云南省曲靖市宣威三中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

云南省曲靖市宣威三中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)與的圖象上存在關于直線對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．3．已知角的終邊經過點，則的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或4．圓心為且和軸相切的圓的方程是（）A． B．C． D．5．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或6．設函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關于直線對稱，且在區(qū)間上是單調函數(shù)，則（）A． B． C． D．7．如圖，在中，，且，則（）A．1 B． C． D．8．是虛數(shù)單位，則（）A．1 B．2 C． D．9．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則11．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．112．復數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線上到其焦點距離為5的點有_______個．14．已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為__15．已知數(shù)列滿足對任意，若，則數(shù)列的通項公式________．16．設函數(shù)，若存在實數(shù)m，使得關于x的方程有4個不相等的實根，且這4個根的平方和存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡，現(xiàn)將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡員，要求每組的聯(lián)絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結論不要求證明)18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線與曲線的普通方程，并求出直線的傾斜角；（2）記直線與軸的交點為是曲線上的動點，求點的最大距離.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）設，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求實數(shù)的值.20．（12分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區(qū)域內原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點．已知長為40米,設為．（上述圖形均視作在同一平面內）（1）記四邊形的周長為,求的表達式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值．21．（12分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.22．（10分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質數(shù)）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當點G的橫坐標為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，可得有解，令，則，對分類討論，得出時，取得極大值，也即為最大值，進而得出結論.【詳解】解：由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，即有解，令，則，則當時，；當時，，故時，取得極大值，也即為最大值，當趨近于時，趨近于，所以滿足條件．故選：C.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質的基本方法，考查化歸與轉化等數(shù)學思想，考查抽象概括、運算求解等數(shù)學能力，屬于難題．2、D【解析】

利用數(shù)列的遞推關系式判斷求解數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當時，．所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．3、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結論．【詳解】由題意得點與原點間的距離．①當時，，∴，∴．②當時，，∴，∴．綜上可得的值是或．故選B．【點睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r，然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．4、A【解析】

求出所求圓的半徑，可得出所求圓的標準方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為，因此，所求圓的方程為.故選：A.【點睛】本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計算能力，屬于基礎題.5、D【解析】

根據(jù)題意得，設與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【詳解】因為，，則，所以，設與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對稱軸及單調性即可確定的值，進而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關于直線對稱可得，，即，，由函數(shù)的單調區(qū)間知，，即，綜上，則，.故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質的綜合應用，由對稱軸、奇偶性及單調性確定參數(shù)，屬于中檔題.7、C【解析】

由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關系，再由三點共線，又得到一個關于的關系，從而可求得答案【詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關知識，結合圖形尋找各向量間的關系，屬于中檔題.8、C【解析】

由復數(shù)除法的運算法則求出，再由模長公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法和模，屬于基礎題.9、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內,則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內,所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應用,屬于基礎題.10、C【解析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題．11、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.12、D【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，從而求得，然后直接利用復數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關復數(shù)的問題，涉及到的知識點有復數(shù)的乘除運算，復數(shù)的共軛復數(shù)，復數(shù)的模，屬于基礎題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

設符合條件的點,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設符合條件的點,則,所以符合條件的點有2個.故答案為:2【點睛】本題考查拋物線的定義的應用,考查拋物線的焦半徑.14、1【解析】

根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經過圓心，將圓心坐標代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因為直線被圓截得的弦長為2，

所以直線經過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質，屬基礎題．15、【解析】

由可得，利用等比數(shù)列的通項公式可得，再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結論.【詳解】由，得，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，，，，，滿足上式，.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式，遞推公式轉化為等比數(shù)列是解題的關鍵，利用累加法求通項公式，屬于中檔題.16、【解析】

先確定關于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數(shù)思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當時，，此時，此時函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，方程最多2個不相等的實根，舍；當時，函數(shù)圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)萬；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)比例關系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在分以上的有人，故人數(shù)為：萬人.(Ⅱ)8名男生中，測試成績在70分以上的有人，的可能取值為：.，，.故分布列為：.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，故.故的最小值為.【點睛】本題考查了樣本估計總體，分布列，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、（1），，直線的傾斜角為（2）【解析】

（1）由公式消去參數(shù)得普通方程，由公式可得直角坐標方程后可得傾斜角；（2）求出直線與軸交點，用參數(shù)表示點坐標，求出，利用三角函數(shù)的性質可得最大值．【詳解】（1）由，消去得的普通方程是：由，得，將代入上式，化簡得直線的傾斜角為（2）在曲線上任取一點，直線與軸的交點的坐標為則當且僅當時，取最大值.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，屬于基礎題．求兩點間距離的最值時，用參數(shù)方程設點的坐標可把問題轉化為三角函數(shù)問題．19、(1)(2)【解析】

（1）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結論．（2）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)，畫出f（x）的圖像，找出利用條件求得a的值．【詳解】（1）時，.當時，即為，解得.當時，，解得.當時，，解得.綜上，的解集為.（2）.，由的圖象知，，.【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法及含絕對值的函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題20、（1）,．（2）【解析】

（1）由余弦定理的,然后根據(jù)直線與圓相切的性質求出,從而求出;（2）求得的表達式,通過求導研究函數(shù)的單調性求得最大值.【詳解】解：（1）連．由條件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因為與半圓相切于,所以,所以,所以．所以四邊形的周長為,．（2）設四邊形的面積為,則,．所以,．令,得列表：+0-增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為．【點睛】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關系、導數(shù)與函數(shù)最值的關系,考查考生的邏輯思維能力,運算求解能力,以及函數(shù)與方程的思想.21、（1）見解析（2）.【解析】

（1）與平面垂直，過點作與平面平行的平面即可（2）建立空間直角坐標系求線面角正弦值【詳解】解：（1）截面如下圖所示：其中，，，，分別為邊，，，，的中點，則垂直于平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的一個法向量為，則.不妨取，則，所以與該平面所成角的正弦值為.（若將作為該平面法向量，需證明與該平面垂直）【點睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法，中檔題.22、（1）（2）當G點橫坐標為整數(shù)時，S不是整數(shù)．【解析】

（1）先求解導數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結合點G的橫坐標為整數(shù)進行判斷.【詳解】（1）設，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上，所以直線AB的方程為，又因為直線AB過點F(0，p)，所以，即G點軌跡方程為；（2）設點G(，)，由（1）可知，直線AB的方