新教材適用2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)練案39第七章立體幾何第二講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

練案[39]其次講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面；③空間中假如一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同始終線的兩條直線必平行．其中正確命題的個數(shù)是(B)A．0 B．1C．3 D．4[解析]只有②正確，故選B.2．(2024·湖北名師聯(lián)盟模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，A1D1的中點(diǎn)，O為正方形A1B1C1D1的中心，則下列結(jié)論正確的是(C)A．直線EF，AO是異面直線B．直線EF，BB1是相交直線C．直線EF與BC1所成的角為30°D．直線EF與BB1所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3)[解析]OF綉AE，EF、AO是相交直線，A錯；EF、BB1是異面直線，B錯；如圖，OF綉B(tài)E，∴EF∥BO，∴∠C1BO(或其補(bǔ)角)即為EF與BC1所成的角，設(shè)正方體棱長為2，則BC1＝2eq\r(2)，OC1＝eq\r(2)，BO＝eq\r(6)，∴BCeq\o\al(2,1)＝OCeq\o\al(2,1)＋BO2，即BO⊥OC1，∴∠OBC1＝30°，C對；EF與BB1所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3)，D錯；故選C.3．(2024·河南濮陽模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，CC1＝2eq\r(2)，則異面直線AC1與A1B1所成的角為(C)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]連接AC1，BC1，易知∠BAC1為異面直線AC1與A1B1所成的角(圖略)．因?yàn)椤鰽BC1為直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，BC1＝eq\r(2\r(2)2＋22)＝2eq\r(3)，所以tan∠BAC1＝eq\r(3)，解得∠BAC1＝60°.故選C.4．(2024·山西運(yùn)城調(diào)研)如圖，等邊△ABC為圓錐的軸截面，D為AB的中點(diǎn)，E為弧BC的中點(diǎn)，則直線DE與AC所成角的余弦值為(C)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(3,4)[解析]取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OD，∵D為AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC，∴∠EDO(或其補(bǔ)角)即為DE與AC所成的角，由E為的中點(diǎn)得OE⊥BC，又平面ABC⊥平面BCE，∴OE⊥平面ABC，從而OE⊥OD，設(shè)正△ABC的邊長為2a，則OD＝a＝OE，∴cos∠EDO＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故選C.5．(2024·寧夏中衛(wèi)市模擬)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)AA1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，異面直線AB1與C1F所成角的余弦值為m，則(B)A．直線A1E與直線C1F異面，且m＝eq\f(\r(2),3)B．直線A1E與直線C1F共面，且m＝eq\f(\r(2),3)C．直線A1E與直線C1F異面，且m＝eq\f(\r(3),3)D．直線A1E與直線C1F共面，且m＝eq\f(\r(3),3)[解析]∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC∥A1C1，∴A1、C1、E、F共面，∴直線A1E與C1F共面．連接C1D，則C1D∥AB1，∴∠DC1F為AB1與C1F所成的角(或其補(bǔ)角)，連接DF，不妨令A(yù)A1＝eq\r(2)，則DF＝eq\r(5)，C1F＝eq\r(3)，DC1＝eq\r(6)，∴cos∠DC1F＝eq\f(3＋6－5,2×\r(3)×\r(6))＝eq\f(\r(2),3)，故選B.6.(2024·河南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D、E分別是AB、B1C1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD所成的角的余弦值為(C)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,3)C.eq\f(\r(58),29) D．eq\f(3\r(87),29)[解析]取A1C1的中點(diǎn)F，連接DF、EF、CF.易知四邊形BDFE是平行四邊形，所以DF∥BE.所以∠CDF是異面直線BE與CD所成的角．因?yàn)锳C＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，所以AB＝4eq\r(2)，CD＝2eq\r(2).CF＝eq\r(CC\o\al(2,1)＋C1F2)＝eq\r(29)，DF＝BE＝eq\r(BB\o\al(2,1)＋B1E2)＝eq\r(29).在△CDF中，由余弦定理得cos∠CDF＝eq\f(\r(29)2＋2\r(2)2－\r(29)2,2×\r(29)×2\r(2))＝eq\f(\r(58),29).故選C.7．(2024·江西南昌一模)如圖E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，得到空間四邊形ABCD，在折起過程中，下列說法正確的是(C)A．直線EF，HG有可能平行B．直線EF，HG肯定異面C．直線EF，HG肯定相交，且交點(diǎn)肯定在直線AC上D．直線EF，HG肯定相交，但交點(diǎn)不肯定在直線AC上[解析]∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(AH,DH)＝eq\f(1,2)，則EH∥BD，且EH＝eq\f(1,3)BD，又CF＝2FB，CG＝2GD，∴eq\f(CF,BF)＝eq\f(CG,GD)＝2，則FG∥BD，且FG＝eq\f(2,3)BD，∴EH∥FG，且EH≠FG，∴四邊形EFGH為平面四邊形，故直線EF，HG肯定共面，故B錯誤；若直線EF與HG平行，則四邊形EFGH為平行四邊形，可得EH＝GF，與EH≠FG沖突，故A錯誤；由EH∥FG，且EH≠FG，EH＝eq\f(1,3)BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD，可得直線EF，HG肯定相交，設(shè)交點(diǎn)為O，則O∈EF，又EF?平面ABC，可得O∈平面ABC，同理，O∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直線EF，HG肯定相交，且交點(diǎn)肯定在直線AC上，故C正確，D錯誤．故選C.8．(2024·湖南湘東六校聯(lián)考)下圖是一正四面體的表面綻開圖，G為BF的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線EG與直線BC所成角的余弦值為(C)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(33),6)[解析]將綻開圖折起還原成四面體，如圖所示，取AF的中點(diǎn)H，連接GH，HE，則GH綉eq\f(1,2)BC，且HE＝GE，∴∠HGE(或其補(bǔ)角)即為異面直線EG與BC所成的角，不妨設(shè)正四面體棱長為2，則GH＝1，GE＝eq\r(3)，∴cos∠HGE＝eq\f(\f(1,2),\r(3))＝eq\f(\r(3),6)，故選C.9．過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作(D)A．1條 B．2條C．3條 D．4條[解析]如圖，連接體對角線AC1，明顯AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為eq\r(2).聯(lián)想正方體的其他體對角線，如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因?yàn)锽B1∥AA1，BC∥AD，所以體對角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，體對角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，即過A點(diǎn)分別作BD1，A1C，DB1的平行線都滿意題意，故這樣的直線l可以作4條．故選D.二、多選題10．(2024·吉林長春質(zhì)檢改編)下列命題中的真命題是(AC)A．若△ABC的三條邊所在直線分別交平面α于P，Q，R三點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線B．若直線a，b是異面直線，直線b，c是異面直線，則直線a，c是異面直線C．若三條直線a，b，c兩兩平行且分別交直線l于A，B，C三點(diǎn)，則這四條直線共面D．對于三條直線a，b，c，若a⊥c，b⊥a，則c∥b[解析]由公理3，A正確；易知B錯誤；C正確；若a，b，c是過長方體一頂點(diǎn)的三條棱，則D錯誤，故選AC.11．如圖，在正方體中，A、B、C、D分別是頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共面的是(ACD)[解析]在A、D中AB∥CD，在C中AB、CD相交，在B中AB、CD異面，故選ACD.12．(2024·河北衡水中學(xué)調(diào)研改編)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過點(diǎn)D作直線l與異面直線AC和BC1所成的角均為θ，則θ的值可能為(BCD)A．15° B．30°C．45° D．60°[解析]如圖，因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠BC1A1或其補(bǔ)角為異面直線AC和BC1所成的角．因?yàn)锳1C1＝BC1＝A1B，所以△A1BC1是等邊三角形，所以∠BC1A1＝60°，過點(diǎn)B作直線l的平行線l′，則當(dāng)l′與∠BC1A1的角平分線平行時，θ取得最小值為30°.故選BCD.三、填空題13．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為上底面的中心，則AO與B1C所成角的余弦值為eq\f(\r(3),6).[解析]解法一：設(shè)AB、B1C1，C1C的中點(diǎn)分別為H、M、N，連接OM，MH，HN，MN，易知MH∥AO，MN∥B1C，∴∠HMN或其補(bǔ)角為AO與B1C所成的角，設(shè)AB＝2，則MN＝eq\r(2)，MH＝NH＝eq\r(6).∴cos∠HMN＝eq\f(\f(MN,2),MH)＝eq\f(\r(3),6).解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－1，－2)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，記AO與B1C所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(6)×2\r(2))＝eq\f(\r(3),6).14．(2024·浙江百校高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考)如圖，在邊長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱CD，DD1的中點(diǎn)，則平面BEF截該正方體所得截面的面積為eq\f(9,2).[解析]連接BA1、CD1，由E、F分別為CD、DD1的中點(diǎn)知EF綉eq\f(1,2)CD1綉eq\f(1,2)A1B，所以平面截正方體所得截面為等腰梯形A1BEF，且EF＝eq\r(2)，A1B＝2eq\r(2)，BE＝eq\r(5)，該梯形的高h(yuǎn)＝eq\r(BE2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A1B－EF,2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，∴該截面的面積為eq\f(1,2)(A1B＋EF)·h＝eq\f(9,2).B組實(shí)力提升1．(2024·皖江名校聯(lián)考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，BB1的中點(diǎn)為M，過C1，D，M的平面把正方體分成兩部分，則較小部分的體積為(C)A.eq\f(52,3) B．18C．eq\f(56,3) D．eq\f(58,3)[解析]如圖，截面是等腰梯形C1MED，E是AB的中點(diǎn)，較小部分是三棱臺BEM－CDC1.上底面面積S1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，下底面面積S2＝eq\f(1,2)×4×4＝8，所以V＝eq\f(1,3)(2＋8＋eq\r(2×8))×4＝eq\f(56,3).故選C.2．(2024·甘肅診斷)在棱長均相等的四面體OABC中，M，N分別是棱OA，BC的中點(diǎn)，則異面直線MN與AB所成的角的大小為(B)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]解法一：取OB的中點(diǎn)H，連接MH、NH、ON、AN，因M為OA為中點(diǎn)，∴MH綉eq\f(1,2)AB，∴∠HMN或其補(bǔ)角為MN與AB所成的角．設(shè)四面體的棱長均為2a，則由題意易知MH＝HN＝a，MN＝eq\r(2)a，∴MH2＋HN2＝MN2，∴∠MHN＝90°，從而∠HMN＝45°.故選B.解法二：不妨設(shè)四面體棱長均為2，記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AO,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝b·c＝a·c＝2，又eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c)，記異面直線MN與AB所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|\o(MN,\s\up6(→))·a|,|\o(MN,\s\up6(→))|·|a|)＝eq\f(2,\r(2)×2)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝eq\f(π,4).故選B.3．(多選題)用一個平面去截一個幾何體，所得截面的形態(tài)是正方形，則原來的幾何體可能是(ACD)A．長方體 B．圓臺C．四棱臺 D．正四面體[解析]對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形態(tài)是正方形，故A正確；對于B：圓臺的截面均不行能是正方形，故B錯誤；對于C：若四棱臺的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形態(tài)是正方形，故C正確；對于D：如圖所示正四面體S－ABC，將其放到正方體中，取SB的中點(diǎn)E，SC的中點(diǎn)D，取AB的中點(diǎn)F，AC的中點(diǎn)G，依次連接EF、FG、GD、DE，則截面DEFG為正方形，故D正確；故選ACD.4.(2024·湖南百師聯(lián)盟開學(xué)聯(lián)考)如圖，正四棱錐(底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正方形的中心)P－ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，若CE與PD所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3)，則四棱錐P－ABCD的體積為(A)A.eq\f(32\r(2),3) B．16eq\r(2)C．eq\f(32,3) D．eq\f(16,3)[解析]如圖，連接AC、BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接PO，OE，則OE∥PD，所以∠CEO或其補(bǔ)角即為CE與P