桂林市永?？h2024年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

6/21桂林市永?？h2024年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題每題3分，共36分。1．造房子時屋頂常用三角結構，從數(shù)學角度來看，是因為三角形具有（）A．三條邊 B．三個角 C．三個頂點 D．穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行解答．解：造房子時屋頂常用三角結構，從數(shù)學角度來看，是應用了三角形具有穩(wěn)定性，故選：D．【點評】本題考查三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應用問題，是基礎題型．2．如圖，為估計池塘岸邊A、B兩點的距離，小明在池塘的一側選取一點O，測得OA＝10米，OB＝8米，A、B間的距離不可能是（）A．12米 B．10米 C．20米 D．8米【分析】根據(jù)三角形的三邊關系，第三邊的長一定大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和，求得相應范圍，看哪個數(shù)值不在范圍即可．解：因為10﹣8＜AB＜10+8，所以2＜AB＜18，所以不可能是20米．故選：C．【點評】此題考查了三角形三邊關系，已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．3．把分式方程的兩邊同時乘以（x﹣2），約去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2【分析】分母中x﹣2與2﹣x互為相反數(shù)，那么最簡公分母為（x﹣2），乘以最簡公分母，可以把分式方程轉化成整式方程．解：方程兩邊都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）＝x﹣2．故選：D．【點評】找到最簡公分母是解答分式方程的最重要一步；注意單獨的一個數(shù)也要乘最簡公分母；互為相反數(shù)的兩個數(shù)為分母，最簡公分母為其中的一個，另一個乘以最簡公分母后，結果為﹣1．4．如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中的新定義，對各個選項進行變形，然后即可判斷哪個選項符合題意．解：＝＝x+y，故選項A不符合題意；的分子分母都不能分解因式，故選項B不符合題意；＝，故選項C符合題意；＝＝，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查分式的約分、因式分解、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解答．5．若分式的值為0，則x的值是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．0【分析】分母不為0，分子為0時，分式的值為0．解：根據(jù)題意，得x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得，x＝﹣3；故選：A．【點評】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．6．如圖，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列條件不能說明△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝DB B．∠A＝∠D C．AB＝DC D．∠ACB＝∠DBC【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．解：因為∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，所以當添加∠A＝∠D時，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△DCB；當添加AB＝DC時，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△DCB；當添加∠ACB＝∠DBC時，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DCB．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．7．下面四個圖形中，線段BE能表示三角形ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的定義：從三角形的一個頂點，作對邊的垂線，頂點與垂足所連線段即為三角形的一條高線，進行判斷即可．解：A、線段BE不能表示三角形ABC的高，不符合題意；B、線段BE能表示三角形ABC的高，符合題意；C、線段BE不能表示三角形ABC的高，不符合題意；D、線段BE不能表示三角形ABC的高，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查三角形的高線．熟練掌握三角形的高線的定義是解題的關鍵．8．要說明命題“若a＞b，則a2＞b2”是假命題，下列a，b的值能作為反例的是（）A．a＝4，b＝﹣2 B．a＝4．b＝2 C．a＝﹣3，b＝﹣4 D．a＝﹣3，b＝﹣2【分析】作為反例，要滿足條件但不能得到結論，然后根據(jù)這個要求對各選項進行判斷．解：A、a＝4，b＝﹣2滿足a＞b，a2＞b2，不能作為反例，故不符合題意；B、a＝4，b＝2滿足a＞b，a2＞b2，不能作為反例，故不符合題意；C、a＝﹣3，b＝﹣4滿足a＞b，但a2＜b2，能作為反例，故符合題意；D、a＝﹣3，b＝﹣2不滿足a＜b，不能作為反例，故不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．9．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若AC＝4，AB＝10，則△ACD的周長為（）A．4 B．6 C．10 D．14【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得CD＝DB，然后可得AD+CD＝10，進而可得△ACD的周長．解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，因為MN是BC的垂直平分線，所以CD＝DB，因為AB＝10，所以CD+AD＝10，所以△ACD的周長＝CD+AD+AC＝4+10＝14，故選：D．【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質和作法，關鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．10．無論x取什么數(shù)，總有意義的分式是（）A． B． C． D．【分析】按照分式有意義，分母不為零即可求解．解：A．，x3+1≠0，x≠﹣1，B．，（x+1）2≠0，x≠﹣1，C．，x2+1≠0，x為任意實數(shù)，D．，x2≠0，x≠0；故選：C．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，按照分式有意義，分母不為零即可求解11．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質，可知三個三角形高相等，底分別是20，30，40，所以面積之比就是2：3：4．解：過點O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，因為點O是內心，所以OE＝OF＝OD，所以S△ABO：S△BCO：S△CAO＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故選：C．【點評】本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質及三角形的面積公式．做題時應用了三個三角形的高是相等的，這點是非常重要的．12．《九章算術》是中國古代數(shù)學名著，其中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五、直金八兩．問牛、羊各直金幾何？”小明對這個問題進行了改編：每頭牛比每只羊貴1兩，20兩買牛，15兩頭羊．買得牛、羊的數(shù)量相等，則每頭牛的價格為多少兩？若設每頭牛的價格為x兩，則可列方程為（）A． B． C． D．【分析】若設每頭牛的價格為x兩，則每頭羊的價格為（x﹣1）兩，根據(jù)“20兩買牛，15兩頭羊．買得牛、羊的數(shù)量相等”找到等量關系并列出方程，此題得解．解：若設每頭牛的價格為x兩，則每頭羊的價格為（x﹣1）兩，則可列方程為．故選：B．【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．二、填空題每題2分，共12分。13．分式，，的最簡公分母是12xy2．【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．解：分式，，的分母分別是2x、3y2、4xy，故最簡公分母是12xy2．故答案為12xy2．【點評】本題考查了最簡公分母，通分的關鍵是準確求出各個分式中分母的最簡公分母，確定最簡公分母的方法一定要掌握．14．內角和是1440°的多邊形的邊數(shù)是10．【分析】設這個多邊形是n邊形，它的內角和可以表示成（n﹣2）?180°，根據(jù)題意列方程得（n﹣2）×180＝1440，即可解得n的值．解：設這個多邊形是n邊形，根據(jù)多邊形內角和定理得：（n﹣2）×180＝1440，解得：n＝10．所以此多邊形的邊數(shù)為10．故答案為：10．【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，熟練掌握內角和定理的解題的關鍵．15．若等腰三角形中有一個角等于65°，則這個等腰三角形的底角的度數(shù)為57.5°或65°．【分析】題中沒有指明這個角是底角還是頂角，故應該分情況進行分析，從而求解．解：①當這個角為頂角時，底角＝（180°﹣65°）÷2＝57.5°；②當這個角是底角時，底角＝65°．故答案為：57.5°或65°．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理的綜合運用，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵．16．使分式有意義的x的取值范圍是x≠5．【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得x﹣5≠0，求出x的范圍即可．解：當x﹣5≠0時，分式有意義，解得x≠5，故答案為：x≠5．【點評】本題考查分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件：分母不為零是解題的關鍵．17．關于x的分式方程＝1有增根，則m的值為﹣3．【分析】方程兩邊乘（x﹣2），把分式方程轉化為整式方程，解出方程的解，根據(jù)方程有增根，增根為x＝2，得到關于m的方程，解方程即可．解：方程兩邊乘（x﹣2）得：m+3＝x﹣2，所以x＝m+5，因為方程有增根，所以x﹣2＝0，所以m+5＝2，所以m＝﹣3，故答案為：﹣3．【點評】本題考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含義是解題的關鍵．18．如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G，F(xiàn)，若FG＝3，ED＝6，EB+DC＝9．【分析】由角平分線定義與平行線的性質推出∠EBG＝∠EGB，得到EB＝EG，同理DF＝DC，因此EB+DC＝EG+DF＝ED+FG．解：因為BG平分∠EBC，所以∠EBG＝∠GBC，因為DE∥BC，所以∠EGB＝∠GBC，所以∠EBG＝∠EGB，所以EB＝EG，同理DF＝DC，所以EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝6+3＝9，故答案為：9．【點評】本題考查角平分線與平行線，掌握角平分線加平行線，可得等腰三角形這一幾何模型是解題的關鍵．三、解答題共72分。19．（16分）（1）（x﹣3y﹣2）﹣3?（x2y﹣1）﹣4．（2）．（3）．（4）．【分析】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；（2）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；（3）利用同分母分式加減法法則進行計算，即可解答；（4）利用分式的乘法法則進行計算，即可解答．解：（1）（x﹣3y﹣2）﹣3?（x2y﹣1）﹣4＝x9y6?x﹣8y4＝xy10；（2）＝﹣2﹣1+＝﹣2；（3）＝＝＝1；（4）＝?＝．【點評】本題考查了分式的混合運算，冪的乘方與積的乘方，單項式乘單項式，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．20．解方程：（1）﹣＝0；（2）﹣＝1．【分析】（1）①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．（2）①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．解：（1）﹣＝0，2x﹣（x+1）＝0，2x﹣x﹣1＝0，x＝1，經檢驗：當x＝1時，x（x+1）＝2≠0，故原方程的解是x＝1；（2）﹣＝1，（x﹣2）2﹣16＝x2﹣4，x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，﹣4x+4﹣16＝﹣4，x＝﹣2，經檢驗：當x＝﹣2時，（x+2）（x﹣2）＝0，是增根，所以原方程無解．【點評】考查了解分式方程，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．21．先化簡：，然后從﹣1，0，1，2，3中選擇一個合適的數(shù)代入求值．【分析】先把括號內通分，再把除法運算化為乘法運算，接著約分得到原式＝﹣，然后根據(jù)分式有意義的條件把a＝3代入計算即可．解：原式＝÷＝÷＝?＝﹣，因為a+1≠0且a﹣1≠0且a≠0且a﹣2≠0，所以a只能取3，當a＝3時，原式＝﹣＝﹣．【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．22．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．求證：△ACD≌△CBE．【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠ADC＝∠E＝90°，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠B＝∠ACD，再利用“角角邊”證明△ACD≌△CBE．【解答】證明：因為AD⊥CE，BE⊥CE，所以∠ADC＝∠E＝90°，因為∠ACB＝90°，所以∠BCE+∠ACD＝90°，因為∠B+∠BCE＝90°，所以∠B＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，，所以△ACD≌△CBE（AAS）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，根據(jù)題意求出∠B＝∠ACD是證明三角形全等的關鍵．23．對a，b定義一種新運算M，規(guī)定，這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，如果M（2x，1）＝M（1，﹣1），求實數(shù)x的值；【分析】根據(jù)定義新運算的計算方法列出方程求得x的數(shù)值即可．解：因為M（2x，1）＝M（1，﹣1），所以＝，解得：x＝，經檢驗：x＝是原分式方程的解，所以實數(shù)x的值為．【點評】此題考查解分式方程，理解定義新運算的方法，掌握解分式方程的步驟與方法是解決問題的關鍵．24．如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度數(shù)．【分析】△ABD中，由三角形的外角性質知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，從而可在△BAC中，根據(jù)三角形內角和定理求出∠4的度數(shù)，進而可在△DAC中，由三角形內角和定理求出∠DAC的度數(shù)．解：設∠1＝∠2＝x，則∠3＝∠4＝2x．因為∠BAC＝63°，所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．【點評】此題主要考查了三角形的外角性質以及三角形內角和定理的綜合應用．25．閱讀下面一段文字：高圓帶了9元去商店買筆記本，她想買一種軟面抄，正好需付9元，但售貨員建議她買另一種質量更好的硬面抄，只是這種筆記本的價格比軟面抄要高出一半，因此她只能少買一本筆記本．請你根據(jù)以上信息確定：這種軟面抄和硬面抄的價格各是多少？高圓原來打算買多少本筆記本？【分析】關鍵描述語為：“少買了一本筆記本”；等量關系為：價格低的數(shù)量﹣價格高的數(shù)量＝1．解：設每本軟面抄的價格為x元，則每本硬面抄的價格為1.5x元．（1分）由題意得：．解之得：x＝3．所以1.5×3＝4.5（元），9÷3＝3（本）．答：軟面抄單價3元/本，硬面抄單價4.5元/本，高原原計劃買3本筆記本．【點評】列分式方程解應用題與所有列方程解應用題一樣，重點在于準確地找出相等關系，這是列方程的依據(jù)．26．回答問題（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系，小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論是∠BAE+∠FAD＝∠EAF；（2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3，仍然滿足EF＝BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系．【分析】（1）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結論；（2）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）在DC延長線上取一點G，使得DG＝BE，連接AG，先判