金華市東陽(yáng)市2023年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

9/26金華市東陽(yáng)市2023年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本題有10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，不選、多選、錯(cuò)選，均不給分。1．下面四個(gè)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．下列長(zhǎng)度的三條線段不能組成三角形的是（）A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可．解：A、因?yàn)?+1＝2，所以長(zhǎng)度為1，1，2的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；B、因?yàn)?+2＞4，所以長(zhǎng)度為2、3、4的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；C、因?yàn)?+4＞5，所以長(zhǎng)度為3，4，5的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)?+4＞6，所以長(zhǎng)度為3、4、6條線段能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．3．等腰三角形的底角等于50°，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)是（）A．50° B．65° C．80° D．100°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可確定．解：因?yàn)榈妊切蔚牡捉堑扔?0°，所以180°﹣50°﹣50°＝80°，所以等腰三角形的頂角為80°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．下列命題中，逆命題是真命題的是（）A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2 C．對(duì)頂角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b|【分析】根據(jù)逆命題的概念分別寫出各個(gè)命題的逆命題，判斷即可．解：A、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的逆命題是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，是真命題，符合題意；B、若a＝b，那么a2＝b2的逆命題是若a2＝b2，那么a＝b，是假命題，不符合題意；C、對(duì)頂角相等的逆命題是兩個(gè)相等的角是對(duì)頂角，是假命題，不符合題意；D、若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命題是若|a|＝|b|，那么a＝b，是假命題，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5．如圖，在△ABC中，作BC邊上的高線，下列畫法正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的定義判斷即可．解：△ABC的BC邊上的高是經(jīng)過點(diǎn)A和BC垂直的線段．選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，三角形的角平分線，中線，高等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解三角形的高的定義，屬于中考?？碱}型．6．如圖，AB⊥CD，垂足為O．添加下列一組條件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是（）A．AC＝BD，OA＝OB B．OA＝OD，∠A＝∠B C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定定理、平行線的性質(zhì)判斷即可．解：A、當(dāng)AC＝BD，OA＝OB時(shí)，根據(jù)HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)OA＝OD，∠A＝∠B時(shí)，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)AC＝BD，OC＝OD時(shí)，根據(jù)HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)AC∥BD時(shí)，∠A＝∠B，根據(jù)AAS定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE＝5，AD＝9，則BE的長(zhǎng)是（）A．6 B．5 C．4.5 D．4【分析】本題可通過全等三角形來求BE的長(zhǎng)，△BEC和△CDA中，已知了一組直角，∠CBE和∠ACD同為∠BCE的余角，AC＝BC，可據(jù)此判定兩三角形全等；可得出的條件為CE＝AD，BE＝CD，因此只需求出CD的長(zhǎng)即可，而CD的長(zhǎng)可根據(jù)CE即AD的長(zhǎng)和DE的長(zhǎng)得出，由此可得解．解：因?yàn)椤螦CB＝90°，BE⊥CE，所以∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，所以∠ACD＝∠CBE，在△BEC和△CDA中，，所以△ACD≌△CBE（AAS），所以EC＝AD＝9，BE＝DC，因?yàn)镈E＝5，所以CD＝EC﹣DE＝4，所以BE＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用，三角形全等是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．8．如圖，在四邊形ABCD中，連結(jié)AC，BD，若△ABC是等邊三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．75°【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABC＝60°，根據(jù)已知條件可得∠CBD的度數(shù)，BD＝BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDC的度數(shù)．解：在等邊△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，因?yàn)锳B＝BD，∠ABD＝20°，所以BD＝BC，∠CBD＝60°﹣20°＝40°，所以∠BDC＝（180°﹣40°）÷2＝70°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想和解題方法，如：“當(dāng)0＜x＜12時(shí)，求代數(shù)式+的最小值”，其中可看作兩直角邊分別為x和2的Rt△ACP的斜邊長(zhǎng)，可看作兩直角邊分別是12﹣x和3的Rt△BDP的斜邊長(zhǎng)．于是將問題轉(zhuǎn)化為求AP+BP的最小值，如圖所示，當(dāng)AP與BP共線時(shí)，AP+BP為最小．請(qǐng)你解決問題：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，則代數(shù)式的最小值是（）A．4 B．5C．6 D．7【分析】仿照例題，求出AB＝＝＝5，即可求解；解：依題意如圖，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4﹣x，所以AE＝1+2＝3，BE＝4，所以AB＝＝＝5，所以代數(shù)式的最小值是5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．過點(diǎn)D作DF的垂線交小正方形對(duì)角線EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)BG，若大正方形的面積是小正方形面積的5倍，則的值為（）A． B．3 C． D．4【分析】BE與GD的延長(zhǎng)線相交于M點(diǎn)，BM交CF于N點(diǎn)，如圖，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則大正方形的邊長(zhǎng)為x，設(shè)CN＝t，則BE＝t，在Rt△BCN中利用勾股定理得到x2+（t+x）2＝（x）2，解得t＝x，所以BE＝CN＝x，由于ED為小正方形的對(duì)角線，則∠FEN＝∠EFN＝45°，接著判定△GDF為等腰直角三角形，則∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，然后證明△MGE為等腰直角三角形，所以ME＝MG＝2x，接著利用勾股定理計(jì)算出BG＝x，從而得到的值．解：BE與GD的延長(zhǎng)線相交于M點(diǎn)，BM交CF于N點(diǎn)，如圖，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則大正方形的邊長(zhǎng)為x，設(shè)CN＝t，則BE＝t，在Rt△BCN中，因?yàn)镃N＝t，BN＝t+x，BC＝x，所以x2+（t+x）2＝（x）2，解得t＝x，所以BE＝CN＝x，因?yàn)镋D為小正方形的對(duì)角線，所以∠FEN＝∠EFN＝45°，所以∠GFD＝45°，因?yàn)镚D⊥DF，所以△GDF為等腰直角三角形，所以∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，因?yàn)椤螱EM＝∠EGM＝45°，所以△MGE為等腰直角三角形，所以ME＝MG＝2x，在Rt△BMG中，因?yàn)锽M＝3x，GM＝2x，所以BG＝＝x，所以＝＝．故選：C．二、填空題本題有8小題，每小題3分，共24分。11．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，則∠A＝65度．【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求解即可．解：因?yàn)椤螩＝90°，∠B＝25°，所以∠A＝90°﹣25°＝65°，故答案為：65．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．在說明命題“若|a|＞3，則a＞3”是假命題的反例中，a的值可以是﹣4（答案不唯一）．．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義、有理數(shù)的大小比較法則解答．解：當(dāng)a＝﹣4時(shí)，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，所以“|a|＞3，則a＞3”是假命題，故答案為：﹣4（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是假命題的證明，要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．13．如圖，AC＝BD，若要證明△ABC≌△DCB，需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，可以是AB＝DC（寫出一個(gè)即可）．【分析】由圖形可知BC為公共邊，則可再加一組邊相等，可求得答案．解：因?yàn)锳C＝DB，BC＝CB，所以可補(bǔ)充AB＝DC，在△ABC和△DCB中，，所以△ABC≌△DCB（SSS）；故答案為：AB＝DC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．邊長(zhǎng)為2cm的等邊三角形的面積為cm2．【分析】根據(jù)等邊三角形三角都是60°利用三角函數(shù)可求得其高，根據(jù)面積公式求解．解：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠B＝60°．因?yàn)锳B＝2cm，所以AD＝ABsin60°＝（cm），所以△ABC的面積＝×2×＝（cm2）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形面積的計(jì)算，本題中根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算出AD的值是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，則CD＝5．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出CD即可．解：由勾股定理得：AB＝＝＝10，因?yàn)樵赗t△ACB中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，所以CD＝AB＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能求出CD＝AB是解此題的關(guān)鍵．16．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，BC＝4，CD＝2，將△BCD沿對(duì)角線BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，則線段AE的長(zhǎng)為1.5．【分析】首先根據(jù)題意得到BE＝DE，然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段AB、AE、BE的方程，解方程即可解決問題．解：設(shè)ED＝x，則AE＝4﹣x，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AD∥BC，所以∠EDB＝∠DBC，由題意得：∠EBD＝∠DBC，所以∠EDB＝∠EBD，所以EB＝ED＝x，由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，即x2＝4+（4﹣x）2，解得：x＝2.5，即ED＝2.5，所以AE＝1.5．故答案為：1.5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何變換中的翻折變換，掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，則BD的長(zhǎng)為．【分析】如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形AEFD是矩形．證明Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），推出BE＝CF，利用勾股定理求出AE，DF，可得結(jié)論．解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形AEFD是矩形．梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，所以AB＝CD，∠ADB＝∠DBC，因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，所以AB＝AD＝3，因?yàn)锳D∥CB，AE⊥CB，DF⊥BC，所以AD＝DF，所以Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），所以BE＝CF，因?yàn)樗倪呅蜛EFD是矩形，所以AD＝EF＝3，所以BE＝CF＝（7﹣3）＝2，所以AE＝DF＝＝＝，所以BD＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．18．如圖1是吊車的實(shí)物圖，圖2是吊車工作示意圖，車頂BM與車身CN平行于地面，已知BM到地面的距離為2米，AD＝4.8米，∠MBC＝3∠BCN．吊車作業(yè)時(shí)是通過液壓桿CD的伸縮使起重臂AB繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)的，從而使得起重臂升降作業(yè)．在某次起重作業(yè)中，學(xué)習(xí)興趣小組經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)：液壓桿CD為2米時(shí)，∠DCN＝120°，∠MBD＝150°，則∠CBD＝75度，此時(shí)點(diǎn)A到地面的距離為5.4米．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCN+∠MBC＝180°，求得∠BCN＝45°，∠MBC＝135°，得到∠DCB＝75°，求得∠DBC＝360°﹣∠MBD﹣∠MBC＝75°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝2米，求得AB＝6.8米，過B作BE⊥EF于E，過A作AF⊥EF于F，過B作BG⊥AF于F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AG＝AB＝3.4米，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GF＝BE＝2米，于是得到結(jié)論．解：因?yàn)锽M∥CN，所以∠BCN+∠MBC＝180°，因?yàn)椤螹BC＝3∠BCN，所以∠BCN＝45°，∠MBC＝135°，因?yàn)椤螪CN＝120°，所以∠DCB＝75°，因?yàn)椤螹BD＝150°，所以∠DBC＝360°﹣∠MBD﹣∠MBC＝75°，所以∠DBC＝∠DCB，所以BD＝CD＝2米，因?yàn)锳D＝4.8米，所以AB＝6.8米，過B作BE⊥EF于E，過A作AF⊥EF于F，過B作BG⊥AF于F，在Rt△ABG中，因?yàn)椤螦BG＝180°﹣∠DBM＝30°，所以AG＝AB＝3.4米，因?yàn)锽E⊥EF，AF⊥EF，BG⊥AF，所以∠BEF＝∠EFG＝90°，所以四邊形BEFG是矩形，所以GF＝BE＝2米，所以AF＝AG+GF＝3.4+2＝5.4（米），答：點(diǎn)A到地面的距離AF的長(zhǎng)為5.4米，故答案為：75，5.4，三、解答題本題有6小題，共46分．解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程。19．如圖，C為∠AOB平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在射線OA上，且OD＝CD．求證：CD∥OB．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DOC＝∠DCO，再根據(jù)角平分線的定義可得∠DOC＝∠BOC，從而可得∠BOC＝∠DCO，然后利用平行線的判定即可解答．【解答】證明：因?yàn)镺D＝CD，所以∠DOC＝∠DCO，因?yàn)镺C平分∠AOB，所以∠DOC＝∠BOC，所以∠BOC＝∠DCO，所以DC∥OB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的判定是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC與△DCB中，已知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB．求證：AC＝DB．【分析】有條件∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，證得∠ABC＝∠DCB，根據(jù)ASA得出△ABC≌△DCB，由全等三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：因?yàn)椤螦BD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，所以∠ABC＝∠DCB，在△ABC和△DCB中因?yàn)?，所以△ABC≌△DCB，所以AC＝DB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．21．如圖，在3×6的方格紙中，已知格點(diǎn)P和線段AB．（1）畫一個(gè)銳角三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上且不與點(diǎn)A，B重合），使P為其中一邊的中點(diǎn)．（2）再畫出該三角形關(guān)于直線AB對(duì)稱的圖形．【分析】（1）根據(jù)銳角三角形的定義結(jié)合網(wǎng)格作出圖形即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解．解：（1）如圖所示，△DCE即為所求（答案不唯一）；（2）如圖所示，△FGH即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，熟練掌握銳角三角形的定義，以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，△ABC和△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．（1）若∠BAC＝100°，∠CAD＝30°，求∠EAF的度數(shù)．（2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C＝81°，求∠EAF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，可得∠DAE＝100°，進(jìn)一步可得∠CAE的度數(shù)，從而可得∠EAF的度數(shù)；（2）根據(jù)BC∥AD，可得∠C＝∠CAD，根據(jù)AE平分∠BAM，可得∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，進(jìn)一步可得∠CAF+∠EAF+∠E＝99°，從而可得∠EAF的度數(shù)．解：（1）因?yàn)椤鰽BC和△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，所以△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，所以∠DAE＝∠BAC＝100°，因?yàn)椤螩AD＝30°，所以∠CAE＝100°﹣30°＝70°，所以∠EAF＝70°÷2＝35°；（2）因?yàn)锽C∥AD，所以∠C＝∠CAD，因?yàn)椤螪AC＝∠BAE，∠EAF＝∠CAF，又因?yàn)锳E平分∠BAM，所以∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，因?yàn)椤螧FE+∠C＝81°，所以∠D+∠DAC＝81°，所以∠CAF+∠EAF+∠E＝180°﹣81°＝99°，因?yàn)椤螩＝∠E，所以3∠EAF＝99°，所以∠EAF＝33°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．已知：在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC，CD2+AD2＝2AB2．（1）求證：AD⊥CD．（2）若AB＝，AD＝8．①求四邊形ABCD的面積．②點(diǎn)B到AD的距離是7．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠ABC＝90°，從而利用勾股定理可得AC2＝AB2+BC2，再結(jié)合已知可得AC2＝2AB2，從而可得CD2+AD2＝AC2，然后利用勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，即可解答；（2）①在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC＝10，再在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD＝6，然后根據(jù)四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ADC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答；②過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BD，利用垂直定義可得∠BEA＝∠BED＝∠BFC＝90°，從而利用四邊形內(nèi)角和是360°可得∠FBE＝90°，進(jìn)而利用等式的性質(zhì)可得∠ABE＝∠CBF，然后利用AAS證明△ABE≌△CBF，從而可得BE＝BF，最后再根據(jù)四邊形ABCD的面積＝△ABD的面積+△CBD的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：因?yàn)锳B⊥BC，所以∠ABC＝90°，所以AC2＝AB2+BC2，因?yàn)锳B＝BC，所以AC2＝2AB2，因?yàn)镃D2+AD2＝2AB2，所以CD2+AD2＝AC2，所以△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°，所以AD⊥CD；（2）解：①在Rt△ABC中，AB＝BC＝，所以AC＝AB＝×＝10，在Rt△ACD中，AD＝8，所以CD＝＝＝6，所以四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ADC的面積＝AB?BC+AD?CD＝××+×8×6＝25+24＝49，所以四邊形ABCD的面積為49；②過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BD，所以∠BEA＝∠BED＝∠BFC＝90°，因?yàn)椤螦DC＝90°，所以∠FBE＝360°﹣∠ADC﹣∠BED﹣∠BFC＝90°，因?yàn)椤螦BC＝90°，所以∠ABC﹣∠CBE＝∠FBE﹣∠CBE，所以∠ABE＝∠CBF，因?yàn)锳B＝BC，所以△ABE≌△CBF（AAS），所以BE＝BF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD的面積為49，所以△ABD的面積+△CBD的面積＝49，所以AD?BE+CD?BF＝49，所以×8BE+×6BF＝49，所以7BE＝49，所以BE＝7，所以點(diǎn)B到AD的距離是7，故答案為：7．24．如圖，AC⊥BD于點(diǎn)E，連結(jié)AB，CD，AB＝10，BE＝8，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A，B重合），點(diǎn)Q在線段AC上，滿足CQ＝AP，連結(jié)PQ．當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，Q恰好與點(diǎn)E重合．（1）求AC的長(zhǎng)．（2）若∠C＝∠B，P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，求證：直線PQ⊥CD．（3）連結(jié)BQ，當(dāng)△ABQ是等腰三角形