大學(xué)物理授課教案第七章真空中的靜電場(chǎng)

第三篇電磁學(xué)

第七章真空中的靜電場(chǎng)

本章只討論真空中的電場(chǎng)，下一章再討論介質(zhì)中靜電場(chǎng)。

靜電場(chǎng)：相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。

§7-1電荷庫(kù)侖定律

一、電荷

1、電簞種聲正電荷

\負(fù)電荷

作用/同性相斥

\異性相吸

（一般地說(shuō)：使物體帶電就是使它獲得多余的電子或從它取出一些電

子）

2、電荷守恒定律

電荷從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，這稱(chēng)為電荷守恒定律。它

是物理學(xué)的基本定律之一。

3、電荷量子化

在自然界中所觀察到的電荷均為基本電荷e的整數(shù)倍。這也是自然

界中的一條基本規(guī)律，表明電荷是量子化的。直到現(xiàn)在還沒(méi)有足夠的

實(shí)驗(yàn)來(lái)否定這個(gè)規(guī)律。

二、庫(kù)侖定律

點(diǎn)電荷：帶電體本身線度比它到其他帶電體間的距離小得多時(shí)，

帶電體的大小和形狀可忽略不計(jì)，這個(gè)帶電體稱(chēng)為點(diǎn)電荷。（如同質(zhì)點(diǎn)

一樣，是假想模型）

庫(kù)侖定律：真空中兩點(diǎn)電荷之間的相互作用力大小及他們電量乘積成

正比，及他們之間距離成反比，方向在他們連線上，同性相斥、異性

相吸。這叫做庫(kù)侖定律。它構(gòu)成全部靜電學(xué)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)表達(dá)式：%受名的作用力：°q

品=々崢>0斥力（同號(hào)）o——I-------->O

r\2<%

<0吸引（異號(hào)）

采用國(guó)際單位制，其中的比例常數(shù)&=9xl（）9N圖7-1

寫(xiě)成矢量形式：

令人,與=8.85xl()T2c2/N?加2

4您o

1q、q”

A3'12

4在0r]2

(7-1)

說(shuō)明：①“2是小對(duì)%是作用力，%是由小指到%的矢量。

②%對(duì)孫的作用力為：

③庫(kù)侖定律的形式及萬(wàn)有引力定律形式相似。但前者包含吸力和

斥力，后者只是引力，這是區(qū)別。

§7-2電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度

一、電場(chǎng)

1、電荷間作用

電荷間作用原有不同看法，在很長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，人們認(rèn)為帶電體之

間是超距作用，即二者直接作用，發(fā)生作用也不用時(shí)間傳遞。即

直接作用、

兩種看法①超距作用：電荷，電荷

<不看傳遞時(shí)間―

.到了上世紀(jì)，法拉第提出新的觀點(diǎn)，認(rèn)為在帶電體周?chē)?/p>

在著電場(chǎng)，其他帶電體受到的電力是電場(chǎng)給予的，即

②場(chǎng)觀點(diǎn)：電荷“場(chǎng)”電荷

近代物理學(xué)證明后者是正福的Y

2、靜電場(chǎng)的主要表現(xiàn)

表現(xiàn)］電場(chǎng)力：放到電場(chǎng)中的電荷要受到電場(chǎng)力。

'電場(chǎng)力作功：電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力要作功。

二、電場(chǎng)強(qiáng)度

從靜電場(chǎng)的力的表現(xiàn)出發(fā)，利用試驗(yàn)電荷來(lái)引出電場(chǎng)強(qiáng)度概念來(lái)

描述電場(chǎng)的性質(zhì)。

試驗(yàn)電荷外（點(diǎn)電荷且|%|很?。?，放入A點(diǎn)，它受的電場(chǎng)力為人試驗(yàn)

發(fā)現(xiàn)，將外加倍。則受的電場(chǎng)力也增加為相IT.........r-同

實(shí)驗(yàn)電荷:%2%3%…

受力:2F

q與外?同號(hào)情形

可見(jiàn),這些比值都為￡,該比值及試驗(yàn)電荷

有關(guān),因此,可以用工來(lái)描述電場(chǎng)的性質(zhì),

定義：

（7-2）

為電荷q的電場(chǎng)在A點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

三、場(chǎng)強(qiáng)疊加原理/工

外WA

試驗(yàn)電荷放在點(diǎn)電荷系外q,、名…縱所產(chǎn)生電場(chǎng)q（

中的A點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)表明外在A處受的電場(chǎng)力戶是各個(gè)["?久）2"

點(diǎn)電荷各自對(duì)外作用力M、E、E??比的矢量和，\/

聲"+E+E+…+E

按場(chǎng)強(qiáng)定義：后=￡=及+。+&+…+&=￡+&+耳+.一+瓦

%%%%

上式表明，點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的總場(chǎng)強(qiáng)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單

獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)矢量和，這稱(chēng)為場(chǎng)強(qiáng)疊加原理。

四、場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算

1、點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度

q?A

q在A處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：假設(shè)A處有試驗(yàn)電布?——-------?

4受力為戶，有的？

圖7-4

——廣

即E二

4%/

(7-4)

不由“指向A,q>0E及不同向（由q-?A）

]<0E及不反向（由A-q）

*點(diǎn)電嗇電場(chǎng)球?qū)ΨQ(chēng)。

2、點(diǎn)電荷系電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度5=7

即

EH

（7-5）

3、連續(xù)帶電體電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度

把連續(xù)帶電體分成無(wú)限多個(gè)電荷元，看成點(diǎn)電荷，可有:

所產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為瓶=當(dāng)一干

4m?4

總場(chǎng)強(qiáng)后=j■瓶

q°

4、電偶極子0

-qr+0

等量異號(hào)點(diǎn)電荷相距為/,如圖所示，這樣-O——7——O

P

電荷稱(chēng)為電偶極子。由+4的矢量7叫做電偶

的軸，萬(wàn)=〃叫做電偶極子的電矩。圖7-7

*在一正常分子中有相等的正負(fù)電荷，當(dāng)正、負(fù)電荷的中心不重合時(shí),

這個(gè)分子構(gòu)成了一個(gè)電偶極子。

例7T：已知電偶極子電矩為P，求

⑴電偶極子在它軸線的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)A的瓦;

⑵電偶極子在它軸線的中垂線上一點(diǎn)B的瓦。

解：⑴如圖所取坐標(biāo)，

n瓦=3y（瓦及月同向）

4您，

⑵如圖所取坐標(biāo)

*分立電荷產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的疊加問(wèn)題。

例7-2:設(shè)電荷q均勻分布在半徑為R的圓五及

環(huán)心相距x的p點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

解：如圖所取坐標(biāo)，X軸在圓環(huán)軸線上，把U%EI

部分在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：

r—?r

況dE

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，&=0

q>0:E沿X軸正向

<0：后沿X軸負(fù)向

（X軸上后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）

結(jié)論：E及圓環(huán)平面垂直，環(huán)中心處E=0,也可用對(duì)稱(chēng)性判斷。

例7-3：半徑為R的均勻帶電圓盤(pán)，電荷面密度為0,計(jì)算軸線上及盤(pán)

心相距x的p點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

解：如圖所示，x軸在圓盤(pán)軸線上，把圓盤(pán)分成一系列的同心圓環(huán)，

半徑為「、寬度為力的圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：

dE〃=一身J（均勻帶電圓環(huán)結(jié)果

4至

???各環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)方向均桿

???整個(gè)圓盤(pán)在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為：

（7r>0：背離圓盤(pán)

,<0：指向圓盤(pán)

即后及盤(pán)面垂直（石關(guān)于盤(pán)面對(duì)稱(chēng)）

討論：RT8時(shí)，變成無(wú)限大帶電薄平板，耳,=￡,方向及帶電

2分

平板垂直。

例7-4：有一均勻帶電直線，長(zhǎng)為/,電量為“，求距它為「處p點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。

解：如圖所取坐標(biāo)，把帶電體分成一系列點(diǎn)電荷，力段在p處產(chǎn)生場(chǎng)

強(qiáng)為：

由圖知：y=rtg/3=rtgj-rctgO

代⑴中有：形=*y寸

討論：無(wú)限長(zhǎng)向勻帶電直線d=o,%=乃，卜、

即無(wú)限均勻帶電直線，電場(chǎng)垂直直手雙二

2<0,9指向直線。工一^2^邑等一

例7-5：有一無(wú)限大均勻帶電平面，電荷面帶.——仁一"2

一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。2

圖7-12

解：如圖所取坐標(biāo)，X軸垂直帶電平面，把帶電平面分成一系列平行

于Z軸的無(wú)限長(zhǎng)窄條，陰影部分在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為（無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電

直線結(jié)果）

Ey=JdEy=0（由對(duì)稱(chēng)性可知）

結(jié)論：無(wú)限大均勻帶電平面產(chǎn)生均勻場(chǎng)，大小為￡

2%

（7>0背離平面

<0指向平面

§7-3電力線電通量

一、電力線

電力線是為了描述電場(chǎng)所引進(jìn)的輔助概念，它并不真實(shí)存在。

1、后用電力線描述

規(guī)定：p方向：電力線切線方向

大小：后的大小=該電力線密度=垂直通過(guò)單位面積的電力線

\條數(shù)=妲

ds

即E^—

ds

（即：某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小=過(guò)該點(diǎn)并垂直于應(yīng)的面元上的電力線密度。）

2、靜電場(chǎng)中電力線性質(zhì)

⑴不閉合、不中斷、起自正電荷，止于負(fù)電荷。

⑵任意兩條電力線不能相交，這是某一點(diǎn)只有一個(gè)場(chǎng)強(qiáng)方向的要

求。

二、電通量

定義：通過(guò)電場(chǎng)中某一面的電力線數(shù)叫做通過(guò)該面的電場(chǎng)強(qiáng)度通

里，用叱表小。

卜面分幾種情況討論。

1、勻強(qiáng)電場(chǎng)

⑴平面S及后垂直。如圖所不，由后的

大小描述可知：一寸

⑵平面S及巨夾角為6,如圖所不，由

的大小描述知：

式中行為5的單位法線向量。

2、在任意電場(chǎng)中通過(guò)任意曲面S的電通量.

如圖所示，在S上取面元dS,dS可看成平面，dS上

后可視為均勻，設(shè)行為而單位法向向量，曲及該處巨夾角

皂為則通過(guò)心電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：

通過(guò)曲面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：

中,平同(7-6)

S

在任意電場(chǎng)中通過(guò)封閉曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量

①”國(guó)'(7-7)

S

注意：通常取面元外法向?yàn)檎?/p>

§7-4高斯定理

一、高斯定理▲

高斯定理是關(guān)于通過(guò)電場(chǎng)中任一閉合曲i"'、、，-

的定理，現(xiàn)在從一簡(jiǎn)單例子講起。X

1、如圖所示，q為正點(diǎn)電荷，S為以q為中T—+0三平f

意「為半徑的球面，S上任一點(diǎn)少處后為：\/'、Js

2、通過(guò)閉合曲面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：

(心山同向)

結(jié)論：①,及r無(wú)關(guān)，僅及q有關(guān)(4=const圖7T6

2、點(diǎn)電荷電場(chǎng)中任意閉合曲面S的電場(chǎng)強(qiáng)度

⑴+4在S內(nèi)情形

如圖所示，在S內(nèi)做一個(gè)以+q為中心，7t+弋3-

任意半徑「的閉合球面&,由1知，通過(guò)&虱

的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為"。;通過(guò)，的電力線z一i一A

必通過(guò)S,即止匕時(shí)=中”，，通過(guò)5的電

場(chǎng)強(qiáng)度通量為①”"?4=血圖7-17

⑵+q在S外情形。％

此時(shí)，進(jìn)入S面內(nèi)的電力線必穿出S面，即

穿入及穿出S面的電力線數(shù)相等，t/

結(jié)論：S外電荷對(duì)①,無(wú)貢獻(xiàn).

①…在S內(nèi)\/V

%<

0夕在S外

3、點(diǎn)電荷情況

在點(diǎn)電荷的,%,夕3，,,q”電場(chǎng)中，任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為

通過(guò)某一閉合曲面電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：

即中,=,E,游=上>,q

________s%s內(nèi)

(7-8)

上式表示：在真空中通過(guò)任意閉合曲面的電通量等于該曲面所包

圍的一切電荷的代數(shù)和除以￡。。這就是真空中的高斯定理。上式為高

斯定理數(shù)學(xué)表達(dá)式，高斯定理中閉合曲面稱(chēng)為高斯面。

說(shuō)明：⑴以上是通過(guò)用閉合曲面的電通量概念來(lái)說(shuō)明高斯定理，僅

是為了便于理解而用的一種形象解釋?zhuān)皇歉咚苟ɡ淼淖C

明

⑵高斯定理是在庫(kù)侖定律基礎(chǔ)上得到的，但是前者適用范圍

比后者更廣泛。后者只適用于真空中的靜電場(chǎng)，而前者適

用于靜電場(chǎng)和隨時(shí)間變化的場(chǎng)，高斯定理是電磁理論的基

本方程之一。

⑶高斯定理表明，通過(guò)閉合曲面的電通量只及閉合面內(nèi)的自

由電荷代數(shù)和有關(guān)，而及閉合曲面外的電荷無(wú)關(guān)。

>0時(shí)，不能說(shuō)s內(nèi)只有正電荷

當(dāng)①”."心,工，〈°時(shí)，不能說(shuō)S內(nèi)只有負(fù)電荷

=00寸，不能說(shuō)S內(nèi)無(wú)電荷

注意：這些都是S內(nèi)電荷代數(shù)和的結(jié)果和表現(xiàn)。

⑷高斯定理說(shuō)明①"W?而=：營(yíng)4及S內(nèi)電荷有關(guān)而及S外電荷無(wú)

關(guān)，這并不是說(shuō)E只及S內(nèi)電荷有關(guān)而及S外電荷無(wú)關(guān)。實(shí)際上,

后是由S內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的結(jié)果。

⑸高斯面可由我們?nèi)芜x。

二、高斯定理應(yīng)用舉例

下面介紹應(yīng)用高斯定理計(jì)算幾種簡(jiǎn)單而又有對(duì)稱(chēng)性的場(chǎng)強(qiáng)方法。

可以看到，應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)比前面介紹的方法更為簡(jiǎn)單。

例7-6：一均勻帶電球面，半徑為R,電荷為+4，求：球面內(nèi)外任一

點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。

解：由題意知，電荷分布是球?qū)ΨQ(chēng)的，產(chǎn)生的電場(chǎng)是球?qū)ΨQ(chēng)的，場(chǎng)強(qiáng)

方向沿半徑向外，以0為球心任意球面上的各點(diǎn)后值相等。

⑴球面內(nèi)任一點(diǎn)4的場(chǎng)強(qiáng)

以0為圓心，通過(guò)Pi點(diǎn)做半徑為八的球面卻為高斯西：直斯定理為:

\EdS=—^qq+"'、、

?后及詹?同向，且加上后值:/\、'

即均勻帶電球面內(nèi)任一點(diǎn)p場(chǎng)強(qiáng)為零。/7\

注意：1）不是每個(gè)面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)+l\）+2所

有面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)、y!

2）非均勻帶電球面在球面內(nèi)任一點(diǎn)+/B為

零。（在個(gè)別點(diǎn)有可能為零）

⑵球面外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)圖7T9

以0為圓心，通過(guò)P2點(diǎn)以半徑々做一球面S：作為高斯面,由高斯

定理有：

方向：沿函方向（若”0,則沿方方向）

結(jié)論：均勻帶電球面外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，如圖

的點(diǎn)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)一樣。

E='0(r<R)

7-20

例7-7:有均勻帶電的球體,半徑為R,電量為+q,求球內(nèi)外場(chǎng)強(qiáng)（8-13）。

解：由題意知，電荷分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性，.?.電場(chǎng)也具有對(duì)稱(chēng)性，場(chǎng)強(qiáng)

方向由球心向外輻射，在以0為圓心的任意球面上各點(diǎn)的罔相同。

（1）球內(nèi)任一點(diǎn)匕的E=?

以。為球心，過(guò)匕點(diǎn)做半徑為八的高斯球面高斯定理為：

但.曲,》

S,%s咕譏/--、\

??Y及而同向，且Si上各點(diǎn)閏值相等，/ZzA.2\\

E沿加方向。（若q<0,則E沿而方向），（1?jj

結(jié)論：Socr,\\）!

注意：不要認(rèn)為Si外任一電荷元在Pi處了\/=s,

外所有電荷元在Pi點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的'、、、二J」'

（2）球外任一點(diǎn)P2的后=?圖72

以0為球心，過(guò)P2點(diǎn)做半徑為4的球形高斯面高斯定理

為：

由此有：

E沿麗方向

結(jié)論：均勻帶電球體外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，如

全部集中在球心處的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)

E-r曲線如左圖。EK八1

例7-8：一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線，設(shè)電荷線密度/一點(diǎn)

場(chǎng)強(qiáng)。。/----:------------*

解：由題意知，這里的電場(chǎng)是關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)白國(guó)“，仁

在以直線為軸的任一圓柱面上的各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小是等值的。以直線為軸

線，過(guò)考察點(diǎn)P做半徑為「高為〃的圓柱高斯面，上底為捫、下底為S2,

側(cè)面為S3。

高斯定理為：，及曲+A

sS內(nèi)

在此，有：

??,在Si、S2上各面元一，后，???前二項(xiàng)積分

r

又在S3上看及而方向一致，且片常數(shù)，-R

即E=上一事

2%/

E由帶電直線指向考察點(diǎn)。（若2<0,則巨在:線）

上面結(jié)果將及例4結(jié)果一致。圖7-23

例7-9：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面，半徑為電荷面密度為b>0,求柱

面內(nèi)外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。

解：由題意知，柱面產(chǎn)生的電場(chǎng)具有軸對(duì)稱(chēng)性，場(chǎng)強(qiáng)方向由柱面軸線

向外輻射，并且任意以柱面軸線為軸的圓柱面上各點(diǎn)E值相等。

1）帶電圓柱面內(nèi)任一點(diǎn)Pi的巨=?

以00'為軸，過(guò)Pi點(diǎn)做以八為半徑IWJ為〃的圓柱圖斯面，上底為

Su下底為S2,側(cè)面為S3。高斯定理為：

在此，有：

???在Si、S2上各面元而口后，.?.上式前二項(xiàng)積分=0,

又在S3上曲及E同向，且片常數(shù)，

結(jié)論：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓筒內(nèi)任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)=0

2）帶電柱面外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)后=?

以為軸，過(guò)P2點(diǎn)做半徑為-2高為人的圓柱形高斯面，上底為

S/,下底為S2‘，側(cè)面為S3'。由高斯定理有：

??。.2成=『[2成.1]=單位長(zhǎng)柱面的電荷（電荷線密度）=4

=后由軸線指向P2。b<（）時(shí)，后沿P2指向軸線

2把。弓

結(jié)論：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面在其外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，如全部電荷都

集中在帶電柱面的軸線上的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線產(chǎn)生的場(chǎng)

強(qiáng)一樣。

例7-10：無(wú)限大均勻帶電平面，電荷面密度為+b,求平面外任一點(diǎn)場(chǎng)

解：由題意知，平面產(chǎn)生的電場(chǎng)是關(guān)于平面二側(cè)對(duì)稱(chēng)的，場(chǎng)強(qiáng)方向垂

直平面，距平面相同的任意二點(diǎn)處的巨值相等。設(shè)P為考察點(diǎn)，過(guò)P

點(diǎn)做一底面平行于平面的關(guān)于平面又對(duì)稱(chēng)的圓柱形高斯面，右端面為

S”左端面為S2,側(cè)面為S3,高斯定理為：

在此，有：

???在S3上的各面元而，??.第三項(xiàng)積分=0、

又???在&、S2上各面元曲及目同向，且在Si、S2J\

E=—（均勻電場(chǎng)）

E垂直平面指向考察點(diǎn)（若0<0,則巨由考察點(diǎn)指

例5完全一致。/

例7-11：有二平行無(wú)限大均勻帶電平板A、B,電彳圖7-25

+a,+a;2）+a,-（r0求：板內(nèi)、外場(chǎng)強(qiáng).“，

解：1）設(shè)Pi為板內(nèi)任一點(diǎn)，有

設(shè)P2為B右側(cè)任一點(diǎn)（也可取在A左側(cè)）,

2）設(shè)P3為二板內(nèi)任一點(diǎn),

圖7-26

E=EA+ER=--+--=

設(shè)R為B右側(cè)任一點(diǎn)（也可取在A左側(cè)）

即：E=EA-EB=三-三=0

242%

上面，我們應(yīng)用高斯定理求出了幾種帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，從這幾個(gè)例

子看出，用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)是比較簡(jiǎn)單的。但是，我們應(yīng)該明確，雖

然高斯定理是普遍成立的，但是任何帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)不是都能由它

計(jì)算出，因?yàn)檫@樣的計(jì)算是有條件的，它要求電場(chǎng)分布具有一定的對(duì)

稱(chēng)性，在具有某種對(duì)稱(chēng)性時(shí)，才能適選高斯面，從而很方便的計(jì)算出

值。應(yīng)用高斯定理時(shí)，要注意下面環(huán)節(jié)：1）分析對(duì)稱(chēng)性；2）適選高

斯面；3）計(jì)算但.曲=?工1>=?4）由高斯定理f后?曲=，!>求出后。

§7-5靜電場(chǎng)力的功電勢(shì)

此前，從靜電場(chǎng)力的表現(xiàn)引入了場(chǎng)強(qiáng)這一物理量來(lái)描述靜電場(chǎng)。

這一節(jié)，我們將從靜電場(chǎng)力作功的表現(xiàn)來(lái)闡述電勢(shì)這一物理量來(lái)描述

靜電場(chǎng)的性質(zhì)。

一、靜電場(chǎng)力的功

力學(xué)中引進(jìn)了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只

及始末二位置有關(guān)，而及路徑無(wú)關(guān)。前面學(xué)過(guò)的保守力有重力、彈性

力、萬(wàn)有引力等。在保守力場(chǎng)中可以引進(jìn)勢(shì)能的概念，并且保守力的

功

卬=勢(shì)能增量的負(fù)值（-陶）

（7-9）

在此，我們研究一下靜電力是否為保守力。

1、點(diǎn)電荷情況

點(diǎn)電荷+4置于0點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)電荷拆由a點(diǎn)/

運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。在c處，公在位移點(diǎn)內(nèi)，靜電力/“）

對(duì)外的功為：

afb：=

4厄0幾場(chǎng)7-284.。比〃,」

（7-10）

可見(jiàn)：W僅及4。的始末二位置有關(guān)，而及過(guò)程無(wú)關(guān)。

2、點(diǎn)電荷系情況

設(shè)外在%、％、…、4”的電場(chǎng)中，由場(chǎng)強(qiáng)迭加原理有：

為從a-b中，靜電場(chǎng)力的功為：

???上式左邊每一項(xiàng)都只及外始末二位置有關(guān)，而及過(guò)程無(wú)關(guān)，，點(diǎn)電

荷系靜電力對(duì)外作的功只及4。始末二位置有關(guān)，而及過(guò)程無(wú)關(guān)。

3、連續(xù)帶電體情況

對(duì)連續(xù)帶電體，可看成是很多個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，所以2

中結(jié)論仍成立。

綜上所述，靜電場(chǎng)力為保守力（靜電場(chǎng)為保守力場(chǎng)）。外在靜電場(chǎng)

中運(yùn)動(dòng)一周，靜電力對(duì)它作功為：

[q（）E-dl=0（近代替療）

=>，后?力=0

（7-11）

此式表明，靜電場(chǎng)中的環(huán)流=0（任何矢量沿閉合路徑的線積分稱(chēng)為該

矢量的環(huán)流），這一結(jié)論叫做場(chǎng)強(qiáng)環(huán)流定律。

靜電場(chǎng)的環(huán)流定律是靜電場(chǎng)的重要特征之一，靜電學(xué)中的一切結(jié)

論都可以從高斯定理及場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)流定律得出。他們是靜電場(chǎng)的基本定

律。（（7-10）、（7-11）等價(jià)，由（7-11）知，電場(chǎng)線不可能閉合）

二、電勢(shì)能電勢(shì)

1、電勢(shì)能：

???靜電場(chǎng)為保守力場(chǎng)，，可以引進(jìn)相應(yīng)勢(shì)能的概念，此勢(shì)能叫做

電勢(shì)能。設(shè)嗎“、Eg為外在a、b二點(diǎn)的電勢(shì)能，可有

EEW

-[Pb-Pa]=ab=%[尼dr

（7-12）

電勢(shì)能的零點(diǎn)及其他勢(shì)能零點(diǎn)一樣，也是任意選的，，對(duì)于有限

帶電體，一般選無(wú)限遠(yuǎn)處型,=0（電勢(shì)能只有相對(duì)意義，而無(wú)絕對(duì)意

義）選E獨(dú)=0,令b點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)，有

結(jié)論：外在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能=%從該點(diǎn)移到電勢(shì)能為零處電場(chǎng)

力所作的功，在此，電勢(shì)能零點(diǎn)取在無(wú)限遠(yuǎn)處。

2、電勢(shì)

由吃“表達(dá)式知，它及位置a有關(guān)，還有公有關(guān)。但是生且僅及

位置a有關(guān)，而及為無(wú)關(guān)。它如同巨=上一樣，反映的是電場(chǎng)本身的性

q0

質(zhì)，該物理量稱(chēng)為電勢(shì)，記做力，

定義：&為a點(diǎn)電勢(shì)，選q=0時(shí)，有

q。

ph—

4=JEdr

（7-13）

選匕f8,有

u“=「E?療

（7-14）

結(jié)論：電場(chǎng)中某一點(diǎn)a的電勢(shì)等于單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢(shì)為零

處（即電勢(shì)能為零處）靜電力對(duì)它做的功。A點(diǎn)電勢(shì)等于把

單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢(shì)為零點(diǎn)電場(chǎng)力做的功。

說(shuō)明：1）。"為標(biāo)量，可正、負(fù)或0。單位：v

2）電勢(shì)的零點(diǎn)（電勢(shì)能零點(diǎn)）任選。在理論上對(duì)有限帶電體

通常取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)=0,在實(shí)用上通常取地球?yàn)殡妱?shì)零

點(diǎn)。一方面因?yàn)榈厍蚴且粋€(gè)很大的導(dǎo)體，它本身的電勢(shì)

比較穩(wěn)定，適宜于作為電勢(shì)零點(diǎn)，另一方面任何其他地

方都可以方便地將帶電體及地球比較，以確定電勢(shì)。

3）電勢(shì)及電勢(shì)能是兩個(gè)不同概念，電勢(shì)是電場(chǎng)具有的性質(zhì)，

而電勢(shì)能是電場(chǎng)中電荷及電場(chǎng)組成的系統(tǒng)所共有的，若

電場(chǎng)中不引進(jìn)電荷也就無(wú)電勢(shì)能，但是各點(diǎn)電勢(shì)還是存

在的。

4）場(chǎng)強(qiáng)的方向即為電勢(shì)的降落方向。

3.電勢(shì)差:

電場(chǎng)中任意二點(diǎn)電勢(shì)差，稱(chēng)為他們的電勢(shì)差。

a一_

u-?,=E-dr

Ja

（7-15）

結(jié)論：a、b二點(diǎn)電勢(shì)差等于單位正電荷從afZ,靜電力做的功。

三、電勢(shì)的計(jì)算

1、點(diǎn)電荷電勢(shì)：

2、點(diǎn)電荷系電勢(shì)

設(shè)有點(diǎn)電荷外%，…，

Ma=t—

（7-16）

結(jié)論：點(diǎn)電荷系中某點(diǎn)電勢(shì)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生電勢(shì)

的代數(shù)和，

此結(jié)論為靜電場(chǎng)中的電勢(shì)疊加原理。

3、連續(xù)帶電體電勢(shì)

設(shè)連續(xù)帶電體由無(wú)窮多個(gè)電荷元組成，每個(gè)電荷元視為點(diǎn)電荷，陽(yáng)

在a處產(chǎn)生電勢(shì)為：砥毋

整個(gè)帶電體在a處產(chǎn)生的電勢(shì)為：（r

例7-12：均勻帶電圓環(huán)、半徑為R,電荷為/

求其軸線上任一點(diǎn)電勢(shì)。

解：如圖所示，X軸在圓環(huán)軸線上，圖7-31

〈方法一〉用力療解：卷7

圓環(huán)在其軸線上任一點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

I0XX

E=——竺一r（后及X軸平行）\J

4至0（斤+X2）2

〈方法二〉用電勢(shì)疊加原理解4=JdM/,圖732

把圓環(huán)分成一系列電荷元，每個(gè)電荷元視為點(diǎn)電荷，花在p點(diǎn)

產(chǎn)生電勢(shì)為：

整個(gè)環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)為：

討論:1)%=0處，u---—

P4加0R

2)X?R時(shí)，叫=/-,環(huán)可視為點(diǎn)電荷。

4您

例7-13：一均勻帶電球面，半徑為H,電荷為

求球面外任一點(diǎn)電勢(shì)。

解：如圖所取坐標(biāo)，場(chǎng)強(qiáng)分布為

E0（球面內(nèi)）

?球面外）

圖7-33

球面外任一點(diǎn)P息電勢(shì)

up=VE-dr=VEdr（二?積分及路徑無(wú)關(guān)，，可沿斤方向

口Jr}J/i

—>oo)

結(jié)論：均勻帶電球面外任一點(diǎn)電勢(shì)，如同全部電荷都集中在球心的

點(diǎn)電荷一樣。

球面內(nèi)任一點(diǎn)P2電勢(shì)

可見(jiàn)，球面內(nèi)任一點(diǎn)電勢(shì)及球面上電勢(shì)相等。（.??球面內(nèi)任一點(diǎn)

左=0,??.在球面內(nèi)移動(dòng)試驗(yàn)電荷時(shí)，無(wú)電場(chǎng)力作功，即電勢(shì)差=0,...

有上面結(jié)論）

例7T4:有二個(gè)同心球面，半徑為小、&,電荷為“，-q,求二面的

電勢(shì)差。

解：〈方法一〉用/-〃外=j:后.右解f

在二球面間，場(chǎng)強(qiáng)為：

〈方法二〉用電勢(shì)疊加原理解I（飛；]

內(nèi)球面在二球面上產(chǎn)生電勢(shì)分別

外球面在二球面上產(chǎn)生電勢(shì)分別為：

一二球面電勢(shì)分另卜為：

注意電勢(shì)計(jì)算方訓(xùn)。圖774

§7-6等勢(shì)面場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)的關(guān)系

一、等勢(shì)面

1、等勢(shì)面：電勢(shì)相等的點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)成的曲面稱(chēng)為等勢(shì)面。

如：在距點(diǎn)電荷距離相等的點(diǎn)處電勢(shì)是相等的，這些點(diǎn)構(gòu)成的曲

面是以點(diǎn)電荷為球心的球面?？梢?jiàn)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的等勢(shì)面是一系列同

心的球面，如左圖所示。

2、場(chǎng)中等勢(shì)面性質(zhì)

1）等勢(shì)面上移動(dòng)電荷時(shí)電場(chǎng)力不作功

設(shè)：設(shè)點(diǎn)電荷外沿等勢(shì)面從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)電場(chǎng)力作功為：

2）任何靜電場(chǎng)中電力線及等勢(shì)