初升高數(shù)學(xué)最值專題PA+kPB型之阿氏圓問題 【學(xué)生版】

阿氏圓問題

課中講解

模型來源

“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k

（krl）,則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家

阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓

模型建立

如圖1所示，。0的半徑為R,點(diǎn)3都在。O外，P為。。上一動點(diǎn)，已知

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R=-OB,連接PA.PB,則當(dāng)"PA+gPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

2

解決辦法：如圖2,在線段0B上截取0C使。。=3兄則可說明ABP。與△PCO相

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似，則有故本題求+的最小值可以轉(zhuǎn)化為“%+PC，的最小值，其中與

4與。為定點(diǎn)，P為動點(diǎn),故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“雨+產(chǎn)0值最小。

技巧總結(jié)

計(jì)算四+〃。片的最小值時(shí).利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似二角形

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得Q4+A尸3的值最小，解決步驟具體如下:

1.如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,0B

OP

2.計(jì)算出這兩條線段的長度比——=k

OB

OC

3.在OB上取一點(diǎn)C,使得一二k,即構(gòu)造CPOMsCBO尸,

OP

PC

則一=k,PC=kPB

PB

4.則++當(dāng)A、P.C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值

例1.已知NAOB=90。，OB=4,OA=6,0c半徑為2,P為圓上一動點(diǎn).

(I)求的最小值為_________

2

(2)求尸的最小值為

0B

例2.菱形ABC。邊長為4,NABC=60°,點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為AD上一動點(diǎn)，連

接律、BF,并將AB/沿M賽折得連接E'C,取EC的中點(diǎn)為點(diǎn)G,連接DG,

則2OG+-EC最小值為

2

例3.(1)如圖1,已知正方形ABC的邊長為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動

點(diǎn)，求PD+'PC的最小值和Po-Lpc的最大值.

⑵如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，

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那么PO+-PC的最小值為_______；PD一一PC的最大值為_________

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(3)如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,ZB=60°,圓B的半徑為2.點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)

動點(diǎn).那么PO+!PC的最小值為；尸。一!PC的最大值為

過關(guān)檢測

1.如圖，點(diǎn)C坐標(biāo)為(2.5),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(70),(DC的半徑為點(diǎn)B在。C上一動

點(diǎn)，0B+45AB的最小值為.

2.如圖，在RTZXABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作圓與AC相切，圓C的半

徑為0,點(diǎn)P為圓B上的一動點(diǎn)，求4尸+一產(chǎn)。的最小值.

2

3.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是。0上一動點(diǎn)，則&P4+P5的最小

AB

4.如圖，等邊4ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為。O,P是。0上一動點(diǎn)，則2尸B+PC的最

小值為.

例4.(2018?七中育才校二診)已知：如圖1,拋物線^=/+加+。與4軸交于A(T,o),

8(3,0)兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。為頂點(diǎn).

(1)求拋物線解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若直線/過點(diǎn)。，P為直線/上的動點(diǎn)，當(dāng)以A、B、P為頂點(diǎn)所作的直角三角形

有.且只有三個(gè)時(shí)，求直線/的解析式：

(3)如圖2,E為08的中點(diǎn)，將線段QE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OF,旋轉(zhuǎn)角為

a(0°<a<90°),連接E8、EC、當(dāng)E8+』EC取得最小值時(shí)，求直線BE與拋物線的交

2

點(diǎn)坐標(biāo).

過關(guān)檢測

1.如圖，直線/:y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、8兩點(diǎn)，拋物線

y=浸-2or+a+4(a<0)經(jīng)過點(diǎn)8,交x軸正半軸于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接40、BM,設(shè)點(diǎn)

M的橫坐標(biāo)為加，的面積為S,求S與相的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值及

此時(shí)動點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)將點(diǎn)A繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)4,連接CT、囪V,在旋轉(zhuǎn)過程中，一動點(diǎn)M從點(diǎn)8出

發(fā)，沿線段BN以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動到4,再沿線段A!C以每秒1個(gè)單位長度的

速度運(yùn)動到C后停止，求點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最少是多少？

備用屋

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合方=左伏＞0且女工1）的點(diǎn)P會組成一個(gè)圓.這個(gè)

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（肛0）,D（0,/i）,點(diǎn)

尸是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且。尸=〃，設(shè)竺=火，求PC+H7）的最小值.

OD

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OD上取點(diǎn)M,使得OM:OP=OP:O￡）=A；

第二步：證明血=加；第三步：連接CA1,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在OD上取點(diǎn)使得OM:OP=OP:OD=Z,

又?.NPOD=ZMOP,:MOM~tsDOP.

任務(wù)：

（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整.

（2）如圖2,在RlAABC中，ZAG?=90°,AC=4,BC=3,。為AABC內(nèi)一動點(diǎn),

2

滿足CD=2,利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出4。+±8。的最小值.

3

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0),8(0,2),C(4,0),D(3,2),P是4AOB外

部第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，且/BPA=135。，則2PD十PC的最小值是多少？

3.如圖，RtAAZ?C,Z/4CZ?=90%AC=BC=2,以。為頂點(diǎn)的正方形。K”(C、D、E.

尸四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列)可以繞點(diǎn)。自由轉(zhuǎn)動，且CD=&,連接AF,BD

(1)求證：△BOCg/XAFG

(2)當(dāng)正方形COEr有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD+返4。的值；

2

(3)直接寫出正方形COE尸旋轉(zhuǎn)過程中，8。+返4垃的最小值.

2

4.如圖，拋物線)，=-f+bx+c與直線AB交于A(T-4),8(0,4)兩點(diǎn)，直線

AC:y=-(X-6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線A6上的動點(diǎn)，過點(diǎn)￡作所_1工軸交AC

于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線^=-/+加的表達(dá)式;

(2)連接G8,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)①在y軸上存在一點(diǎn)“，連接HF,當(dāng)