江蘇省南通市2022年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

13/24江蘇省南通市2022年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。1．下列四個(gè)圖形中，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．解：選項(xiàng)A、C、D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)B不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故選：B．2．下列計(jì)算正確的是（）A．（﹣2）2＝﹣4 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．x6÷x2＝x4【分析】利用冪的乘方的法則，合并同類項(xiàng)的法則，積的乘方的法則，同底數(shù)冪的除法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．解：A、（﹣2）2＝4，故A不符合題意；B、a2與a3不屬于是同類項(xiàng)，不能合并，故B不符合題意；C、（3a2）2＝9a4，故C不符合題意；D、x6÷x2＝x4，故D符合題意；故選：D．3．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為80°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°【分析】先分情況討論：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的頂角，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算．解：當(dāng)80°是等腰三角形的頂角時(shí)，則頂角就是80°；當(dāng)80°是等腰三角形的底角時(shí)，則頂角是180°﹣80°×2＝20°．故選：D．4．已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，則∠E的度數(shù)，DE的長分別為（）A．30°，3 B．60°，3 C．60°，6 D．30°，6【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．解：因?yàn)镽t△ABC≌Rt△DEF，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，所以∠E＝∠B＝90°﹣30°＝60°，DE＝AB＝6，故選：C．5．若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展開式中不含x的二次項(xiàng)，則m的值是（）A．0 B． C．﹣ D．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的積中不含x的二次項(xiàng)，可以求得m的值，本題得以解決．解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，因?yàn)椋▁2﹣mx+6）（3x﹣2）的積中不含x的二次項(xiàng)，所以2+3m＝0，解得m＝﹣．故選：C．6．如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】過D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DF＝DE＝2，根據(jù)S△ADB+S△ADC＝7和三角形面積公式求出即可．解：如圖，過D作DF⊥AC于F，因?yàn)锳D是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE＝2，所以DE＝DF＝2，因?yàn)镾△ABC＝7，所以S△ADB+S△ADC＝7，所以×AB×DE+×AC×DF＝7，所以×4×2+×AC×2＝7，解得：AC＝3．故選：A．7．若a＝20210，b＝2020×2022﹣20212，c＝（）2020×（）2021，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【分析】先利用零指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算a，利用平方差公式化簡(jiǎn)求出b，利用積的乘方的運(yùn)算法則求出c，再利用有理數(shù)大小的比較方法，比較a、b、c得結(jié)論．解：a＝20210＝1；b＝2020×2022﹣20212＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212＝20212﹣1﹣20212＝﹣1；c＝（﹣）2020×（）2021＝（﹣×）2020×＝；所以b＜a＜c．故選：B．8．如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別AB、AC是上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且點(diǎn)A′在△ABC外部，則陰影部分的周長為（）cmA．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意得AE＝A′E，AD＝A′D，故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為三角形ABC的周長．解：將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，所以AD＝A′D，AE＝A′E．則陰影部分圖形的周長等于BC+BD+CE+A′D+A′E，＝BC+BD+CE+AD+AE，＝BC+AB+AC，＝3cm．故選：C．9．如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF＝b，則AC的長為（）A．a(chǎn)+b B．2b C．1.5b D．b【分析】延長AD到點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM，證明△ADC≌△BDM（SAS），得出∠M＝∠CAD，BM＝AC，進(jìn)而得出∠BMF＝∠BFM即可得出答案．解：延長AD到點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM，在△ADC和△BDM中，，所以△ADC≌△BDM（SAS），所以∠M＝∠CAD，BM＝AC，因?yàn)锳E＝EF＝a，所以∠CAD＝∠AFE，因?yàn)椤螹FB＝∠AFE，所以∠BMF＝∠BFM，所以BM＝BF，所以AC＝BF＝b．故選：D．10．我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)》所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖所示的三角形解釋（a+b）”展開式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．（a+b）0……1（a+b）1……11（a+b）2……121（a+b）3……133l（a+b）4……14641（a+b）5……15101051如：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．利用上面的規(guī)律計(jì)算1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1的值為（）A．1065 B．1015C．1010 D．955【分析】根據(jù)“楊輝三角”可得，1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1＝1010．解：由“楊輝三角”可得，1015﹣5×1014+10×1013﹣10×1012+5×101﹣1＝（101﹣1）5＝1005＝（102）5＝1010．故選：C．二、填空題本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上。11．點(diǎn)（2，﹣3）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）．【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣x，y），即關(guān)于縱軸的對(duì)稱點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成相反數(shù)．解：點(diǎn)（2，﹣3）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3），故答案為（﹣2，﹣3）．12．若a﹣b＝8，ab＝﹣15，那么a2+b2的值為34．【分析】利用完全平方公式，把a(bǔ)2+b2化為（a﹣b）2+2ab求解即可．解：因?yàn)閍﹣b＝8，ab＝﹣15，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64﹣30＝34．故答案為：34．13．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，BE＝2，則DE的長是2．【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠BDE，等量代換得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到結(jié)論．解：因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD，因?yàn)镈E∥AB，所以∠ABD＝∠BDE，所以∠DBE＝∠BDE，所以DE＝BE，因?yàn)锽E＝2，所以DE＝2．故答案為：2．14．已知x，y為正整數(shù)且y＝5x，則9x+y÷27y﹣x＝1．【分析】利用冪的乘方對(duì)所求的式子進(jìn)行整理，再利用同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行運(yùn)算即可．解：因?yàn)閥＝5x，所以9x+y÷27y﹣x＝32x+2y÷33y﹣3x＝32x+2y﹣3y+3x＝35x﹣y＝35x﹣5x＝30＝1．故答案為：1．15．如圖，在△ABC中，AC＝8cm，ED垂直平分AB，如果△EBC的周長是14cm，那么BC的長度為6cm．【分析】根據(jù)周長公式代入即可求出BC的長．解：因?yàn)镋D垂直平分AB，所以AE＝BE則△EBC的周長是BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+（CE+EA）＝BC+AC又因?yàn)椤鱁BC的周長是14cm，所以BC+AC＝14，即BC+8＝14所以BC＝6cm，BC＝6cm．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，BD＝CE，F(xiàn)是AC邊上的離點(diǎn)A較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則AD﹣EF的值＜4（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】根據(jù)SAS證明△ADB和△AEC全等，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系解答即可．解：連接AE，因?yàn)锳B＝AC＝12，所以∠B＝∠C，在△ADB和△AEC中，，所以△ADB≌△AEC（SAS），所以AD＝AE，在△AEF中，AE﹣EF＜AF，所以AD﹣EF＜AF，因?yàn)镕是AC邊上的離點(diǎn)A較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以AF＝4，所以AD﹣EF＜4，故答案為：＜．17．如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面結(jié)論：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正確的有①②③④．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）【分析】連接BO，由線段垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角的和差求出∠APO＝∠ACO，∠APO+∠DCO＝30°，由三角形的內(nèi)角和定理，角的和差求出∠POC＝60°，再由等邊三角的判定證明△OPC是等邊三角形，得出PC＝PO，∠PCO＝60°，推出∠APO+∠PCB＝90°，由角的和差，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的和差和等量代換求出AO+AP＝AC，即可得出結(jié)果．解：連接BO，如圖1所示：因?yàn)锳B＝AC，AD⊥BC，所以BO＝CO，所以∠OBC＝∠OCB，又因?yàn)镺P＝OC，所以O(shè)P＝OB，所以∠OBP＝∠OPB，又因?yàn)樵诘妊鰽BC中∠BAC＝120°，所以∠ABC＝∠ACB＝30°，所以∠OBC+∠OBP＝∠OCB+∠ACO，所以∠OBP＝∠ACO，所以∠APO＝∠ACO，故①正確；又因?yàn)椤螦BC＝∠PBO+∠CBO＝30°，所以∠APO+∠DCO＝30°，因?yàn)椤螾BC+∠BPC+∠BCP＝180°，∠PBC＝30°，所以∠BPC+∠BCP＝150°，又因?yàn)椤螧PC＝∠APO+∠CPO，∠BCP＝∠BCO+∠PCO，∠APO+∠DCO＝30°，所以∠OPC+∠OCP＝120°，又因?yàn)椤螾OC+∠OPC+∠OCP＝180°，所以∠POC＝60°，又因?yàn)镺P＝OC，所以△OPC是等邊三角形，所以PC＝PO，∠PCO＝60°，故③正確；所以∠APO+∠DCO+∠PCO＝30°+60°，即：∠APO+∠PCB＝90°，故②正確；在線段AC上截取AE＝AP，連接PE，如圖2所示：因?yàn)椤螧AC+∠CAP＝180°，∠BAC＝120°，所以∠CAP＝60°，所以△APE是等邊三角形，所以AP＝EP，又因?yàn)椤鱋PC是等邊三角形，所以O(shè)P＝CP，又因?yàn)椤螦PE＝∠APO+∠OPE＝60°，∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝60°，所以∠APO＝∠EPC，在△APO和△EPC中，所以△APO≌△EPC（SAS），所以AO＝EC，又因?yàn)锳C＝AE+EC，AE＝AP，所以AO+AP＝AC，故④正確；故答案為：①②③④．18．如圖，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E為CD的中點(diǎn)，若∠AEB＝120°，則AB的最大值為14．【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CA'、EA'、ED'、C'D'、D'B，證明△C′ED′為等邊三角形，即可解決問題．解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CA'、EA'、ED'、C'D'、D'B，因?yàn)椤螦EB＝120°，所以∠AEC+∠DEB＝60°，所以∠CEC′+∠DED′＝60°，所以∠C′ED′＝60°，因?yàn)镋C′＝ED′，所以△C′ED′為等邊三角形因?yàn)锳B≤AC′+C′D′+D′B＝CA+CE+BD＝2+4+8＝14，所以AB的最大值為14，答案為：14．三、解答題19．△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．（1）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；（2）請(qǐng)直接寫出A1，B1，C1三點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小．【分析】（1）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）根據(jù)所作圖形即可得出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，再連接A′B，與直線l的交點(diǎn)即為所求．解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）A1（﹣2，﹣3），B1（﹣3，﹣1），C1（1，2）．（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．20．計(jì)算：（1）（x3）2?x2﹣（﹣x）9÷x；（2）（x+1）（4x﹣2）﹣4（x+1）2．【分析】（1）先計(jì)算冪的乘方，然后算乘除，最后算減法；（2）先根據(jù)完全平方公式計(jì)算乘方，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算乘法，最后算加減．解：（1）原式＝x6?x2+x9÷x＝x8+x8＝2x8；（2）原式＝4x2﹣2x+4x﹣2﹣4（x2+2x+1）＝4x2﹣2x+4x﹣2﹣4x2﹣8x﹣4＝﹣6x﹣6．21．先化簡(jiǎn)，再求值：（2ab3﹣4a2b2）÷2ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1．【分析】原式先算乘除，然后再算加減，最后代入求值．解：原式＝b2﹣2ab+4a2﹣b2＝4a2﹣2ab，當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，原式＝4×22﹣2×2×1＝16﹣4＝12．22．如圖，已知點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，BD＝DE，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF＝CF，DF＝EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）證明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性質(zhì)則可得出答案．【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．因?yàn)锳B＝AC，AD＝AE．所以BF＝CF，DF＝EF，所以BD＝CE．（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，DA＝DB，因?yàn)镈B＝DE，所以DA＝DE，因?yàn)锳D＝EA，所以DA＝DE＝AE，所以△ADE是等邊三角形，所以∠ADE＝60°，因?yàn)椤螦DE是△ADB的外角，所以∠ADE＝∠B+∠BAD，因?yàn)镈A＝DB，所以∠B＝∠BAD＝30°．23．閱讀理解：整體代換是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．例如：計(jì)算2（2m+n）﹣5（2m+n）+（2m+n）時(shí)可將（2m+n）看成一個(gè)整體，合并同類項(xiàng)得﹣2（2m+n），再利用分配律去括號(hào)得﹣4m﹣2n．（1）若已知2m+n＝2，請(qǐng)你利用整體思想求代數(shù)式1﹣6m﹣3n的值；（2）一正方形邊長為2m+n，將此正方形的邊長增加1之后，其面積比原來正方形的面積大9，求2m+n的值．【分析】（1）把2m+n看作一個(gè)整體，將1﹣6m﹣3n化簡(jiǎn)為1﹣3（2m+n），然后代入計(jì)算；（2）將2m+n看成一個(gè)整體，將[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9進(jìn)行求解即可．解：（1）因?yàn)?﹣6m﹣3n＝1﹣3（2m+n），所以當(dāng)2m+n＝2時(shí)，原式＝1﹣3×2＝1﹣6＝﹣5，所以代數(shù)式1﹣6m﹣3n的值為﹣5；（2）由題意得，[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9，所以（2m+n）2+2（2m+n）+1﹣（2m+n）2＝9，解得：2m+n＝4，所以2m+n的值為424．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（90°＜α＜180°）．（1）AC邊上的高＝AB邊上的高（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如圖2，若點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，且CE＝BD，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出證明：如果不相等，請(qǐng)說說理由；（3）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BA的延長線上，且CE＝BD，當(dāng)α＝120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AE，AD，AB之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）設(shè)AC邊上的高為h1，AB邊上的高為h2，利用面積法證明即可；（2）結(jié)論：AE＝AD．如圖（2）中，過點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點(diǎn)B作BN⊥CA交CA的延長線于N．證明Rt△CME≌Rt△BND（HL），可得結(jié)論；（3）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝AB．證明AT＝AC?cos（180°﹣120°）＝AC，可得結(jié)論．解：（1）設(shè)AC邊上的高為h1，AB邊上的高為h2，因?yàn)镾△ABC＝?AC?h1＝?AB?h2，AB＝AC，所以h1＝h2，故答案為：＝；（2）結(jié)論：AE＝AD．理由：如圖（2）中，過點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點(diǎn)B作BN⊥CA交CA的延長線于N．因?yàn)椤螹＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，所以△CAM≌△BAN（AAS），所以CM＝BN，AM＝AN，因?yàn)椤螹＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝NM，所以Rt△CME≌Rt△BND（HL），所以EM＝DN，因?yàn)锳M＝AN，所以AE＝AD．②如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝AB．理由：在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點(diǎn)C作CT⊥AE于T．因?yàn)镃E′＝BD，CE＝BD，所以CE＝CE′，因?yàn)镃T⊥EE′，所以ET＝TE′，因?yàn)锳T＝AC?cos（180°﹣120°）＝AC，因?yàn)锳B＝AC，所以AE﹣AD＝2AT＝AB．25．定義：若am＝b，則Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，則L28＝3．（1）運(yùn)用以上定義，計(jì)算L525﹣L22；（2）如果L23＝x，L4（）＝y(tǒng)，求x+2y的值．【分析】（1）由定義和冪的運(yùn)算可得，L525＝2，L22＝1，進(jìn)行求解即可；（2）由定義可得2x＝3，4y＝22y＝，所以2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，可求得結(jié)果為3．解：因?yàn)?2＝25，21＝2，所以L525＝2，L22＝1，所以L525﹣L22＝2﹣1＝1；（2）由定義可得2x＝3，4y＝22y＝，所以2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，所以x+2y的值是3．26．（1）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠B