自動控制原理 課件 3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

凡是由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)?？刂乒こ讨卸A系統(tǒng)應用非常廣泛，如無源

網絡、彈簧-質量塊-阻尼器機械位移系統(tǒng)、忽略電樞電感的電動機等都是典型的二階系統(tǒng)。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，常?？梢越瞥啥A系統(tǒng)。因此，深入研究二階系統(tǒng)的性能，具有重要的實際意義。3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)的微分方程為在零初始條件下對上式兩邊取拉普拉斯變換，可得二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中，r(t)

和

c(t)

分別為分別為二階系統(tǒng)的輸入量和輸出量，T為時間常數(shù)，單位為s，

為阻尼比(或相對阻尼系數(shù))，無量綱。引入?yún)?shù)

，稱作二階系統(tǒng)的自然頻率(或無阻尼振蕩頻率)，單位為

，則式可寫為

上式為二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式，相應結構圖如圖3-3-1所示。顯然，二階系統(tǒng)的時間響應取決于

和

這兩個特征參數(shù)。圖3-3-1二階系統(tǒng)結構圖二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為由式可見，閉環(huán)特征根的性質與阻尼比

有關。當

為不同值時，所對應的單位階躍響應有不同的形式。3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應當

時，系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對共軛純虛根設輸入信號為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

兩邊取拉普拉斯反變換，求得單位階躍響應為

上式表明，無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為等幅振蕩形式，振蕩角頻率為

。

1.無阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應設輸入信號為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

2.欠阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應當

時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。閉環(huán)特征根為一對共軛復根其中

為阻尼振蕩頻率。上式兩邊取拉普拉斯反變換，可得單位階躍響應為

式中，

稱為阻尼角。阻尼角

與阻尼比

及閉環(huán)特征根之間對應關系如圖3-3-2所示。

圖3-3-2

與

及閉環(huán)特征根的對應關系可見，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量兩部分組成。穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量是一個隨時間增長而衰減的正弦振蕩過程，其衰減速度取決于

值的大小，振蕩頻率為阻尼振蕩頻率

。當

時，瞬態(tài)分量衰減為零，穩(wěn)態(tài)輸出為1。設輸入信號為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

3.臨界阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應當

時，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對相等的負實根兩邊取拉普拉斯反變換，求得單位階躍響應為

可見，臨界阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應是穩(wěn)態(tài)值為1的無振蕩單調上升過程。為便于計算，令

當

時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。閉環(huán)特征根為兩個不相等的負實數(shù)根，即4.過阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應稱

為過阻尼二階系統(tǒng)的時間常數(shù)，且有

。設輸入信號為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

可見，過阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應包含兩個單調衰減的指數(shù)項，響應是非振蕩的。兩邊取拉普拉斯反變換，可得單位階躍響應為圖3-3-3為二階系統(tǒng)在不同阻尼比時的單位階躍響應曲線。由圖可見，

越小，系統(tǒng)響應振蕩越激烈。當

時，

變成單調上升的為非振蕩過程。

圖3-3-3二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線3.3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標1.欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(1)上升時間tr根據(jù)上升時間的定義，令

c(tr)=1，得即

由于

，只能

，由此得

因此上升時間為

由式可見，當阻尼比

一定時，阻尼角

不變，上升時間

與

成反比；而當阻尼振蕩頻率

一定時，阻尼比越小，上升時間越短。(2)峰值時間tp峰值時間是指響應曲線第一次達到峰值所對應的時間。將式(3-3-7)對求導，并令其為零，可得即

整理得

當

時，

。根據(jù)峰值時間定義，應取

，

即有輸出量的最大值為根據(jù)超調量定義有

由于

(3)超調量因此超調量為上式表明，超調量

僅是阻尼比

的函數(shù)，與無阻尼振蕩頻率

無關。與的關系如圖3-3-4所示，由圖可見，阻尼比越大，超調量越小，反之亦然。一般地，當

取時，相應超調量為

。圖3-3-4

和

的關系(4)調節(jié)時間

tr調節(jié)時間

是指輸出量

與穩(wěn)態(tài)值

之間的偏差達到允許范圍(一般

取

或

)且不再超出的最短時間，即欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應的包絡線為

，響應曲線總是在上、下包絡線之間，如圖3-3-5所示。為簡便起見，往往采用

的包絡線近似代替

，并考慮到

，則兩邊取自然對數(shù)得

由上式表明，調節(jié)時間與閉環(huán)極點的實部數(shù)值成反比，即閉環(huán)極點距虛軸的距離越遠，系統(tǒng)的調節(jié)時間越短。

分別取

或

，并考慮到較小的阻尼比

時，

，則(取

誤差帶)(取

誤差帶)圖3-3-5調節(jié)時間的近似計算圖3-3-6

與

的關系曲線值得注意的是，采用包絡線代替實際響應估算調節(jié)時間，所得結果略偏保守。圖3-3-6給出了當

時，調節(jié)時間

與阻尼比

之間的關系曲線。對于

誤差帶，當

時，調節(jié)時間最短，即快速性最好，同時超調量約為

，平穩(wěn)性也較好，故稱

為最佳阻尼比。

上面求得的

和

與二階系統(tǒng)特征參數(shù)

和

之間的關系是分析二階系統(tǒng)動態(tài)性能的基礎。若已知

和

的值，則可以計算出各個性能指標。另一方面，也可以根據(jù)對系統(tǒng)動態(tài)性能要求，由性能指標確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù)

和

。

圖3-3-7二階系統(tǒng)結構圖例3-3已知二階系統(tǒng)的結構圖如圖3-3-7所示。當輸入信號為單位階躍函數(shù)時，試計算系統(tǒng)響應的上升時間、峰值時間、調節(jié)時間和超調量。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

解：將其與二階系統(tǒng)標準式相比較，可得因此

圖3-3-8系統(tǒng)結構圖及單位階躍響應曲線例3-4已知某二階系統(tǒng)的結構圖及單位階躍響應曲線分別如圖3-3-8(a)、圖3-3-8(b)所示，試確定系統(tǒng)參數(shù)

、

和

。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由拉普拉斯變換終值定理可得

求得

。由解得

，

。與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準式比較，得

因此有

,

。

2.過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標當

時，過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應是從0到1的單調上升過程，超調量

為0，用調節(jié)時間

即可描述系統(tǒng)的動態(tài)性能。然而，由式(3-3-9)確定的表達式比較困難。一般可由式(3-3-9)取相對變量

及

經計算機解算后制成曲線或表格以供查用。圖3-3-9是取5%誤差帶的調節(jié)時間特性曲線，根據(jù)已知的及值在圖3-3-9上可以查出相應的

。

圖3-3-9過阻尼二階系統(tǒng)的調節(jié)時間特性曲線由圖3-3-9可以看出，當T1

=T2

即

的臨界情況，調節(jié)時間

ts

=4.75T1

；當T1

>4T2

即過阻尼二階系統(tǒng)第二個閉環(huán)極點的數(shù)值比第一個閉環(huán)極點的數(shù)值大四倍以上時，系統(tǒng)可等效為具有

閉環(huán)極點的一階系統(tǒng)，此時取調節(jié)時間

，相對誤差不超過10%。在控制工程中，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、較快的響應速度和較短的調節(jié)時間。因此二階控制系統(tǒng)的設計，一般取

，使系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。對于一些不允許出現(xiàn)超調，例如液體控制系統(tǒng)，超調會導致液體溢出，或大慣性(例如加熱裝置)的控制系統(tǒng)，則可取

，使系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。

通過前面二階系統(tǒng)各項動態(tài)性能指標的計算式可以看出，各指標之間是有矛盾的。例如上升時間和超調量，即響應速度和阻尼程度不能同時達到滿意的結果。因此為了兼顧響應的快速性和平穩(wěn)性以及系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求，必須研究其他控制方式，以改善二階系統(tǒng)的性能。比例-微分控制和測速反饋是常用的兩種改善二階系統(tǒng)性能的方法。3.3.4二階系統(tǒng)性能的改善1.比例-微分控制比例-微分控制的二階系統(tǒng)結構圖如圖3-3-10所示。圖中

為誤差信號，

為微分時間常數(shù)。圖3-3-10比例-微分控制系統(tǒng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應開環(huán)增益為等效阻尼比為則以上分析可見，引入比例-微分控制后，系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率

不變，等效阻尼比加大

，從而使系統(tǒng)的調節(jié)時間縮短，超調量減小，改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能。另外由上式可以看出，引入比例-微分控制后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)出現(xiàn)了附加閉環(huán)零點

。閉環(huán)零點的存在，將會使系統(tǒng)響應速度加快，削弱“阻尼”的作用，因此選擇微分時間常數(shù)

時，要折中考慮閉環(huán)零點對系統(tǒng)響應速度和阻尼程度的影響。2.測速反饋控制圖3-3-11測速反饋控制系統(tǒng)測速反饋控制的二階系統(tǒng)結構圖如圖3-3-11所示，圖中

為誤差信號，

為輸出量的速度反饋系數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應開環(huán)增益為等效阻尼比為則由以上分析可見，引入測速反饋控制后，同樣使系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率

不變、等效阻尼比增大

，從而達到了改善系統(tǒng)動態(tài)性能的目的。

由于測速反饋沒有附加閉環(huán)零點的影響，因此與比例-微分控制對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度是不同的。此外測速反饋的加入，會使系統(tǒng)開環(huán)增益降低，在3.6節(jié)中將會看到，這使得系統(tǒng)在跟蹤斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差有所增加。因此在設計測速反饋控制系統(tǒng)時，一般可適當增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以補償測速反饋控制引起的開環(huán)增益損失。3.兩種控制方案的比較綜上所述，比例-微分控制與測速反饋控制都可以改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但是二者改善系統(tǒng)性能的機理及應用場合是不同的，現(xiàn)簡述如下。(1)比例-微分環(huán)節(jié)位于系統(tǒng)的輸入端，微分作用對輸入噪聲有明顯的放大作用。當輸入端噪聲嚴重時，不宜選用比例-微分控制。由于微分器的輸入信號是低能量的誤差信號，要求比例-微分控制具有足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，需選用高質量的前置放大器；測速反饋控制對輸入端噪聲有濾波作用，同時測速發(fā)電機的輸入信號能量水平較高，因此對系統(tǒng)組成元件沒有過高的質量要求，使用場合比較廣泛。(2)比例-微分控制對系統(tǒng)的開環(huán)增益和無阻尼振蕩頻率均無影響；測速反饋控制雖不影響無阻尼振蕩頻率，但會降低開環(huán)增益，使得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差有所增加，然而測速反饋控制能削弱內部回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利因素的影響。(3)比例-微分控制相當于在系統(tǒng)中加入了實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的條件下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調量大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調量。(4)從實現(xiàn)角度看，比例-微分控制的線路結構簡單，成本較低；而測速反饋控制部件則較昂貴。例3-5某一位置隨動系統(tǒng)如圖3-3-12(a)所示，其中

。在該系統(tǒng)中引入測速反饋控制，其結構圖如圖3-3-12(b)所示，若要系統(tǒng)的等效阻尼比為

，試確定反饋系數(shù)

的值，并計算系統(tǒng)在引入測速反饋控制前后的調節(jié)時間和超調量。圖3-3-12位置隨動系統(tǒng)結構圖解：由圖3-3-12(a)可得原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與二階系統(tǒng)標準式相比較，可得已知等效阻尼比

，當

時，即未引入測速反饋控制的系統(tǒng)調節(jié)時間和超調量分別為則當

時，即引入測速反饋控制的系統(tǒng)調節(jié)時間和超調量分別為上述計算表明，引入測速反饋控制后，系統(tǒng)的調節(jié)時間減小、超調量下降，動態(tài)性能得到明顯改善。解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.2:25];k=[10,0.5,0.09];fori=1:length(k)num=k(i);den=[1,1,0];G=tf(num,den);例3-6某一位置隨動系統(tǒng)如圖3-3-12(a)所示，試用MATLAB繪制開環(huán)增益分別為10,0.5,0.09時系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。3.3.5MATLAB實現(xiàn)sys=feedback(G,1,-1);step(sys,t);holdon;endgtext('k=10');gtext('k=0.5');gtext('k=0.09');xlabel('t');ylabel('c(t)');title('stepresponse');gridon執(zhí)行該程序，運行結果如圖3-3-13所示。由圖可見，降低開環(huán)增益K能使阻尼比增大，超調量下降，可改善系統(tǒng)動態(tài)性能，但開環(huán)增益K降低太多，系統(tǒng)成為過阻尼二階系統(tǒng)，過渡過程過于緩慢，這也是不希望的。圖3-3-13單位階躍響應曲線例3-7某控制系統(tǒng)如圖3-3-14(a)所示，其中K=5，T=1.67s。分別采用比例-微分和測速反饋控制，系統(tǒng)