八年級上冊數(shù)學(xué)教案

第十一章全等三角形

11.1全等三角形

教學(xué)目標(biāo)：通過實例表述全等圖形的概念和特征，并能找出全等圖形；能敘述全等三角

形的定義及其相關(guān)概念，并能找出兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角；總結(jié)出全等三角形的

性質(zhì)，并能進(jìn)行簡單的推理和計算，解決一些實際問題。

教學(xué)重、難點:重點：全等三角形的概念、性質(zhì)。

難點：對應(yīng)邊和對應(yīng)角的確定。

教學(xué)過程

(-)導(dǎo)入:我們身邊經(jīng)常看到“一模一樣”的圖形，比如同一版面的記念郵票，同一

版面的人民幣、用兩張紙疊在一起剪出的兩張窗花等，請大家舉出這類圖形的例子。

(二)新課

問題1:幾何中，我們把上述所例舉的“一模一樣”的圖形叫做“全等形”，以下是描

述全等形的三種不同的說法，你認(rèn)為哪種說法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

(1)形狀相同的兩個圖形叫全等形。

(2)大小相等的兩個圖形叫全等形。

(3)能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。

總結(jié)概念：全等形(congruentfigures)：能夠完全重合的兩個圖形。

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

做一做:請你用兩張半透明的薄紙分別描出下中的兩個三角形.然后把它們疊放在一起,

觀察這兩個圖形是否完全重合.(提高學(xué)生的動手能力和觀察能力)

結(jié)論：△ABC和△DEF完全重合，因此它們是全等的.

全等的符號：會，讀作：全等于

△ABC與ADEF全等，記作△ABCgDEF,讀作：“三角形ABC全等于三角形DEF”

思考1、在圖11.1—1中，把AABC沿直線BC平移，得到△DEF。

2、在圖11.1—2中，把△ABC沿直線BC翻折180°,得到△DBC。

3、在圖11.1—3中，把△ABC旋轉(zhuǎn)180°,得到AAED。

各圖中的兩個三角形全等嗎？

可以做兩個三角形，根據(jù)題目中的要求，進(jìn)行實際操作，通過討論，總結(jié)出結(jié)論：一個

圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋

轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

把兩個全等的三角形重合到一起。重合的頂點叫做對應(yīng)頂點。重合的邊叫做對應(yīng)邊。重

合的角叫做對應(yīng)角。例如，圖11.1—1中的AABC和ADEF全等，記作△ABCgZXDEF,其中

點A和點D,點B和點E,點C和點F是對應(yīng)頂點，AB和DE,BC和EF,AC和DF是對應(yīng)邊,

NA和ND,NB和NE,NC和NF是對應(yīng)角。

思考：圖11.1—1中，△ABCgZXDEF,對應(yīng)邊有什么關(guān)系？對應(yīng)角呢？

小組討論，得出全等三角形有這樣的性質(zhì)：

全等三角形的對應(yīng)邊相等；

全等三角形的對應(yīng)角相等。

（三）練習(xí)：課本4頁的練習(xí)1、2。

（四）作業(yè)：課本習(xí)題11.1的1、2、3、4

（四）小結(jié)：

1L2三角形全等的條件

教學(xué)目標(biāo)：能敘述三角形全等的條件，體會三角形的穩(wěn)定性；能靈活地運用三角形全等

的條件，進(jìn)行有條理的思考和簡單的推理，并能利用三角形的全等解決實際問題；提高動手

能力。

教學(xué)重、難點：重點：三角形全等的條件。

難點：利用三角形全等的條件解題。

課時安排：4課時

第一課時

一、復(fù)習(xí)提問

1.怎樣的兩個三角形是全等三角形？2.全等三角形的性質(zhì)？

二、新課

（一）SSS定理的得出

給出任意兩個三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我們知道如果AABC與Z\A‘B'

C'滿足三條邊對應(yīng)相等，三個角對應(yīng)相等，即AB=A'B',BC=B'C',CA=CZA',ZA=

NA',NB二NB',ZC=ZCZ這六個條件，就能保證AABC絲Z\A'B'C'。問同學(xué)們能不

能找到一種方法，用較少的條件來判定兩個三角形全等呢？下面就一起來找找這些條件。

（板書課題：三角形全等的條件）。

探究：1先任意畫出一個△ABC。再畫一個AA'B'C'使AABC與AA'B'C'滿足上述

六個條件中的一個或兩個。你畫出的AA'B'C’與AABC一定全等嗎？

小組討論下面問題

1.在兩個三角形中，有一個角對應(yīng)相等，或一條邊對應(yīng)相等，這兩個三角形是否一定全

等？有兩個角對應(yīng)相等，或兩條邊對應(yīng)相等，或一個角和一條邊分別對應(yīng)相等，情況怎樣？

有三個角對應(yīng)相等的情況呢？

2.用來判斷兩個三角形全等的條件，只有以下三種情況才有可能：三條邊對應(yīng)相等，或

兩條邊和一個角分別對應(yīng)相等，或兩個角和一條邊分別對應(yīng)相等.你認(rèn)為這種說法對嗎？

通過畫圖可以發(fā)現(xiàn)，滿足上述六個條件中的一個或兩個，AABC與B'C'不一定

全等。滿足上述六個條件中的三個，能保證4ABC與AA，B，C'全等嗎？我們分情況進(jìn)行

討論。

探究2：分小組活動：

1.用一根長13cm的細(xì)鐵絲，折成一個邊長分別是3cm,4cm,6cm的三角形.把

你做的三角形和同學(xué)做的三角形進(jìn)行比較，它們能重合嗎？

2.用同一根細(xì)鐵絲，余下1cm,用其余部分折成一個邊長分別是3cm,4cm,5cm

的三角形，再和同學(xué)做的三角形進(jìn)行比較，它們能重合嗎？

3.不同小組用同一根細(xì)鐵絲，任取一組能構(gòu)成三角形的三邊長的數(shù)據(jù)，和同桌同學(xué)分別

按這些數(shù)據(jù)折三角形，折成的兩個三角形能重合嗎？

4.先任意畫出一個aABC.再畫一個B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'

=CA.把畫好的B'C'剪下，放到AABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

畫一個AA'B'C',使A'B'=AB,AzC'=AC,B'C=BC：

1.畫線段B'C'=BC；

2.分別以B'、C'為圓心，線段AB,AC為半徑畫弧，兩弧交于點A'；

3.連接線段VB',A'C'.

通過咱們的試驗，可以得出什么結(jié)論呢？

只要三角形三邊的長度確定，這個三角形的形狀和大小就完全確定了.

總結(jié)定理：如果兩個三角形的三邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.

咱們試著把這句話壓縮一下，用幾個字概括，同學(xué)們認(rèn)為什么最合適呢？：邊邊邊

字母記做“SSS”

三角形全等的表示:

三邊對應(yīng)相如果AB=A'B',阮二M。',

等的兩個三AC=A'C',那么

角形全等AABC9AA'B'C'

我們曾經(jīng)做過這樣的實驗：將三根木條釘成一個三角形木架，這個三角形木架的形狀、

大小就不變了.就是說，三角形的三邊確定了，這個三角形的形狀、大小也就確定了.這里

就用到上面的結(jié)論.

用上面的結(jié)論可以判斷兩個三角形全等.判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三

角形全等.

（二）例題

例1如圖，△ABC是一個鋼架，AB=AC,AD是連接點A與BC中點D的支架.求證AABD

^△ACDo4

分析：要證△ABDgZXACD,可看這兩個三角形的三條邊是BDC

否對應(yīng)相等.麗，.，.

圖13.2-3

從例1可以看出，證明是由題設(shè)（己知）出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理，最后推出結(jié)論（求

證）正確的過程.

（三）思考

已知AC=FE,BC=DE,點A、D、B、F在一條直線上，”

AD=FB（如圖）.要用“邊邊邊”證明△ABCWZXFDE,除了

已知中的AC=FE,BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件?怎樣才。B

能得到這個條件？/

圖13.21

三、練習(xí)：課本第8頁練習(xí)

四、作業(yè)：課本第15頁習(xí)題11.2的1、2、9

五、小結(jié)

第二課時

一、復(fù)習(xí)：如何用“SSS”證明三角形全等？

二、新課：（一）探究3

1.學(xué)生分組活動：畫一個三角形，使它的兩條邊長分別是1.5cm,2.5cm,

其中一個角是30°

畫好后同桌兩人討論：兩個三角形的兩條邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等時，這兩個三角

形全等么？

有的組說全等，有的組說不全等

讓各組派代表說說做法，比較有什么不同，老師總結(jié)，有三種做法

（1）兩條邊長分別是1.5cm,2.5cm,并且長為1.5cm的這條邊所對應(yīng)的角

是30°,這種做法得出的結(jié)論是：不全等

（2）兩條邊長分別是1.5cm,2.5cm,并且長為2.5cm的這條邊所對應(yīng)的角

是30°,這種做法得出的結(jié)論也是：不全等

（3）兩條邊長分別是1.5cm,2.5cm,這兩條邊的夾角為30。，這樣做出的

兩個三角形全等。

提問：由剛才活動得出的結(jié)論，滿足什么條件的兩個三角形全等？

2.將兩邊和它們的夾角的數(shù)據(jù)改換成另一組，再與同學(xué)一起按新數(shù)據(jù)畫三角形.通過對

所畫三角形的比較，你能得出什么結(jié)論？

3.先任意畫出一個AABC再畫出一個AA'B'C',使A'B'=AB,A'Cz=AC,NA'

=ZA（即使有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）.把畫好的B'C'剪下，放到aABC上，

它們?nèi)葐幔?/p>

畫一個AA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,NA'=ZA：

1.畫NDA'E=ZA；

2.在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；

3.連接B'C'.

總結(jié)定理：如果兩個三角形的兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.這

個事實可以簡寫為“邊角邊”或“SAS”.

注：有上述活動，我們可以得出“邊邊角”無法判定兩個三角形全等。

（二）例題

例2：如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的人

距離，可先在平地上取一個可以直接到達(dá)A和B的

點C,連接AC并延長到D,使CD=CA.連接BC并延'、、、1/

長到E,使CE=CB.連接DE,那么量出DE的長就是少V

A、B的距離.為什么？

分析：如果能證明△ABCZ/M）EC,就可以得出_________________Xn

AB=DE.

圖13.26

在AABC和ADEC中，CA=CD,CB=CE.如果能

得出N1=N2,/XABC和ADEC就全等了.

從例2可以看出：因為全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，所以，證明分別屬于兩

個三角形的線段相等或者角相等的問題，常常通過證明這兩個三角形全等來解決.

（三）探究4

我們知道，兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。由“兩邊及其中一邊的對角

對應(yīng)相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎?為什么？

有探究3我們知道不一定全等。現(xiàn)在進(jìn)一步來說明。我們可以通過畫圖回答，還可以通

過實驗回答。

把一長一短兩根細(xì)木棍的一端用螺釘較合在一起，使

長木棍的另一端與射線BC的端點B重合。適當(dāng)調(diào)整好長

木棍與射線BC所成的角后，固定住長木棍，把短木棍擺

起來

圖中的4ABC與4ABD滿足兩邊及其中一邊對角相等的條件，但AABC與4ABD不全等。

這說明，有兩邊和其中邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不定全等。

三、練習(xí)：課本10頁的練習(xí)

四、作業(yè)：P15的3、4、10

五、小結(jié)

第三課時

一、復(fù)習(xí)：問題的提出：

類比著《邊邊邊公理》和《邊角邊公理》即“三元素定三角形”，提出：如果兩個三角

形兩邊一個角分別對應(yīng)相等，這兩個三角形能不能全等？

二、新課：

步驟要*.圖形

探究5：學(xué)生活動

息鼓曲AB,也

1.按照下面的步驟畫第一多

AB=2.5cm-------------------

三角形，使它的兩個內(nèi)角

分別為35°和65°,并

且這兩個角的夾邊的長為/

第二步AZEAB=35°

2.Demo4^------------B

畫好后小組交流，比

第三步后NFBA=65°

較畫出的三角形是否全等

2.活動2：將兩角

和它們的夾邊的數(shù)據(jù)改換取AE和BF的交點為

成另一組，再與同學(xué)一起第四步C,△ABC就是所要勒

按新數(shù)據(jù)畫三角形.通過的三角形

4X35°65\B

對所畫三角形的比較，你能得出什么結(jié)論？

3.先任意畫出一個△ABC。再畫一個AA'B'C',使A'B':AB,NA'=ZA,NB'=

ZB（即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等）。把畫好的B'C'剪下，放到AABC上，它們

全等嗎？

畫一個4A'B'C',使A'B'=AB,NA'=NA,\

1.畫A'B'=AB；/\\

2.在A'B'的同旁畫NDA'B'=ZA,NEB'/\\

A'=NB,A'D,B'E交于點C'.?fCBf

ffi13.28

4.角邊角定理：如果兩個三角形的兩個角和它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形

全等.這個事實可以簡寫為“角邊角”或“ASA”

探究6：在AABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,

BC=EF,AABC與4DEF全等嗎?能利用角邊角條件

證明你的結(jié)論嗎？

圖13.2-9

提示：如果兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么它們的第三個角是什么關(guān)系？

總結(jié)出結(jié)論：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角

角邊”或“AAS”）.

（四）例題：如圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=

ZC.求證AD=AE./\

分析：如果能證明4ACD絲ZkABE,就可以得出AD=AE./\￡

討論：三角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？

三、練習(xí)：的、

P1312圖13.2*10

四、作業(yè)：P15的5、11、12

五、小結(jié)

第四課時

一、引入新課

前面我們學(xué)習(xí)了判定兩個三角形全等的四種方法一一SSS,SAS,ASA,AAS；我們也知

道，“有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等"。這些結(jié)論適用于所有的

各類三角形。

我們在三角形分類時，還學(xué)過了一些特殊三角形（如直角三角形）。特殊三角形全等的

判定是否會有一般三角形不適用的特殊方法呢？

我們知道：斜邊和一對銳角相等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“AAS”判定它們?nèi)龋?/p>

一對直角邊和一對銳角相等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“ASA”或“AAS”判定它們?nèi)?

兩對直角邊相等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“SAS”判定它們?nèi)取?/p>

如果兩個直角三角形的斜邊和一對直角邊相等（邊邊角），這兩個三角形是否可能全等

呢？

二、新課：

探究8：任意畫出一個RtZXABC,使NC=90°.再畫一個RtAA，B;C',使B，L=

BC,A'B'=AB.把畫好的RtZ\A'B'C'剪下，放到RlZXABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

畫一個RtZXA'B'C',使B'C'=BC,A'B'=AB：

1.畫NMC'N=90°.2.在射線C'M上取B'Cz=BC。

3.以B'為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C'N于點A，.4.連接限B，.

上面給出了畫Rt^A'C'的方法.探究8的結(jié)果反映了什么規(guī)律？

我們?nèi)菀卓闯鎏骄?反吠的規(guī)律是：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

例題

DC

例4如圖,AC±BC,BDXAD,AC=BD.求證BC=AD./^3

三、練習(xí)：P14的1、2

ffi13.2-12

四、作業(yè)：小結(jié)P15的6、7、8、13

五、小結(jié)：

1L3角的平分線的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：會作已知角的平分線，能熟練地說出角平分線的性質(zhì)及判定；

能運用角平分線的性質(zhì)及判定證明兩個角相等或兩條線段相等。

教學(xué)重、難點

重點：①角平分線的性質(zhì)及判定；②運用它們來證明兩個角相等或兩條線段相等。

難點：運用角平分線的性質(zhì)及判定證明兩個角相等或兩條線段相等。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問：角平分線的定義？角平分線與三角形的角平分線有何區(qū)別？提問關(guān)于三

角形全等的判定定理.

二、新授

（一）角的平分線的畫法

下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AI）沿著

角的兩邊放下，沿AC畫?條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎？

小組討論

/1.ZDAC與NBAC相等的依據(jù)是什么？

’2.如何做一個角的平分線？能否由以上的探究得出呢？

通過小組討論由上面的探究可以得出作已知角的平分線的

方E法.

re13.3-1「心

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分線.

作法：（1）以0為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交0A

于M,交0B于N。

（2）分別以M、N為圓心，大于‘MN的長為半徑作

2

弧，兩弧在NAOB的內(nèi)部交于點C.

（3）作射線0C.射線0C即為所求（圖13.3—2）.圖13.3-2

練習(xí)

平分平角NAOB.通過上面的步驟得到射線0C以后，把它反向延長得到直線CD.直線

CD與直線AB是什么關(guān)系？

應(yīng)用以上學(xué)到的畫角的平分線的方法，來畫出平角的角平分線（平角只是一種特殊的

角），回顧線段的垂直平分線的定義。進(jìn)而回答直線CD與直線AB的關(guān)系。

（二）角的平分線的性質(zhì)

1.小組討論

（1）有?張剪好的角的紙片，怎樣找這個角的平分線？

（2）大家知道，只要把紙片對折，使角的兩邊疊

合在一起，把紙片展開后的折痕就是這個角的平分線

（如圖1）.如果我們把對折的紙片繼續(xù)折一次，然后

把紙片展開，就會出現(xiàn)兩條折痕（圖2）中的PM和

PN）.不難發(fā)現(xiàn)，這兩條折痕的長相等，而且這種等長

的折痕我們可以找出無數(shù)對.，由此可見，角的平分線除了有平分角的性質(zhì)，還有其他的性質(zhì),

現(xiàn)在我們就來研究這個問題.

2.角的平分線

（1）上述折紙的實驗，象圖2中的等長折痕PU和PN,我們可以找到無數(shù)對，它們既

有一般位置的，也有特殊位置的.比如，角平分線上的點到角兩邊的套線就是特殊位置的等

線段.你能用推理論證的方法說明“在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”這一角平

分線的重要性質(zhì)嗎？

通過討論我們得到角的平分線的性質(zhì)：

角的平分線.上的點到角的兩邊的距離相等。

小組討論

1.在一個角的內(nèi)部，除角平分線上的點以外，還能找到“到角的兩邊距離相離”的點嗎？

為什么?

2.角平分線上，是否有“到角的兩邊距離不相等的點”呢？為什么？

思考

如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離

相等，離公路與鐵路交叉處500米.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處

（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）?

圖13.3-4

我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

小組討論：到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？

利用三角形全等，可以得到：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上

根據(jù)上述結(jié)論，就知道這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處了.

（三）例題

例如圖，aABC的角平分線BM,CN相交于點P.求證:

點P到三邊AB,BC,CA的距離相等.

證明：過點P作PD,PE,PF分別垂直于AB,BC,CA,垂足

為D,E,F.

???BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,

APD=PEo.

同理PE=PF.

???PD=PE=PF.

即點P到三邊AB,BC,CA的距離相等.

小組討論：點P在NA的平分線上嗎?這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？

三、練習(xí)P22的練習(xí)

四、作業(yè):P22習(xí)題11.3的1、2、3、4、5、6

五、小結(jié)

小結(jié)與復(fù)習(xí)

教學(xué)目標(biāo)：總結(jié)出三角形全等的條件及性質(zhì)：能靈活地運用三角形全等的條件及性質(zhì)，

進(jìn)行有條理的思考和簡單的推理，并能利用三角形的全等解決實際問題；會作己知角的平分

線，總結(jié)出角平分線的性質(zhì)及判定，能運用角平分線的性質(zhì)及判定證明兩個角相等或兩條線

段相等。

教學(xué)重點和難點

重點：①三角形全等的條件、角的平分線的性質(zhì)；②能利用①中的知識點解題。

難點：能靈活運用三角形全等的條件及角的平分線的性質(zhì)解題。

教學(xué)過程

一、知識結(jié)構(gòu)

二、回顧與思考

1.舉一些全等形的實際例子。全等三角形的對應(yīng)邊有什么關(guān)系？對應(yīng)角呢？

2.一個三角形有三條邊，三個角。從中任選三個來判定兩個三角形全等，哪些是能夠判

定的？哪些是不能夠判定的？

3.學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，可以解決一些實際問題，例如長度與角度的度量問題，就是從全等三

角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等出發(fā)，設(shè)法形成滿足全等條件的兩個三角形，從而得到結(jié)果。

4.學(xué)了本章，你對角的平分線有了哪些新的認(rèn)識？你能用全等三角形證明角的平分線的

性質(zhì)嗎？

5.你能結(jié)合本章的有關(guān)問題，說一說證明一個結(jié)論的過程嗎？

三、例題

1.如圖,AF=CE,DF=BE,DF〃BE,E、F在AC上。

求證：ZDCF=ZBAEo

解析因為NBAE和NDCF分別在ABAE和ADCF中，所以

只需證明△DCF四△BAE。

方法規(guī)律：全等三角形是證明角相等的重要方法。圖13-1

2.如圖，RtABC中AB=AC,NBAC=90°,Z1=Z2,CE_LBD,且交BD

的延長線于E,則BD與2CE有何關(guān)系？說明理由。

解析解決此題的關(guān)鍵在于如何表示2CE,觀察到N1=N2,BE1CE,

若將CE和BA分別延長相交，可得全等三角形。2CE即可用其他線段

表示出來，然后設(shè)法建立與BD的聯(lián)系。

答案

BD=2CEo理由如下:圖13-3

延長CE交BA的延長線與鼠在ABEF和ABEC中,

Z1=Z2

BE=BE

ZBEC=ZBEF

所以aBECgZ\BEF(ASA)o

所以CE=EF。所以CF=2CE。

因為NBAC-00。,所以Nl+NF-NF+NFCA。所以NLNFCA。

在ABAD和ACAF中，

Z1=ZACF

AB=AC

ZBAC=ZCAF

所以4BADgZXCAF(ASA)。

所以BD=CF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)。

因為CF=2CE,所以BD=2CE。

方法規(guī)律：全等三角形是研究線段間關(guān)系的重要工具。

3.已知：如圖，AB/7CD,DE=BF,AB=CD.A

求證：AE〃CF.

D/B

解析要證AE〃CF,只需證HiNE=NF,因此只要證得4ABE

^△CFD即可.因為DE=BF,所以DE-BD=BF-BD,即BE=DF./\

方法規(guī)律：由平行線的判定條件知，全等三角形也是論證兩尸0

條直線平行的重要方法.

圖13-6

4.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是BC上一點，EC

±BC,EC=BD,DF=FE,則AF與DE垂直嗎?請說明理由.人屣、

解析若AD=AF,則可證aADF絲ZXAEF,所以可得NAFD=NBDC

AFE=90°.因此應(yīng)設(shè)法證明AD=AE。

圖13-7

答案AF_LDE成立，理由如下：因為AB=AC,ZBAC=90°,所以NB=NACB=45°.因

為EC_LBC,所以NECD=90°.所以NECA=45°.所以NECA=NB。

在4ABD和AAEC中，

AB=AC

<ZB=ZECA

BD=EC

所以△ABDgZ\AEC(SAS).

所以AD=AE.在AADF和AAEF中，

AD=AE

<AF=AF

DF=EF

所以△ADFgZiAEF(SSS).

所以NAFD=NAFE=90°.

所以AF_LDE.

方法規(guī)律：全等三角形也是證明兩條直線垂直的重要方法.

5.在一次戰(zhàn)役中，如圖所示，我軍陣地與敵軍陣地隔河相望，為了炸掉這個碉堡，需要

知道碉堡與我軍陣地的距離.在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一個戰(zhàn)士想出

來這樣一種方法：

他面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，

他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才的姿態(tài)，這時視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步

測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離.

(1)你能解釋其中的道理嗎?

(2)按這個戰(zhàn)士的方法，找出教室或操場與你的距離相等的兩個點，并通過測量加以

驗證.

圖13-8

解析這個戰(zhàn)士其實是應(yīng)用了全等三角形的條件一“ASA”,如圖13-9,△ABC^AA/

B'C',貝ijBC=B'C'.

圖13-9

答案(1)根據(jù)題意畫出示意圖13—9.由題意知，NA=NA',NB=NB'=90°，

AB=A/B'.

所以aABC02XA'B'C'(ASA)

所以BC=B'C’.因此測出B'C的長即為BC的長.

(2)在具體操作時，可用一張紙或一本書代替帽檐，按照戰(zhàn)士的方法，測一下教室或

操場與觀察者的距離，從而進(jìn)一步檢驗戰(zhàn)士做法的合理性.

經(jīng)驗技巧：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型一全等三角形。實際應(yīng)用題是

近幾年中考命題的重點，平時應(yīng)多訓(xùn)練，提高建模能力。

四、鞏固與作業(yè)：復(fù)習(xí)題11相關(guān)

第十二章軸對稱

12.1軸對稱（一）

教學(xué)目標(biāo)：1.在生活實例中認(rèn)識軸對稱圖.

2.分析軸對稱圖形，理解軸對稱的概念.

教學(xué)重點：軸對稱圖形的概念.

教學(xué)難點：能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

我們生活在一個充滿對稱的世界中，許多建筑物都設(shè)計成對稱形，藝術(shù)作品的創(chuàng)作往往

也從對稱角度考慮，自然界的許多動植物也按對稱形生長，中國的方塊字中些也具有對稱

性……對稱給我們帶來多少美的感受！初步掌握對稱的奧秒，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖

形的特征，還可以使我們感受到自然界的美與和諧.

軸對稱是對稱中重要的一種，從這節(jié)課開始，我們來學(xué)習(xí)第十二章：軸對稱.今天我們

來研究第一節(jié)，認(rèn)識什么是軸對稱圖形，什么是對稱軸.

二、導(dǎo)入新課

出示課本的圖片，觀察它們都有些什么共同特征.

這些圖形都是對稱的.這些圖形從中間分開后，左右兩部分能夠完全重合.

小結(jié)：對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，甚至日常

生活用品，人們都可以找到對稱的例子.現(xiàn)在同學(xué)們就從我們生活周BI的事物中來找一些具

有對稱特征的例子.

結(jié)論：如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸

對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對

稱.

了解了軸對稱圖形及其對稱軸的概念后，我們來做一做.

取一張質(zhì)地較硬的紙，將紙對折，并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案，將紙打開后

鋪平，你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎？與同伴進(jìn)行交流.

結(jié)論：位于折痕兩側(cè)的圖案是對稱的，它們可以互相重合.

由此可以得到軸對稱圖形的特征：一個圖形沿一條直線折疊后，折痕兩側(cè)的圖形完全重

合.

接下來我們來探討一個有關(guān)對稱軸的問題.有些軸對稱圖形的對稱軸只有?條，但有的

軸對稱圖形的對稱軸卻不止一條，有的軸對稱圖形的對稱軸甚至有無數(shù)條。

練習(xí)：P30上，練習(xí)

看P30思考，大家想一想，你發(fā)現(xiàn)了什么？

像這樣，把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這

兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.

三、隨堂練習(xí)：課本P30練習(xí)和P31練習(xí)

四、作業(yè)：課本P36習(xí)題12.1第1、2、6、7、8題.

五、課時小結(jié)

這節(jié)課我們主要認(rèn)識了軸對稱圖形，了解了軸對稱圖形及有關(guān)概念，進(jìn)一步探討了軸對

稱的特點，區(qū)分了軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱.

12.1軸對稱（二）

教學(xué)目標(biāo)：1.了解兩個圖形成軸對稱性的性質(zhì)，了解軸對稱圖形的性質(zhì).

2.探究線段垂直平分線的性質(zhì).

3.經(jīng)歷探索軸對稱圖形性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體驗軸對稱的特點，發(fā)展空間觀察.

教學(xué)重點：1.軸對稱的性質(zhì).2.線段垂直平分線的性質(zhì).

教學(xué)難點：體驗軸對稱的特征.

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

上節(jié)課我們共同探討了軸對稱圖形，知道現(xiàn)實生活中由于有軸對稱圖形，而使得世界

非常美麗.那么大家想一想，什么樣的圖形是軸對稱圖形呢？

今天繼續(xù)來研究軸對稱的性質(zhì).

二、新課：觀察、思考.

如圖，^ABC和4A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，點A'、B'、C'分別

是點A、B、C的對稱點，線段AA'、BB，、CCZ與直線MN有什么關(guān)系？

圖中A、A'是對稱點，AA'與MN垂直，BB'和CC'也與MN垂直.

AA，、BB，和CC'與MN除了垂直以外還有什么關(guān)系嗎？

△ABC與AA'B'C'關(guān)于直線MN對稱，點A'、B'、C'分別是點A、

B、C的對稱點，設(shè)AA'交對稱軸MN于點P,將aABC和B'C'沿MN對折后，點A與

A'重合，于是有AP=A'P,ZMPA=ZMPAZ=90°.所以AA'、BB'和CC'與MN除了垂直

以外，MN還經(jīng)過線段AA'、BB'和CC'的中點.

對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段.我們把經(jīng)過線段中

點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

下面我們來探究線段垂直平分線的性質(zhì).

[探究1]

如下圖.木條L與AB釘在一起，L垂直平分AB,P”Pz,P3,…是L上的

點，分別量一量點巴，P2,P3,…到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

1.用平面圖將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，先作出線段AB,過AB中點作AB

的垂直平分線L,在L上取P】、P2、P3…，連結(jié)AP1、AP/、BP】、BP?、CP-

CP2…

2.作好圖后，用直尺量出AhAP2、BR、BP2、CPi>CP2…討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.

探究結(jié)果：

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.即APkBP”APkBPz,…

[探究2]

如右圖.用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個簡易的“弓”，"箭”J1

通過木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢？為什?—7

活動：1.用平面圖形將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.作線段AB,取其中點P,過P作L,在L

上取點R、P2,連結(jié)APi、AP2、BR、BP2.會有以下兩種可能.

2.討論：要使L與AB垂直，APi、AP2、BP-BP2應(yīng)滿足什么條件？

探究過程:

1.如上圖甲，若APHBPi,那么沿L將圖形

折疊后,A與B不可能重合，也就是/APPiWNBPP”

即L與AB不垂直.——為

2.如上圖乙，若AP產(chǎn)BB,那么沿L將圖形折

疊后，A與B恰好重合，就有/AFP產(chǎn)NBPP”即L產(chǎn)B

與AB重合.當(dāng)AP?=BP2時，亦然.

探究結(jié)論：

與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.也就是說在［探究

2］圖中，只要使箭端到弓兩端的端點的距離相等，就能保持射出箭的方向與木棒垂直.

上述兩個探究問題的結(jié)果就給出了線段垂直平分線的性質(zhì)，即：線段垂直平分線上的點

與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與這條線段兩個端點距離相等的點都在它的垂直

平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點距離相等的所有點的集合.

三、隨堂練習(xí)：課本P34練習(xí)1、2.

四、課后作業(yè)：課本P36習(xí)題12.1第3、4、5、9題.

五、課時小結(jié)

這節(jié)課通過探索軸對稱圖形對稱性的過程，了解了線段的垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)，同

學(xué)們應(yīng)靈活運用這些性質(zhì)來解決問題.

12.2.1作軸對稱圖形

教學(xué)目標(biāo)：1.通過實際操作，了解什么叫做軸對稱變換.

2.如何作出一個圖形關(guān)于一條直線的軸對稱圖形.

教學(xué)重點：1.軸對稱變換的定義.2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形.

教學(xué)難點：1.作出簡單平面圖形關(guān)于直線的軸對稱圖形.2.利用軸對稱進(jìn)行一些圖案設(shè)計.

教學(xué)過程

一、設(shè)置情境，引入新課

在前一個章節(jié)，我們學(xué)習(xí)了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)問題.在上節(jié)

課的作業(yè)中，我們有個要求，讓同學(xué)們自己思考一種作軸對稱圖形的方法，現(xiàn)在來看一下同

學(xué)們完成的怎么樣.

將一張紙對折后，用針尖在紙上扎出一個圖案，將紙打開后鋪平，得到的兩個圖案是

關(guān)于折痕成軸對稱的圖形.

準(zhǔn)備一張質(zhì)地較軟，吸水性能好的紙或報紙，在紙的一側(cè)上滴上一滴墨水，將紙迅速對

折，壓平，并且手指壓出清晰的折痕.再將紙打開后鋪平，位于折痕兩側(cè)的墨跡圖案也是

對稱的.這節(jié)課我們就是來作簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形.

二、新課

由我們已經(jīng)學(xué)過的知識知道，連結(jié)任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分.

類似地，我們也可以由一個圖形得到與它成軸對稱的另一個圖形，重復(fù)這個過程，可以得到

美麗的圖案。對稱軸方向和位置發(fā)生變化時，得到的圖形的方向和位置也會發(fā)生變化.

下面，同學(xué)們自己動手在一張紙上畫一個圖形，將這張紙折疊描圖，再打開看看，得

到了什么？改變折痕的位置并重復(fù)幾次，又得到了什么？同學(xué)們互相交流一下.

結(jié)論：由一個平面圖形呆以得到它關(guān)于一條直線L對稱的圖形，這個圖形與原圖形的

形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關(guān)于直線L的對稱點；連

結(jié)任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分.

我們把上面由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換.

成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到.一個

軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換擴(kuò)展而成的.

取一張長30厘米，寬6厘米的紙條，將它每3厘米一段，一正一反像“手風(fēng)琴”那

樣折疊起來，并在折疊好的紙上面上字母E,用小刀把畫出的字母E挖去，拉開“手風(fēng)琴”,

你就可以得到以字母E為圖案的花邊.回答下列問題.

(1)在你所得的花邊中，相鄰兩個圖案有什么關(guān)系？相間的兩人圖案又有什么關(guān)系？

說說你的理由.

(2)如果以相鄰兩個圖案為一組，母一組圖案之間有什么關(guān)系？三個圖案為一組呢？

為什么？

(3)在上面的活動中，如果先將紙條縱向?qū)φ?，再折成“手風(fēng)琴”，然后繼續(xù)上面的

步驟，此時會得到怎樣的花邊？它是軸對稱圖形嗎？先猜一猜，再做一做.

注：為了保證剪開后的紙條保持連結(jié)，畫出的圖案應(yīng)與折疊線稍遠(yuǎn)一些.

三、練習(xí)：P41

四、作業(yè)：P45-46習(xí)題12.2第1、5題

五、課時小結(jié)

本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了如何通過軸對稱變換來作出一個圖形的軸對稱圖形，并且利用

軸對稱變換來設(shè)計一些美麗的圖案.在利用軸對稱變換設(shè)計圖案時，要注意運用對稱軸位置

和方向的變化，使我們設(shè)計出更新疑獨特的美麗圖案.

12.2.2用坐標(biāo)表示軸對稱

教學(xué)目標(biāo)

1、在平面直角坐標(biāo)系中，確定軸對稱變換前后兩個圖形中特殊點的位置關(guān)系，2、2、

再利用軸對稱的性質(zhì)作出成粕對稱的圖形

教學(xué)重點：用坐標(biāo)表示軸對稱

教學(xué)難點：利用轉(zhuǎn)化的思想，確定能代表軸對稱圖形的關(guān)鍵點

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)軸對稱圖形的有關(guān)性質(zhì)

二、新授：

1.學(xué)生探索：

點(x,y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)(x,—y)；點(x,y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)(一x,y)；

點(x,y)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)(一X,-y)

2.例3四邊形ABCD的四個頂點的坐標(biāo)分別為A(—5,1)、B(—2,1)、C(-2,5)、D(-

5,4),分別作出與四邊形ABCD關(guān)于x軸和y軸對稱的圖形.

(1)歸納：與已知點關(guān)于y軸或x軸對稱的點的坐標(biāo)的規(guī)律；

(2)學(xué)生畫圖

(3)對于這類問題，只要先求出已知圖形中的一些特殊點的對應(yīng)點的坐標(biāo)，描出并順次

連接這些特殊點，就可以得到這個圖形的軸對稱圖形.

3、探究問題

分別作出^PQ!?關(guān)于直線x=l(記為m)和直線廠一1(記為n)對稱的圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們的

對應(yīng)點的坐標(biāo)之間分別有什么關(guān)系嗎？

(1)學(xué)生畫圖，由具體的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們的對應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系

(2)若APIQIR[中P](X],yj關(guān)于x=l(記為m)軸對稱的點的坐標(biāo)P2(x2,y2),

若中Pi(X1,y＞關(guān)于y=-l(記為n)軸對稱的點的坐標(biāo)？2(x2,y2),

貝11X|=X2,"+=n.

2

三、練習(xí)：課本P44第1、2、3題

四、作業(yè)：課本P45第2、3、4、6題

教后反思

12.3.1.1等腰三角形（一）

教學(xué)目標(biāo)：1.等腰三角形的概念.2.等腰三角形的性質(zhì).

3.等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)重點：1.等腰三角形的概念及性質(zhì).2.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點：等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識了軸對稱圖形，探究了軸對稱的性質(zhì)，并且能夠作出一個

簡單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對稱圖形，還能夠通過軸對稱變換來設(shè)計一些美麗的圖

案.這節(jié)課我們就是從軸對稱的角度來認(rèn)識一些我們熟悉的幾何圖形.來研究：①三角形是

軸對稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對稱圖形？

有的三角形是軸對稱圖形，有的三角形不是.

問題：那什么樣的三角形是軸對稱圖形？

滿足軸對稱的條件的二角形就是軸對稱圖形，也就是將二角形沿某一條直線對折后兩

部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形.

我們這節(jié)課就來認(rèn)識一種成軸對稱圖形的三角形一等腰三角形.

二、新課：要求學(xué)生通過自己的思考來做一個等腰三角形.

A

B?

I

作一條直線L,在L上取點A,在L外取點B,作出點B關(guān)于直線L的對稱點C,連結(jié)

AB、BC、CA,則可得到一個等腰三角形.

等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做腰，另?

邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.同學(xué)們在自己作出的等腰三

角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角.

思考：

1.等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸.

2.等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？

3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？

4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？

結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形.它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線.因為等腰三

角形的兩腰相等，所以把這兩條腰重合對折三角形便知：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對

稱軸是頂角的平分線所在的直線.

要求學(xué)生把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊，找出它的對稱軸，并看它的兩個底角有什么

關(guān)系.

沿等腰三角形的頂角的平分線對折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這個等腰三

角形的兩個底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高.

由此可以得到等腰三角形的性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線

合一”）.

由上面折疊的過程獲得啟發(fā)，我們可以通過作出等腰二角形的對稱軸，得到兩個全等的

三角形，從而利用三角形的全等來證明這些性質(zhì).同學(xué)們現(xiàn)在就動手天寫出這些證明過程）.

［例1］如圖，在AABC中，AB=AC,點D在AC上，且BD=BC=AD,

求：AABC各角的度數(shù).A

分析：根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，我們可以得到

ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBIK,

再由NBDO/A+NABD,就可得到NABC=NONBDO2/A.BC

再由三角形內(nèi)角和為180°,就可求出△ABC的三個內(nèi)角.

把NA設(shè)為x的話，那么NABC、NC都可以用x來表示,這樣過程就更簡捷.

解：因為AB二AC,BD=BC=AD,

所以NABC=NC=NBDC.

ZA=ZABD（等邊對等角）.

設(shè)NA=x,則ZBDC=ZA+ZABD=2x,

從而ZABC=ZC=ZBDC=2x.

于是在AABC中，有

ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.在aABC中，ZA=35°,ZABC=ZC=72°.

下面我們通過練習(xí)來鞏固這節(jié)課所學(xué)的知識.

三、隨堂練習(xí)：1.課本P51練習(xí)1、2、3.2.閱讀課本P49?P5L然后小結(jié).

四、作業(yè)：課本P56習(xí)題12.3第1、2、3、4題.

五、課時小結(jié)

這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對性質(zhì)作了簡單的應(yīng)用.等腰三角形是軸

對稱圖形，它的兩個底角相等（等邊對等角），等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線，并

且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高.

我們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且能夠靈活應(yīng)用它們