自動(dòng)控制原理 課件 8.3 描述函數(shù)法

8.3描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是達(dá)尼爾于1940年提出的非線性系統(tǒng)分析方法。該方法主要用來(lái)分析在沒(méi)有輸入信號(hào)作用下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩問(wèn)題。描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，但具有一定的近似性，并且只能用來(lái)研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，不能給出時(shí)間響應(yīng)的確切信息。8.3.1描述函數(shù)的概念設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性為當(dāng)輸入量為正弦信號(hào)

時(shí)，輸出量

一般都是非正弦周期信號(hào)，將其展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)為式中，A0為直流分量，An和

Bn為傅里葉系數(shù)，

為第

n次諧波分量，且有該式表明，非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)可近似為一次諧波分量，具有與線性環(huán)節(jié)類(lèi)似的頻率響應(yīng)形式。若

且

當(dāng)時(shí)，

均很小，則仿照線性系統(tǒng)頻率特性的概念，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)定義為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)中一次諧波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比，用

表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為顯然，描述函數(shù)是輸入正弦信號(hào)幅值

X的函數(shù)。由于在描述函數(shù)的定義中，只考慮了非線性環(huán)節(jié)輸出中的一次諧波分量，而忽略了高次諧波的影響，因此這種方法也被稱(chēng)為諧波線性化方法。解：例8-8設(shè)某非線性元件的特性為,求該非線性元件的描述函數(shù)。由于非線性特性是單值奇對(duì)稱(chēng)的，因而

是奇函數(shù),故

，

，

。而因此非線性元件的描述函數(shù)為8.3.2典型非線性特性的描述函數(shù)1.死區(qū)特性的描述函數(shù)

式中，

是死區(qū)寬度，K為死區(qū)外直線的斜率。死區(qū)特性及其在正弦信號(hào)

作用下的輸出波形如圖8-3-1所示。輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式為由于死區(qū)特性是單值奇對(duì)稱(chēng)的，所以

，

，

。由圖8-3-1可知

，故

，于是可求出

B1為死區(qū)特性的描述函數(shù)為由式可知，死區(qū)特性的描述函數(shù)是一個(gè)與輸入幅值有關(guān)的實(shí)函數(shù)。當(dāng)輸入幅值

X很大或死區(qū)寬度

很小時(shí)，

，

，可認(rèn)為描述函數(shù)等于線性段的斜率，死區(qū)的影響可以忽略不計(jì)。2.飽和特性的描述函數(shù)式中，a為線性區(qū)寬度；K為線性區(qū)的斜率。飽和特性及其在正弦信號(hào)

作用下的輸出波形如圖8-3-2所示。輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式為由于飽和特性是單值奇對(duì)稱(chēng)的，所以

，

，

。由圖8-3-2可知

，故

，于是可求出

B1為飽和特性的描述函數(shù)為由式可知，飽和特性的描述函數(shù)是一個(gè)與輸入幅值有關(guān)的實(shí)函數(shù)。3.間隙特性的描述函數(shù)間隙特性及其在正弦信號(hào)

作用下的輸出波形如圖8-3-3所示。輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中，

由于間隙特性是多值函數(shù)，在正弦信號(hào)作用下的輸出

y(t)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。故須分別求

A1和

B1為間隙特性的描述函數(shù)為由式可知，間隙特性的描述函數(shù)是一個(gè)與輸入幅值有關(guān)的復(fù)函數(shù)。很明顯，對(duì)于一次諧波，間隙非線性特性會(huì)引起相角滯后。4.繼電特性的描述函數(shù)式中，M為繼電元件的輸出值。具有滯環(huán)和死區(qū)的繼電特性及其在正弦信號(hào)

作用下的輸出波形如圖8-3-4所示。輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式為由圖可知，且

，因此可求出分別為由于具有滯環(huán)和死區(qū)的繼電特性是多值函數(shù)，在正弦信號(hào)作用下的輸出

y(t)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。故須分別求

A1和

B1為因此繼電特性的描述函數(shù)為式中，當(dāng)參數(shù)

h

和

m

取不同值時(shí)，得到幾種特殊形式的繼電特性描述函數(shù)。(1)若

h=0，則可得兩位置理想繼電特性的描述函數(shù)為(2)若

m=1，則可得三位置死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為(3)若

m=-1，則可得具有滯環(huán)的兩位置繼電特性的描述函數(shù)為8.3.3非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法如前所述，非線性元件的描述函數(shù)是線性系統(tǒng)頻率特性概念的一種延伸和推廣。利用描述函數(shù)的概念，在一定條件下可以將非線性系統(tǒng)近似等效為一個(gè)線性系統(tǒng)，并可借用線性系統(tǒng)的頻域法對(duì)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩進(jìn)行分析。1.

描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的應(yīng)用條件應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時(shí)，要求系統(tǒng)滿足以下假設(shè)條件。(1)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的要求。非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為一個(gè)非線性環(huán)節(jié)

和一個(gè)線性部分

閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖8-3-5所示。(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是奇對(duì)稱(chēng)的，這樣能夠保證非線性特性在正弦信號(hào)作用下輸出的直流分量

，而且

中一次諧波分量幅值占優(yōu)。(3)線性部分具有較好的低通濾波性能。當(dāng)非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號(hào)時(shí)，實(shí)際輸出必定含有高次諧波分量，經(jīng)線性部分的低通濾波特性，高次諧波分量被大大削弱，閉環(huán)通道內(nèi)近似只有一次諧波分量流通。線性部分的階次越高，低通濾波性能越好，使用描述函數(shù)法所得結(jié)果越準(zhǔn)確。欲具有低通濾波性能，線性部分G(s)的極點(diǎn)應(yīng)位于

s平面的左半平面，即G(s)為最小相位環(huán)節(jié)。

若非線性系統(tǒng)滿足以上三個(gè)假設(shè)條件，則非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)可以等效為一個(gè)具有復(fù)變?cè)鲆娴谋壤h(huán)節(jié)，非線性系統(tǒng)經(jīng)過(guò)諧波線性化處理后變成一個(gè)等效的線性系統(tǒng)，就可以應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率穩(wěn)定判據(jù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析對(duì)于圖8-3-5所示的典型非線性系統(tǒng)，如果非線性特性的描述函數(shù)是

，線性部分的頻率特性是

，可以寫(xiě)出閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為即式中，

稱(chēng)為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)。在復(fù)平面上可以繪制出

隨

X變化而變化的曲線，即負(fù)倒描述函數(shù)曲線。

曲線上箭頭表示隨

X增大，

的變化方向。與線性系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)相比，

曲線相當(dāng)于線性系統(tǒng)中臨界穩(wěn)定點(diǎn)

。只是在非線性系統(tǒng)中，表示臨界情況的不是一個(gè)點(diǎn)，而是一條

曲線。這樣可根據(jù)線性系統(tǒng)中的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)來(lái)判別非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其內(nèi)容如下：若

曲線不包圍

曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若

曲線包圍

曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定；若

曲線與

曲線有交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)非線性系統(tǒng)做等幅周期運(yùn)動(dòng)，如果該周期運(yùn)動(dòng)能夠穩(wěn)定持續(xù)下去，即在外界小擾動(dòng)作用下使系統(tǒng)偏離該周期運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)該擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)仍能恢復(fù)原周期運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的自激振蕩。以理想繼電特性為例，其描述函數(shù)為負(fù)倒描述函數(shù)為若非線性系統(tǒng)的線性部分G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，這時(shí)

曲線將

曲線完全包圍，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定；若

G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，此時(shí)

曲線沒(méi)有包圍

曲線，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，此時(shí)

曲線與

曲線有交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)，若周期運(yùn)動(dòng)能穩(wěn)定的持續(xù)下去，便是系統(tǒng)的自激振蕩。3.非線性系統(tǒng)的自激振蕩或若

曲線與

曲線有交點(diǎn)，則在交點(diǎn)處必然滿足根據(jù)上兩式可解得交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的頻率

和幅值

X。非線性系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性可以利用如下判別方法加以判別。在復(fù)平面上，將G(jω)曲線包圍曲線-1/N(X)的區(qū)域視為不穩(wěn)定區(qū)，而不被G(jω)曲線包圍的區(qū)域視為穩(wěn)定區(qū)，如圖8-3-8所示。若交點(diǎn)處的-1/N(X)曲線沿著振幅增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，該點(diǎn)即為自激振蕩點(diǎn)。反之，如果在交點(diǎn)處的-1/N(X)曲線沿著振幅增加的方向由穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，該點(diǎn)不是自激振蕩點(diǎn)。在這種情況下，該點(diǎn)的幅值X確定一個(gè)邊界，當(dāng)系統(tǒng)起始振幅小于這個(gè)邊界值時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程收斂，反之，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程將趨于發(fā)散或趨于一個(gè)幅值更大的自激振蕩運(yùn)動(dòng)。例8-9某非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-3-9所示，其中M=1，K=10。試分析系統(tǒng)是否存在自激振蕩，如果存在，試確定自激振蕩參數(shù)。解:理想繼電特性描述函數(shù)為負(fù)倒描述函數(shù)為根據(jù)自激振蕩條件可得即比較實(shí)部和虛部有解得因此，自激振蕩頻率為

，振幅為

。例8-10某非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-3-11所示，試采用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)出現(xiàn)自激振蕩，如何消除？解:由表8-3-1查得死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為負(fù)倒描述函數(shù)為線性部分G(jω)曲線的穿越頻率為繪出死區(qū)繼電特性的負(fù)倒描述函數(shù)曲線如圖8-3-12所示。G(jω)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為由此可畫(huà)出幅相特性曲線如圖8-3-12所示。由圖8-3-12可知，當(dāng)

，即

時(shí)，G1(jω)曲線沒(méi)有包圍-1/N(X)曲線，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)

，即

時(shí)，G2(jω)曲線與-1/N(X)曲線相交于兩點(diǎn)

c和

d，通過(guò)分析可知，c點(diǎn)對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，d點(diǎn)對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，即自激振蕩。通過(guò)上述分析表明，若想消除自激振蕩，可通過(guò)減小線性部分

G(s)的增益K或改變死區(qū)繼電特性的參數(shù)

h或

M

的辦法消除。在實(shí)際應(yīng)用中也可加入串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)消除自激振蕩。8.3.4MATLAB實(shí)現(xiàn)例8-11非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-3-13所示，其中

。試判斷系統(tǒng)是否存在自激振蕩。若存在自激振蕩，求出自激振蕩的振幅和頻率。解:MATLAB程序如下。clc;clearx=1:0.1:20;disN=40/pi./x.*sqrt(1-x.^(-2))-j*40/pi./x.^2;disN2=-1./disN;w=1:0.01:200;num=12;den=conv([11],[1613]);[rem,img,w]=nyquist(num,den,w);plot(real(disN2),imag(disN2),rem,img)grid;xlabel('Re');ylabel('Im');運(yùn)行結(jié)果如圖8-3-14所示。由圖可知，

曲線與

曲線相交，且曲線沿

X增大方向，由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，說(shuō)明系統(tǒng)存在自激振蕩。通過(guò)對(duì)曲線交點(diǎn)的局部放大，如圖8