(寒假)人教版數(shù)學八年級寒假講義07 勾股定理綜合問題+隨堂檢測（原卷版）

第第頁07勾股定理綜合問題考向一勾股定理與弦圖問題【例1】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab=24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

）A．13 B．10 C．15 D．9【例2】如圖所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列三個結(jié)論：①xA．①②③ B．①② C．①③ D．②③【變式1】如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC=6,BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（

）A．52 B．68 C．72 D．76【變式2】中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位，體現(xiàn)了數(shù)學研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀我國漢代的數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個全等的直角三角形可以圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則a+b2【變式3】我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學方法，請你用等面積法來探究下列兩個問題：(1)如圖①是著名的“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成，請用它驗證勾股定理；(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD(3)如圖①，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求a+b2考向二勾股定理與網(wǎng)格問題【例1】如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點上，則C點到AB的距離為（

）A．31010 B．2105 C．【變式1】如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點D，則CD的長為（

）A．3?1 B．3?5 C．5 【變式2】如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1．網(wǎng)格內(nèi)有△PAB，則∠PAB+∠PBA的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．50° D．60°【變式3】如圖，在8×8的方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，下列結(jié)論正確的有_____（填寫序號）．①△ABC的形狀是直角三角形；②△ABC的周長是35③點B到AC邊的距離是2；④若點D在格點上（不與A重合），且滿足S△BCD=S考向三勾股定理的應用【例1】如圖，數(shù)軸上的點A對應的實數(shù)是﹣1，點B對應的實數(shù)是1，過點B作BC⊥AB．使BC＝1，連接AC，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交數(shù)軸于點D，則點D對應的實數(shù)是（）A．﹣1 B．+1 C． D．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，，則四邊形ABCD的面積是（）A． B．4 C． D．【例2】為加強疫情防控，云南某中學在校門口區(qū)域進行入校體溫檢測．如圖，入校學生要求沿著直線AB單向單排通過校門口，測溫儀C與直線AB的距離為3m，已知測溫儀的有效測溫距離為5m，則學生沿直線AB行走時測溫的區(qū)域長度為（）A．4m B．5m C．6m D．8m【變式1】如圖，是蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．繩長BA＝2m，當秋千擺動到最高點A時，測得∠ABD＝60°．當秋千從A處擺動到A′時，A′B⊥AB，則A′到地面的距離是m．【變式2】一臺拖拉機沿公路AB以200m/min的速度從A行駛到B，點C為一所學校，AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，距離拖拉機250m以內(nèi)會受噪音影響．（1）學校C會受到拖拉機的噪音影響嗎？為什么？（2）學校C受到拖拉機的噪音影響的時間有多長？考向四勾股定理與折疊問題【例1】在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則AE的長是（

A．152 B．254 C．4【變式1】如圖，在等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對折后，點A恰好落在BC上的點D處，CE=1，AC=4，則下列結(jié)論：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE與△BDF的周長相等．一定正確的是（A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【變式2】如圖，等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對折后，點A恰好落在BC上的點D處，點CE=1，AC=4，則下列結(jié)論：①BD>CE；②BC=2CD；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點D為斜邊AB的中點，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使B落在點E處，點F為直角邊AC上一點，連接DF，將△ADF沿DF翻折，使點A與點E重合，則AF【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，已知A0，4、B6，0．現(xiàn)將ΔACD折疊，使點A落在OB邊的中點A′處，折痕為CD，其中點C在【變式2】如圖，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，點M、N分別是邊AB、AC上的動點，沿MN所在的直線折疊∠A，使點A的對應點P始終落在邊勾股定理綜合問題課堂檢測1.利用如圖所示的方法驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC2.如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m3.如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成一個大的正方形，是我國古代數(shù)學的驕傲，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長為（

）A．5 B．13 C．4 D．34.如圖，每個小正方形的邊長為1，若A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC度數(shù)為（

）A．60° B．45° C．30° D．20°5.如圖，△ABC的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則BC邊長的高為（

）A．152 B．855 C．46.如圖，有一個直角三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為（

）A．3 B．103 C．1547.我們知道，三個正整數(shù)a、b、c滿足a2+b2＝c2，那么，a、b、c成為一組勾股數(shù)；如果一個正整數(shù)m能表示成兩個非負整數(shù)x、y的平方和，即m＝x2+y2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的結(jié)論：①7是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)；⑤若x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，其中x，y，z，m，n是正整數(shù)，則x，y，z是一組勾股數(shù)．其中正確的結(jié)論是（）A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤8.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC各頂點均在網(wǎng)格的格點上，CD⊥AB于點D，則CD的長為_____．9.如圖，是臺階的示意圖，已知每個臺階的寬度都是30cm，每個臺階的高度都是15cm，連接AB，則AB等于．10.在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖，如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，下列四個說法：①a2+b2=49,②a?b=4,11.問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個三角形的面積．佳佳同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC．(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)．如圖①所示，這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格