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1,2,3,4，分別求出概率，由此能求出X的分布列．

（2）方案乙化驗(yàn)次數(shù)的可能取值為2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出分布列，求出X,的期望．從而方案乙的效率更高．【詳解】解：（1）依題知X的可能取值為1，2，3，4.，，，，故方案甲化驗(yàn)次數(shù)X的分布列為：1234設(shè)方案乙化驗(yàn)次數(shù)為，則可能取值為2，3.=2時(shí)的狀況為先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄鹨粰z驗(yàn)時(shí)，恰好一次檢驗(yàn)出，或先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再?gòu)钠渌麅芍恢腥〕鲆恢粰z驗(yàn).則,故方案乙化驗(yàn)次數(shù)的分布列為：2