初升高數(shù)學(xué)最值專題PA+kPB型之阿氏圓問題 【學(xué)生版】

阿氏圓問題

課中講解

模型來源

“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k

（krl）,則滿足條件的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家

阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓

模型建立

如圖1所示，。0的半徑為R,點3都在。O外，P為。。上一動點，已知

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R=-OB,連接PA.PB,則當(dāng)"PA+gPB”的值最小時，P點的位置如何確定？

2

解決辦法：如圖2,在線段0B上截取0C使。。=3兄則可說明ABP。與△PCO相

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似，則有故本題求+的最小值可以轉(zhuǎn)化為“%+PC，的最小值，其中與

4與。為定點，P為動點,故當(dāng)A、P、C三點共線時，“雨+產(chǎn)0值最小。

技巧總結(jié)

計算四+〃。片的最小值時.利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似二角形

問題：在圓上找一點P使得Q4+A尸3的值最小，解決步驟具體如下:

1.如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP,0B

OP

2.計算出這兩條線段的長度比——=k

OB

OC

3.在OB上取一點C,使得一二k,即構(gòu)造CPOMsCBO尸,

OP

PC

則一=k,PC=kPB

PB

4.則++當(dāng)A、P.C三點共線時可得最小值

例1.已知NAOB=90。，OB=4,OA=6,0c半徑為2,P為圓上一動點.

(I)求的最小值為_________

2

(2)求尸的最小值為

0B

例2.菱形ABC。邊長為4,NABC=60°,點E為邊AB的中點，點尸為AD上一動點，連

接律、BF,并將AB/沿M賽折得連接E'C,取EC的中點為點G,連接DG,

則2OG+-EC最小值為

2

例3.(1)如圖1,已知正方形ABC的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動

點，求PD+'PC的最小值和Po-Lpc的最大值.

⑵如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點P是圓B上的一個動點，

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那么PO+-PC的最小值為_______；PD一一PC的最大值為_________

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(3)如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,ZB=60°,圓B的半徑為2.點P是圓B上的一個

動點.那么PO+!PC的最小值為；尸。一!PC的最大值為

過關(guān)檢測

1.如圖，點C坐標(biāo)為(2.5),點A的坐標(biāo)為(70),(DC的半徑為點B在。C上一動

點，0B+45AB的最小值為.

2.如圖，在RTZXABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點B為圓心作圓與AC相切，圓C的半

徑為0,點P為圓B上的一動點，求4尸+一產(chǎn)。的最小值.

2

3.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是。0上一動點，則&P4+P5的最小

AB

4.如圖，等邊4ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為。O,P是。0上一動點，則2尸B+PC的最

小值為.

例4.(2018?七中育才校二診)已知：如圖1,拋物線^=/+加+。與4軸交于A(T,o),

8(3,0)兩點，與)，軸交于點。，點。為頂點.

(1)求拋物線解析式及點。的坐標(biāo)；

(2)若直線/過點。，P為直線/上的動點，當(dāng)以A、B、P為頂點所作的直角三角形

有.且只有三個時，求直線/的解析式：

(3)如圖2,E為08的中點，將線段QE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到OF,旋轉(zhuǎn)角為

a(0°<a<90°),連接E8、EC、當(dāng)E8+』EC取得最小值時，求直線BE與拋物線的交

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點坐標(biāo).

過關(guān)檢測

1.如圖，直線/:y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、8兩點，拋物線

y=浸-2or+a+4(a<0)經(jīng)過點8,交x軸正半軸于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接40、BM,設(shè)點

M的橫坐標(biāo)為加，的面積為S,求S與相的函數(shù)表達式，并求出S的最大值及

此時動點M的坐標(biāo)；

(3)將點A繞原點旋轉(zhuǎn)得點4,連接CT、囪V,在旋轉(zhuǎn)過程中，一動點M從點8出

發(fā)，沿線段BN以每秒3個單位的速度運動到4,再沿線段A!C以每秒1個單位長度的

速度運動到C后停止，求點M在整個運動過程中用時最少是多少？

備用屋

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點A、B,則所有符合方=左伏＞0且女工1）的點P會組成一個圓.這個

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，在x軸，y軸上分別有點C（肛0）,D（0,/i）,點

尸是平面內(nèi)一動點，且。尸=〃，設(shè)竺=火，求PC+H7）的最小值.

OD

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OD上取點M,使得OM:OP=OP:O￡）=A；

第二步：證明血=加；第三步：連接CA1,此時CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在OD上取點使得OM:OP=OP:OD=Z,

又?.NPOD=ZMOP,:MOM~tsDOP.

任務(wù)：

（1）將以上解答過程補充完整.

（2）如圖2,在RlAABC中，ZAG?=90°,AC=4,BC=3,。為AABC內(nèi)一動點,

2

滿足CD=2,利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出4。+±8。的最小值.

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2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0),8(0,2),C(4,0),D(3,2),P是4AOB外

部第一象限內(nèi)的一動點，且/BPA=135。，則2PD十PC的最小值是多少？

3.如圖，RtAAZ?C,Z/4CZ?=90%AC=BC=2,以。為頂點的正方形。K”(C、D、E.

尸四個頂點按逆時針方向排列)可以繞點。自由轉(zhuǎn)動，且CD=&,連接AF,BD

(1)求證：△BOCg/XAFG

(2)當(dāng)正方形COEr有頂點在線段AB上時，直接寫出BD+返4。的值；

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(3)直接寫出正方形COE尸旋轉(zhuǎn)過程中，8。+返4垃的最小值.

2

4.如圖，拋物線)，=-f+bx+c與直線AB交于A(T-4),8(0,4)兩點，直線

AC:y=-(X-6交y軸于點C.點E是直線A6上的動點，過點￡作所_1工軸交AC

于點尸，交拋物線于點G.

(1)求拋物線^=-/+加的表達式;

(2)連接G8,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標(biāo)；

(3)①在y軸上存在一點“，連接HF,當(dāng)