自動控制原理 課件 8.1非線性控制系統(tǒng)概述

第8章非線性控制系統(tǒng)分析

前面各章所研究的控制系統(tǒng)都是線性的。實際中理想的線性控制系統(tǒng)是不存在的。任何一個控制系統(tǒng)，其組成元件總是或多或少地帶有非線性，因此都屬于非線性系統(tǒng)的范疇。非線性系統(tǒng)不再滿足疊加原理，因此本書前七章介紹的線性系統(tǒng)分析和設計方法不再適用。但由于線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，線性系統(tǒng)的分析和設計方法在非線性控制系統(tǒng)的研究中仍發(fā)揮著非常重要的作用。8.1非線性控制系統(tǒng)概述

在控制系統(tǒng)的所有組成環(huán)節(jié)中，如果有一個或多個環(huán)節(jié)具有非線性特性，則該系統(tǒng)稱為非線性控制系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別在于能否應用疊加原理，由于兩類系統(tǒng)特性上的這種區(qū)別，它們的運動規(guī)律有很大差別。8.1.1非線性系統(tǒng)的特征

由前面的內(nèi)容可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入信號及初始條件無關。換句話說，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則無論受到多大的擾動，擾動消失后系統(tǒng)可以回到唯一的平衡點。而對于非線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關外，還與輸入信號和初始條件有關。即使同一個非線性系統(tǒng)，也可能存在穩(wěn)定運動和不穩(wěn)定運動，而穩(wěn)定的運動也不一定對于所有的初始擾動都是穩(wěn)定的，可能出現(xiàn)對于較大的初始擾動就不穩(wěn)定的情況。因此，對于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念。下面通過實例加以說明。1.穩(wěn)定性分析復雜設描述非線性系統(tǒng)的微分方程為積分可得令

，可知該系統(tǒng)存在兩個平衡狀態(tài)

和

。當

時，方程可寫為若初始條件

，可求得從而得到由此可畫出不同初始條件下

的曲線如圖8-1-1所示。當

，

時，

隨

的增大而增大，在

時，

趨向于無窮大；當

時，

隨著

值的增大而趨近于零。由圖可見，平衡狀態(tài)

是穩(wěn)定的，因為它對于

的擾動都具有恢復原狀態(tài)的能力；而平衡狀態(tài)

則是不穩(wěn)定的，因為稍加擾動就會偏離平衡狀態(tài)。由此可見，非線性系統(tǒng)的平衡點不止一個，在某些平衡點非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，但在另一些平衡點卻是不穩(wěn)定的。2.可能產(chǎn)生自激振蕩

描述線性系統(tǒng)的微分方程可能有一個周期運動解，然而在實際系統(tǒng)中，這樣的周期運動是不能穩(wěn)定持續(xù)下去的。以二階無阻尼系統(tǒng)為例，其自由運動的解為

，其中角速度

由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，而振幅

和相角

取決于初始狀態(tài)。當系統(tǒng)受到干擾信號的影響時，

和

的值都會發(fā)生變化，原來的周期運動便不能持續(xù)下去，因此這種周期運動是不穩(wěn)定的。

對于非線性系統(tǒng)，即使在沒有外作用的情況下，也有可能產(chǎn)生固定頻率和振幅的周期運動，并且在擾動作用消失后，系統(tǒng)仍能保持原來頻率和振幅的周期運動，也就是說這種周期運動具有穩(wěn)定性。該周期運動稱為自激振蕩，簡稱自振。自激振蕩是非線性系統(tǒng)特有的運動現(xiàn)象，是非線性控制理論研究的重要問題之一。

應當指出，系統(tǒng)長時間大幅度的振蕩會造成不可逆的機械磨損，并增加系統(tǒng)的控制誤差，多數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自激振蕩發(fā)生，但在有些控制系統(tǒng)中，適當?shù)囊敫哳l小幅度的振蕩卻有利于系統(tǒng)克服間隙和死區(qū)等非線性因素產(chǎn)生的不良影響。因此研究自激振蕩的產(chǎn)生條件及抑制，確定自激振蕩的頻率和周期，是非線性系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。3.頻率響應發(fā)生畸變

由第五章的內(nèi)容可知，線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，僅在幅值和相位上與輸入不同。針對這一特點，可以利用頻率特性的概念描述系統(tǒng)動態(tài)特性。而對于非線性系統(tǒng)，其頻率響應除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量外，還含有高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。因此線性系統(tǒng)的頻域分析法不再適用于非線性系統(tǒng)。

在非線性系統(tǒng)的分析和控制中，還會產(chǎn)生一些其他與線性系統(tǒng)明顯不同的現(xiàn)象，在此不再贅述。8.1.2典型非線性特性一般測量元件、放大器以及執(zhí)行機構(gòu)都不同程度地存在不靈敏區(qū)。例如電動機由于軸上存在著摩擦力矩和負載力矩，只有在電樞電壓達到一定數(shù)值后電動機才會轉(zhuǎn)動。這種在輸入信號比較小時沒輸出，只有在輸入量超過一定值后才有輸出的特性稱為死區(qū)（不靈敏區(qū)）非線性特性。典型的死區(qū)特性如圖8-1-2所示，其數(shù)學表達式為1.死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性

式中，

是死區(qū)寬度，K為死區(qū)外直線的斜率。死區(qū)特性的存在，一方面會使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，跟蹤精度降低，另一方面死區(qū)能濾去從輸入端引入的小幅值干擾信號，可以提高系統(tǒng)抗擾動的能力。飽和特性是指輸出和輸入之間的線性關系只能維持在一定的輸入范圍內(nèi)，當輸入超出這個范圍時，輸出被限制在一個常數(shù)值。例如晶體管放大器有一個線性工作范圍，超出這個范圍，放大器就會出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。典型的飽和特性如圖8-1-3所示，其數(shù)學表達式為2.飽和特性式中，a為線性區(qū)寬度；K為線性區(qū)的斜率。

飽和特性的存在一般將使系統(tǒng)開環(huán)增益降低，從而導致系統(tǒng)過渡過程時間增加，穩(wěn)態(tài)誤差變大。但在有些控制系統(tǒng)中，人們有目的地引入飽和非線性環(huán)節(jié)，例如在具有轉(zhuǎn)速和電流反饋的雙閉環(huán)直流調(diào)速系統(tǒng)中，把速度調(diào)節(jié)器和電流調(diào)節(jié)器有意識地設計成具有飽和非線性特性，以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和限制系統(tǒng)的最大電流。在各種傳動機構(gòu)中，由于機械加工精度的限制和工藝裝配的需要，間隙的出現(xiàn)是不可避免的。例如齒輪傳動中，如果主動輪改變運動方向，只有當主動輪反向移動消除間隙后，從動輪才隨主動輪運行。典型的間隙特性如圖8-1-4所示，其數(shù)學表達式為3.間隙特性式中，2b為間隙寬度，K為間隙特性斜率。

間隙特性的存在，通常會使系統(tǒng)輸出在相位上產(chǎn)生滯后，從而導致系統(tǒng)穩(wěn)定裕量減小，動態(tài)性能變壞，甚至使系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩。繼電器是廣泛應用于控制系統(tǒng)、保護裝置和通信設備中的器件。由于繼電器吸合及釋放狀態(tài)下磁路的磁阻不同，吸合與釋放電壓是不相同的。因此，繼電特性輸入輸出關系不完全是單值的，圖8-1-5所示為具有滯環(huán)的三位置繼電特性，其數(shù)學表達式為4.繼電特性式中，h為繼電器吸合電壓，mh為繼電器釋放電壓，M為飽和輸出。當

時，繼電特性成為純滯環(huán)的兩位置繼電特性，如圖8-1-6所示。當

時，成為具有三位置的死區(qū)繼電特性，如圖8-1-7所示。當

時，則成為理想繼電特性，如圖8-1-8所示。繼電特性的存在一般會使系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩，甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且也使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。8.1.3MATLAB實現(xiàn)在MATLAB的Simulink中，不連續(xù)系統(tǒng)模塊庫（Discontinuous）提供了12種常見的標準非線性特性模塊，如間隙、死區(qū)、繼電、飽和、開關等。對非線性系統(tǒng)進行仿真時，可以直接調(diào)用這些非線性模塊，對于Simulink中沒有提供的非線性模塊，則需要開發(fā)人員按照具體的非線性特性編程實現(xiàn)，然后進行模塊封裝，以便后期調(diào)用。解：在Simulink環(huán)境下搭建仿真模型如圖8-1-9所示。對各個模塊進行參數(shù)設置，如設定SineWave模塊的幅值Amplitude為1，角頻率Frequency為1rad/s，初相角Phase為0；設置Backlash模塊的Deadbandwidth為0.8。仿真運行，雙擊Scope圖標，就可以得到系統(tǒng)的仿真曲線如圖8-1-10所示。由圖可見，間隙非線性特性使系統(tǒng)輸出在相位上產(chǎn)生了明顯的滯后。8.1.