江蘇省十一校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期階段聯(lián)測(cè)試題含解析

Page15江蘇省十一校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期階段聯(lián)測(cè)試題考試時(shí)間120分鐘總分150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得的坐標(biāo).【詳解】設(shè)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，故選：B2.要從a，b，c，d，e5個(gè)人中選出1名組長(zhǎng)和1名副組長(zhǎng)，但a不能當(dāng)副組長(zhǎng)，則不同的選法種數(shù)是（）A.20 B.16 C.10 D.6【答案】B【解析】【分析】利用間接法，先求總的選2人擔(dān)當(dāng)正副組長(zhǎng)的選法，再減去當(dāng)副組長(zhǎng)的狀況，即為所求．【詳解】不考慮限制條件5人中選2人擔(dān)當(dāng)正副組長(zhǎng)有種選法，若a當(dāng)副組長(zhǎng)，有種選法，故a不當(dāng)副組長(zhǎng)，有(種)選法.故選：B3.的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則綻開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A.540 B. C.162 D.【答案】D【解析】【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和求出，然后寫出綻開式的通項(xiàng)公式得常數(shù)項(xiàng)所在項(xiàng)數(shù)，從而得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，解得所以的通項(xiàng)公式為：當(dāng)時(shí)，為常數(shù)故選：D4.已知，，且事務(wù)A、B相互獨(dú)立，則（）A.0.18 B.0.5 C.0.3 D.0.9【答案】A【解析】【分析】由概率的乘法公式求解作答.【詳解】由題意得.故選：A5.已知隨機(jī)變量，且，則的值為（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.8【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】解：，故選：C.6.綻開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)定理得出綻開式中的系數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；【詳解】由題意可知，綻開式中的系數(shù)為.所以原式的綻開式的系數(shù)為：故選：D.7.盒中有3個(gè)紅球，4個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，視察其顏色后放回，并加上同色球2個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則其次次抽出的是黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)事務(wù)表示第一次抽取的是黑球，，，事務(wù)表示其次次抽取的是黑球，因此有，所以，故選：B8.已知水平直線上的某質(zhì)點(diǎn)，每次等可能的向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，則在第6次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)恰好回到初始位置的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)為零，每次加或者減，經(jīng)過6次后，結(jié)果還是零的問題.用古典概型的概率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】該問題等價(jià)于：一個(gè)數(shù)據(jù)為零，每次加或者減，經(jīng)過6次后，結(jié)果還是零的問題.則每次都有加1或者減1兩種選擇，共有種可能；要使得結(jié)果還是零，則只需6次中出現(xiàn)3次加1，剩余3次為減1，故滿意題意的可能有：種可能.故滿意題意的概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率求解，屬基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.空間向量，（，），若，則B.若對(duì)空間中隨意一點(diǎn)O，有，則P、A、B、C四點(diǎn)共面C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D.隨意向量，，，滿意【答案】ABC【解析】【分析】A.利用空間向量數(shù)量積的定義推斷；B.利用空間向量共線定理的推論推斷；C.利用空間基底的定義推斷；D.依據(jù)與共線，與共線推斷.【詳解】A.空間向量，（，），若，則，所以，故正確；B.若對(duì)空間中隨意一點(diǎn)O，有，且，則P、A、B、C四點(diǎn)共面，故正確；C.因?yàn)槭强臻g的一組基底,所以不共面，則也不共面，又，所以不共面，則也是空間的一組基底，故正確；D.因?yàn)榕c共線，與共線，又，，是隨意向量，所以與不肯定相等，故錯(cuò)誤；故選：ABC10.為探討須要，統(tǒng)計(jì)了兩個(gè)變量x，y的書籍狀況如表：x……y……其中數(shù)據(jù)，，，…，和數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)分別為，，并且計(jì)算相關(guān)系數(shù)，回來方程為，則（）A.點(diǎn)必在回來直線上，即B變量x，y正相關(guān)C.當(dāng)，則必有D.【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)回來方程的性質(zhì)和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析推斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)必在回來直線上，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，所以變量x，y負(fù)相關(guān)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)不肯定在回來直線上，所以當(dāng)，不肯定有，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，所以，所以D正確，故選：AD11.已知隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.隨機(jī)變量滿意，則C. D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的期望和方差可推斷A選項(xiàng)；利用期望的性質(zhì)可推斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可推斷CD選項(xiàng)；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，隨機(jī)變量滿意，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，則，D對(duì).故選：ACD.12.（多選）甲盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙盒中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，先從甲盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒．用事務(wù)A表示“從甲盒中取出的是紅球”，用事務(wù)B表示“從甲盒中取出的是白球”；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一球，用事務(wù)C表示“從乙盒中取出的是紅球”，則下列結(jié)論正確的是（）A.事務(wù)B與事務(wù)C是互斥事務(wù) B.事務(wù)A與事務(wù)C不是獨(dú)立事務(wù)C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)的定義即可推斷A；依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的定義即可推斷B；分第一次取白球和紅球兩種狀況探討，從而可推斷C；依據(jù)條件概率公式即可推斷D.【詳解】對(duì)于A：事務(wù)B與事務(wù)C能同時(shí)發(fā)生，事務(wù)A與事務(wù)B不是互斥事務(wù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：事務(wù)A發(fā)生與否與事務(wù)C有關(guān)，故B正確：對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.若隨機(jī)變量X聽從超幾何分布，則X的均值_____________．【答案】【解析】【分析】由超幾何分布期望公式干脆求解即可.【詳解】由題意知：.故答案為：.14.已知單位向量，，滿意，則_____________．【答案】##【解析】【分析】先由題設(shè)得，兩邊平方結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】由題意知：，可得，即，又，則，解得.故答案為：.15.現(xiàn)有甲?乙兩類零件共8件，其中甲類6件，乙類2件，若從這8件零件中選取3件，則甲?乙兩類均被選到的方法共有種___________.(用數(shù)字填寫答案)【答案】36【解析】【分析】利用計(jì)數(shù)原理可得甲?乙兩類均被選到的方法共有；【詳解】甲?乙兩類均被選到分兩種狀況：（1）甲類選2個(gè)，乙類選1個(gè)，即；（2）甲類選1個(gè)，乙類選2個(gè)，即；所以總數(shù)共有：，故答案為：.16.男子冰球競(jìng)賽上演的是速度與激情的碰撞.2024北京冬奧會(huì)男子冰球主要競(jìng)賽場(chǎng)館是位于北京奧林匹克公園的“冰之帆”國(guó)家體育館．本屆冬奧會(huì)男子冰球有12支隊(duì)伍進(jìn)入正賽，中國(guó)首次組隊(duì)參賽，競(jìng)賽規(guī)則12支男子冰球參賽隊(duì)先依據(jù)往屆冬奧會(huì)賽制分成三個(gè)小組（每組4個(gè)隊(duì)）．正賽分小組賽階段與決賽階段；小組賽階段各組采納單循環(huán)賽制（小組內(nèi)任兩隊(duì)需且僅需競(jìng)賽一次）；決賽階段均采納淘汰制（每場(chǎng)競(jìng)賽勝者才晉級(jí)），先將12支球隊(duì)依據(jù)小組賽成果進(jìn)行種子排名，排名前四的球隊(duì)晉級(jí)四分之一決賽（且不在四分之一決賽中遭受），其余8支球隊(duì)按規(guī)則進(jìn)行附加賽（每隊(duì)競(jìng)賽一次，勝者晉級(jí)），爭(zhēng)奪另外4個(gè)四分之一決賽席位，隨后依次是四分之一決賽、半決賽、銅牌賽、金牌賽．則本屆冬奧會(huì)男子冰球項(xiàng)目從正賽起先到產(chǎn)生金牌，組委會(huì)共要支配____________場(chǎng)競(jìng)賽．【答案】30【解析】【分析】分別求出小組賽、附加賽、四分之一決賽、銅牌賽、金牌賽各自競(jìng)賽場(chǎng)次,加起來能求出組委會(huì)共要支配多少場(chǎng)競(jìng)賽.【詳解】依據(jù)賽制,小組賽共支配競(jìng)賽場(chǎng)競(jìng)賽，附加賽共支配8÷2=4場(chǎng)競(jìng)賽，四分之一決賽共支配8÷2=4場(chǎng)競(jìng)賽，半決賽共支配4÷2=2場(chǎng)，銅牌賽、金牌賽各競(jìng)賽一場(chǎng)，共2場(chǎng)，故本屆冬奧會(huì)男子冰球項(xiàng)目從正賽起先到產(chǎn)生金牌,組委會(huì)共要支配:18＋4十4＋2＋2=30場(chǎng)競(jìng)賽.故答案為：30四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖所示，在正方體中，，點(diǎn)M，N分別在和DB上，且，．（1）求線段MN的長(zhǎng)；（2）求直線和平面DMN所成角的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)已知將求出，再求其模長(zhǎng)即可；（2）將與平面DMN的法向量求出，利用向量法求解線面所成角即可.【小問1詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，.因?yàn)辄c(diǎn)M在上，設(shè)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)N在DB上，設(shè)，所以，因?yàn)?，，所以，，解得，，所以，所?【小問2詳解】設(shè)為平面DMN的法向量，因?yàn)?，，由，，得，，取，所以為平面DMN的一個(gè)法向量.記直線和平面DMN所成角為，因?yàn)?，所以，所以直線和平面DMN所成角為.18.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：元24568元3040605070（1）求出線性回來方程；（2）當(dāng)廣告費(fèi)支出為12（元）時(shí)，求銷售額y的線性回來估計(jì)值．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．【答案】（1）（2）95.5（元）【解析】【分析】（1）先求出，，結(jié)合公式求出即可得線性回來方程（2）將代入線性回來方程求出即可【小問1詳解】設(shè)線性回來方程為易得，-3-1013-20-1010020，所以【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)廣告費(fèi)支出為12（元）時(shí)，銷售額y的線性回來估計(jì)值為95.5（元）19.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打競(jìng)賽，依據(jù)以往競(jìng)賽的輸贏狀況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為.假如競(jìng)賽采納“五局三勝（即有一方先勝3局即獲勝，競(jìng)賽結(jié)束）”競(jìng)賽規(guī)則.（1）求甲獲勝的概率；（2）記甲、乙競(jìng)賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）甲前三局勝了兩局，且第四局甲勝，即可求解.(2)列出的全部取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再列出分布列，即可求出期望.【小問1詳解】記甲獲勝為事務(wù)，說明甲前三局勝了兩局，且第四局甲勝，所以答：甲獲勝的概率為【小問2詳解】可能取值是3、4、5，所以345則20.2024年北京冬奧會(huì)開幕式于2月4日在國(guó)家體育館實(shí)行，北京成為了歷史上首個(gè)同時(shí)舉辦夏奧會(huì)與冬奧會(huì)的“雙奧城市”，冬奧會(huì)上，各種炫酷的冰雪運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目在青少年中掀起了一股冰雪運(yùn)動(dòng)熱潮．為了了解某班學(xué)生寵愛冰壺項(xiàng)目是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)不寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)總計(jì)男生15女生20總計(jì)50已知在全班50人中隨機(jī)抽取1人，抽到寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為0.6．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整（不用寫計(jì)算過程）；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？附：，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表見解析（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件可得完整的列聯(lián)表.（2）依據(jù)公式可求的值，比照臨界值表可得相應(yīng)的結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)閷檺郾鶋剡\(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為0.6，故寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為30人，故補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)不寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)總計(jì)男生101525女生20525總計(jì)302050【小問2詳解】由，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為寵愛冰壺運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．21.如圖，四棱雉的底面為直角梯形，∥，，，，平面．（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）求出點(diǎn)A在平面上的投影M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以D點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量的夾角公式求解即可，（2）設(shè)，則，表示出，然后由，，列方程組可求出結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，，兩兩垂直，所以以D點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．，，，所以異面直線與所成的角的余弦值為．【小問2詳解】設(shè)，則．又，由，，得，解得．所以．22.法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加是個(gè)寵愛吃面包的人，他每天都會(huì)購(gòu)買一個(gè)面包，面包師聲稱自己出售的每個(gè)面包的平均質(zhì)量是1000，上下浮動(dòng)不超過50.這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量聽從期望為1000，標(biāo)準(zhǔn)差為50的正態(tài)分布.（1）假設(shè)面包師說法是真實(shí)的，從面包師出售的面包中任取兩個(gè)，記取出的兩個(gè)面包中質(zhì)量大于1000的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）作為一個(gè)擅長(zhǎng)思索的數(shù)學(xué)家，龐加萊每天都會(huì)將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到數(shù)據(jù)如下表，經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包總質(zhì)量為24468.龐加萊購(gòu)買的25個(gè)面包質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：）9819729669921010100895495296997898910011006957952969981984952959987100