專題六 幾何最值問題-簡單數(shù)學(xué)之2022年中考二輪專題復(fù)習(xí)（原卷版）（全國適用）

專題六幾何最值問題一、最短路徑問題例題（2022·全國·八年級(jí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，求PB+PD的最小值．請?jiān)跈M線上補(bǔ)充其推理過程或理由．練習(xí)題1．（2020·山東·東營市實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN＋MN的最小值是______．2．（2022·廣西·上思縣教育科學(xué)研究所八年級(jí)期末）如圖，正△ABC的邊長為2，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是_____．3．（2022·甘肅慶陽·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．4．（2021·貴州·峰林學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A（2）若B為坐標(biāo)原點(diǎn)，請寫出A1、B1、C1（3）如圖2，A，C是直線同側(cè)固定的點(diǎn)，D是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)D，使AD+5．（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最?。壳蟠藭r(shí)PA+PC的長度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)AQ+5-16．（2021·江蘇·南京鄭和外國語學(xué)校九年級(jí)期中）問題情境：如圖1，P是⊙O外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A，B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離．（1）探究證明：如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A，B重合），連接PC，OC．求證：PA＜PC．（2）直接應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是．（3）構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A1MN，連接A1B，則A1B長度的最小值為．（4）綜合應(yīng)用：如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（﹣2，3），B（4，5）為圓心，以1，2為半徑作⊙A，⊙B，M，N分別是⊙A，⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PM+PN的最小值為．二、線段最值問題例題在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．練習(xí)題1．（2021·廣東·鐵一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則AB的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2019·廣西玉林·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2021·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，邊BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G在矩形內(nèi)，且DG⊥CG，EF⊥FG，F(xiàn)G：EF＝1：2，則線段GF的最小值為_______．4．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為______．5．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，若線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得線段MA′．（1）如圖①，線段MA'的長＝___．（2）如圖②，連接A'C，則A'C長度的最小值是___．6．（2020·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ED并延長至點(diǎn)F，使得，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造，連接EG，則EG的最小值為________．三、周長、面積最值問題例題（2021·云南昭通·八年級(jí)期中）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，，求周長的最小值．練習(xí)題1．（2021·陜西·西安交通大學(xué)附屬中學(xué)航天學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，凸四邊形中，，若點(diǎn)M、N分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長最小值為（

）A． B． C．6 D．32．（2021·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，且BA＝CB，在y軸上取一點(diǎn)D，連接AB，BC，AD，CD，使得四邊形ABCD的周長最小，則這個(gè)周長的最小值為____．3．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠AOB＝45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO＝10，在角兩邊上有兩點(diǎn)Q、R（均不同于點(diǎn)O），則△PQR的周長最小值是____；當(dāng)△PQR周長最小時(shí)，∠QPR的度數(shù)＝__．4．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．5．（2021·云南紅河·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形紙片AOBC按如圖方法放置，點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸上，已知OA=2，OB=4，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=1．解答下列問題．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

_______；（2）在x軸上有一點(diǎn)E，使得△CDE的周長最短，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及直線CE的解析式．（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以C、D、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．6．（2021·山東·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過原點(diǎn)O和點(diǎn)A(3，﹣3)，F(xiàn)(1，)是該拋物線對稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)，過y軸上的點(diǎn)B(0，)作y軸的垂線l．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P(m，n)是拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為M．求證：點(diǎn)P在線段FM的垂直平分線上；（3）點(diǎn)E為線段OA的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QEF周長最小？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和QEF周長的最小值；若不存在，請說明理由．7．（2021·重慶市萬盛經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)溱州中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，延長交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，以為直角邊作等腰，連接，若，當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，求周長的最小值．8．（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2(1)如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過程中，若四邊形APQE的周長最小時(shí)，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQNM的面積．9．（2021·湖北·沙市中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求的最小值；（3）過點(diǎn)Q作交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積分別為，設(shè)，當(dāng)S最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求S的最大值．四、隱形圓問題例題（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．練習(xí)題1．（2021·山東濟(jì)南·二模）如圖，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，BP=3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)為A′．當(dāng)CA′的長度最小時(shí)，CQ的長為（）A．5 B．7 C．8 D．6.52．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3．（2022·湖北荊州·九年級(jí)期末）如圖，長方形ABCD中，，BC=2，點(diǎn)E是DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，則點(diǎn)D到點(diǎn)F的最短距離為________．4．（2022·重慶·一模）如圖，已知，外心為，，，分別以，為腰向形外作等腰直角三角形與，連接，交于點(diǎn)，則的最小值是______．5．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，D為AC的中點(diǎn)，M為BD的中點(diǎn)，將線段AD繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)），若AC＝8，BC＝6，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長度的取值范圍是____．6．（2021·山東濰坊·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為____．7．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的直徑，，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的最小值．8．（2021·湖北·武漢第三寄宿中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）問題背景如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直線l繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過B，C兩點(diǎn)分別向直線l作垂線BD，CE，垂足為D，E，此時(shí)△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。ㄈ∽钚⌒D(zhuǎn)角度）．嘗試應(yīng)用如圖（2），△ABC為等邊三角形，直線l繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，D、E為直線l上兩點(diǎn)，∠BDA＝∠AEC＝6