自動(dòng)控制原理 課件 3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

凡是由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)?？刂乒こ讨卸A系統(tǒng)應(yīng)用非常廣泛，如無(wú)源

網(wǎng)絡(luò)、彈簧-質(zhì)量塊-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)、忽略電樞電感的電動(dòng)機(jī)等都是典型的二階系統(tǒng)。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，常常可以近似成二階系統(tǒng)。因此，深入研究二階系統(tǒng)的性能，具有重要的實(shí)際意義。3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的微分方程為在零初始條件下對(duì)上式兩邊取拉普拉斯變換，可得二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中，r(t)

和

c(t)

分別為分別為二階系統(tǒng)的輸入量和輸出量，T為時(shí)間常數(shù)，單位為s，

為阻尼比(或相對(duì)阻尼系數(shù))，無(wú)量綱。引入?yún)?shù)

，稱作二階系統(tǒng)的自然頻率(或無(wú)阻尼振蕩頻率)，單位為

，則式可寫(xiě)為

上式為二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，相應(yīng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-1所示。顯然，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)取決于

和

這兩個(gè)特征參數(shù)。圖3-3-1二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為由式可見(jiàn)，閉環(huán)特征根的性質(zhì)與阻尼比

有關(guān)。當(dāng)

為不同值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)有不同的形式。3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)處于無(wú)阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛純虛根設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

兩邊取拉普拉斯反變換，求得單位階躍響應(yīng)為

上式表明，無(wú)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩形式，振蕩角頻率為

。

1.無(wú)阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

2.欠阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛復(fù)根其中

為阻尼振蕩頻率。上式兩邊取拉普拉斯反變換，可得單位階躍響應(yīng)為

式中，

稱為阻尼角。阻尼角

與阻尼比

及閉環(huán)特征根之間對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3-3-2所示。

圖3-3-2

與

及閉環(huán)特征根的對(duì)應(yīng)關(guān)系可見(jiàn)，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量?jī)刹糠纸M成。穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量是一個(gè)隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減的正弦振蕩過(guò)程，其衰減速度取決于

值的大小，振蕩頻率為阻尼振蕩頻率

。當(dāng)

時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為零，穩(wěn)態(tài)輸出為1。設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

3.臨界阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根兩邊取拉普拉斯反變換，求得單位階躍響應(yīng)為

可見(jiàn)，臨界阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無(wú)振蕩單調(diào)上升過(guò)程。為便于計(jì)算，令

當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)。閉環(huán)特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，即4.過(guò)阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱

為過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，且有

。設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

可見(jiàn)，過(guò)阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)包含兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，響應(yīng)是非振蕩的。兩邊取拉普拉斯反變換，可得單位階躍響應(yīng)為圖3-3-3為二階系統(tǒng)在不同阻尼比時(shí)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可見(jiàn)，

越小，系統(tǒng)響應(yīng)振蕩越激烈。當(dāng)

時(shí)，

變成單調(diào)上升的為非振蕩過(guò)程。

圖3-3-3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1.欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)(1)上升時(shí)間tr根據(jù)上升時(shí)間的定義，令

c(tr)=1，得即

由于

，只能

，由此得

因此上升時(shí)間為

由式可見(jiàn)，當(dāng)阻尼比

一定時(shí)，阻尼角

不變，上升時(shí)間

與

成反比；而當(dāng)阻尼振蕩頻率

一定時(shí)，阻尼比越小，上升時(shí)間越短。(2)峰值時(shí)間tp峰值時(shí)間是指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間。將式(3-3-7)對(duì)求導(dǎo)，并令其為零，可得即

整理得

當(dāng)

時(shí)，

。根據(jù)峰值時(shí)間定義，應(yīng)取

，

即有輸出量的最大值為根據(jù)超調(diào)量定義有

由于

(3)超調(diào)量因此超調(diào)量為上式表明，超調(diào)量

僅是阻尼比

的函數(shù)，與無(wú)阻尼振蕩頻率

無(wú)關(guān)。與的關(guān)系如圖3-3-4所示，由圖可見(jiàn)，阻尼比越大，超調(diào)量越小，反之亦然。一般地，當(dāng)

取時(shí)，相應(yīng)超調(diào)量為

。圖3-3-4

和

的關(guān)系(4)調(diào)節(jié)時(shí)間

tr調(diào)節(jié)時(shí)間

是指輸出量

與穩(wěn)態(tài)值

之間的偏差達(dá)到允許范圍(一般

取

或

)且不再超出的最短時(shí)間，即欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為

，響應(yīng)曲線總是在上、下包絡(luò)線之間，如圖3-3-5所示。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，往往采用

的包絡(luò)線近似代替

，并考慮到

，則兩邊取自然對(duì)數(shù)得

由上式表明，調(diào)節(jié)時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部數(shù)值成反比，即閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間越短。

分別取

或

，并考慮到較小的阻尼比

時(shí)，

，則(取

誤差帶)(取

誤差帶)圖3-3-5調(diào)節(jié)時(shí)間的近似計(jì)算圖3-3-6

與

的關(guān)系曲線值得注意的是，采用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)估算調(diào)節(jié)時(shí)間，所得結(jié)果略偏保守。圖3-3-6給出了當(dāng)

時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間

與阻尼比

之間的關(guān)系曲線。對(duì)于

誤差帶，當(dāng)

時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，即快速性最好，同時(shí)超調(diào)量約為

，平穩(wěn)性也較好，故稱

為最佳阻尼比。

上面求得的

和

與二階系統(tǒng)特征參數(shù)

和

之間的關(guān)系是分析二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)。若已知

和

的值，則可以計(jì)算出各個(gè)性能指標(biāo)。另一方面，也可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能要求，由性能指標(biāo)確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù)

和

。

圖3-3-7二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例3-3已知二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-7所示。當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)時(shí)，試計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

解：將其與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式相比較，可得因此

圖3-3-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及單位階躍響應(yīng)曲線例3-4已知某二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及單位階躍響應(yīng)曲線分別如圖3-3-8(a)、圖3-3-8(b)所示，試確定系統(tǒng)參數(shù)

、

和

。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由拉普拉斯變換終值定理可得

求得

。由解得

，

。與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式比較，得

因此有

,

。

2.過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)當(dāng)

時(shí)，過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是從0到1的單調(diào)上升過(guò)程，超調(diào)量

為0，用調(diào)節(jié)時(shí)間

即可描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。然而，由式(3-3-9)確定的表達(dá)式比較困難。一般可由式(3-3-9)取相對(duì)變量

及

經(jīng)計(jì)算機(jī)解算后制成曲線或表格以供查用。圖3-3-9是取5%誤差帶的調(diào)節(jié)時(shí)間特性曲線，根據(jù)已知的及值在圖3-3-9上可以查出相應(yīng)的

。

圖3-3-9過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間特性曲線由圖3-3-9可以看出，當(dāng)T1

=T2

即

的臨界情況，調(diào)節(jié)時(shí)間

ts

=4.75T1

；當(dāng)T1

>4T2

即過(guò)阻尼二階系統(tǒng)第二個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值比第一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值大四倍以上時(shí)，系統(tǒng)可等效為具有

閉環(huán)極點(diǎn)的一階系統(tǒng)，此時(shí)取調(diào)節(jié)時(shí)間

，相對(duì)誤差不超過(guò)10%。在控制工程中，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、較快的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。因此二階控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，一般取

，使系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。對(duì)于一些不允許出現(xiàn)超調(diào)，例如液體控制系統(tǒng)，超調(diào)會(huì)導(dǎo)致液體溢出，或大慣性(例如加熱裝置)的控制系統(tǒng)，則可取

，使系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)。

通過(guò)前面二階系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算式可以看出，各指標(biāo)之間是有矛盾的。例如上升時(shí)間和超調(diào)量，即響應(yīng)速度和阻尼程度不能同時(shí)達(dá)到滿意的結(jié)果。因此為了兼顧響應(yīng)的快速性和平穩(wěn)性以及系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求，必須研究其他控制方式，以改善二階系統(tǒng)的性能。比例-微分控制和測(cè)速反饋是常用的兩種改善二階系統(tǒng)性能的方法。3.3.4二階系統(tǒng)性能的改善1.比例-微分控制比例-微分控制的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-10所示。圖中

為誤差信號(hào)，

為微分時(shí)間常數(shù)。圖3-3-10比例-微分控制系統(tǒng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)開(kāi)環(huán)增益為等效阻尼比為則以上分析可見(jiàn)，引入比例-微分控制后，系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率

不變，等效阻尼比加大

，從而使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。另外由上式可以看出，引入比例-微分控制后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)出現(xiàn)了附加閉環(huán)零點(diǎn)

。閉環(huán)零點(diǎn)的存在，將會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，削弱“阻尼”的作用，因此選擇微分時(shí)間常數(shù)

時(shí)，要折中考慮閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度和阻尼程度的影響。2.測(cè)速反饋控制圖3-3-11測(cè)速反饋控制系統(tǒng)測(cè)速反饋控制的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-11所示，圖中

為誤差信號(hào)，

為輸出量的速度反饋系數(shù)。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)開(kāi)環(huán)增益為等效阻尼比為則由以上分析可見(jiàn)，引入測(cè)速反饋控制后，同樣使系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率

不變、等效阻尼比增大

，從而達(dá)到了改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的目的。

由于測(cè)速反饋沒(méi)有附加閉環(huán)零點(diǎn)的影響，因此與比例-微分控制對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度是不同的。此外測(cè)速反饋的加入，會(huì)使系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益降低，在3.6節(jié)中將會(huì)看到，這使得系統(tǒng)在跟蹤斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差有所增加。因此在設(shè)計(jì)測(cè)速反饋控制系統(tǒng)時(shí)，一般可適當(dāng)增大原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，以補(bǔ)償測(cè)速反饋控制引起的開(kāi)環(huán)增益損失。3.兩種控制方案的比較綜上所述，比例-微分控制與測(cè)速反饋控制都可以改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但是二者改善系統(tǒng)性能的機(jī)理及應(yīng)用場(chǎng)合是不同的，現(xiàn)簡(jiǎn)述如下。(1)比例-微分環(huán)節(jié)位于系統(tǒng)的輸入端，微分作用對(duì)輸入噪聲有明顯的放大作用。當(dāng)輸入端噪聲嚴(yán)重時(shí)，不宜選用比例-微分控制。由于微分器的輸入信號(hào)是低能量的誤差信號(hào)，要求比例-微分控制具有足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，需選用高質(zhì)量的前置放大器；測(cè)速反饋控制對(duì)輸入端噪聲有濾波作用，同時(shí)測(cè)速發(fā)電機(jī)的輸入信號(hào)能量水平較高，因此對(duì)系統(tǒng)組成元件沒(méi)有過(guò)高的質(zhì)量要求，使用場(chǎng)合比較廣泛。(2)比例-微分控制對(duì)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益和無(wú)阻尼振蕩頻率均無(wú)影響；測(cè)速反饋控制雖不影響無(wú)阻尼振蕩頻率，但會(huì)降低開(kāi)環(huán)增益，使得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差有所增加，然而測(cè)速反饋控制能削弱內(nèi)部回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利因素的影響。(3)比例-微分控制相當(dāng)于在系統(tǒng)中加入了實(shí)零點(diǎn)，可以加快上升時(shí)間。在相同阻尼比的條件下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量大于測(cè)速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。(4)從實(shí)現(xiàn)角度看，比例-微分控制的線路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本較低；而測(cè)速反饋控制部件則較昂貴。例3-5某一位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3-3-12(a)所示，其中

。在該系統(tǒng)中引入測(cè)速反饋控制，其結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-12(b)所示，若要系統(tǒng)的等效阻尼比為

，試確定反饋系數(shù)

的值，并計(jì)算系統(tǒng)在引入測(cè)速反饋控制前后的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。圖3-3-12位置隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：由圖3-3-12(a)可得原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式相比較，可得已知等效阻尼比

，當(dāng)

時(shí)，即未引入測(cè)速反饋控制的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量分別為則當(dāng)

時(shí)，即引入測(cè)速反饋控制的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量分別為上述計(jì)算表明，引入測(cè)速反饋控制后，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間減小、超調(diào)量下降，動(dòng)態(tài)性能得到明顯改善。解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.2:25];k=[10,0.5,0.09];fori=1:length(k)num=k(i);den=[1,1,0];G=tf(num,den);例3-6某一位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3-3-12(a)所示，試用MATLAB繪制開(kāi)環(huán)增益分別為10,0.5,0.09時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。3.3.5MATLAB實(shí)現(xiàn)sys=feedback(G,1,-1);step(sys,t);holdon;endgtext('k=10');gtext('k=0.5');gtext('k=0.09');xlabel('t');ylabel('c(t)');title('stepresponse');gridon執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果如圖3-3-13所示。由圖可見(jiàn)，降低開(kāi)環(huán)增益K能使阻尼比增大，超調(diào)量下降，可改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，但開(kāi)環(huán)增益K降低太多，系統(tǒng)成為過(guò)阻尼二階系統(tǒng)，過(guò)渡過(guò)程過(guò)于緩慢，這也是不希望的。圖3-3-13單位階躍響應(yīng)曲線例3-7某控制系統(tǒng)如圖3-3-14(a)所示，其中K=5，T=1.67s。分別采用比例-微分和測(cè)速反饋控制，系統(tǒng)