北京市延慶區(qū)高考一模考試數學試題（理）含解析試卷分析

延慶區(qū)2015—2016學年度一模統(tǒng)一考試

高三數學（理科）2016年3月

本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.若集合4={X[0KX<2},B={X|%2>1},則ACI8=（）

A.{x|O<x<1}B.{x|x>0或％<—1}

C.{x|l<x?2}D.{A,|0<X<2）

2.更數2_=（）

1+/

A.14-ZB.1—ZC.-1+iD.-1—Z

3.已知兩條直線。泊和平面a,若alAboa,則是“Z?〃c”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某三楂錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長楂的長為（）

A.6二、

B.6

正（主》視圖供1（左）視圖

C.2S19F1）

D.75

<4底留）

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的，，的值為15,則判斷框應填寫（）

A.2B.3C.4D.5

/=0,a=0

<----fl=2a+l

。個

1|

/輸事〃/

麗（5題圖）

6.已知等比數列｛?,｝的公比4",則下面說法中不氐硬的是（）

A-伍”+2+4｝是等比數列B.對于AeNZA>1,&T+&+|W24

C.對于〃eN?，都有可%+2>0D.若則對于任意〃wN?，都有《川>4

7.如圖是近三年某市生產總值增速（累計，%）的折線統(tǒng)計圖，據該市統(tǒng)計局初步核算，2015

年一季度全市生產總值為1552.38億元，與去年同一時期相比增長12.9%（如圖，折線圖中

其它數據類同）.根據統(tǒng)計圖得出正確判斷是（）

A.近三年該市生產總值為負增長

B.近三年該市生產總值為正增長

C.該市生產總值2013年到2014年

為負增長，2014年到2015年為正增長

1冬及2季巡3季晚4靠度1季度2季度3季晚4季度1季度

D.以上A、B、C的判斷都不正確

2013年2014亞2015年

8.已知偶函數/（幻，奇函數g（x）的圖像分別如圖（1）、圖（2）所示，方程/（g（x））=（）,

g（/*））=0的實根的個數分別為。/，則。+〃=

A.3

B.7

C.10

D.14

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.某校高一學雷鋒志愿小組共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，現在從中任選

3人，要求每班至多選1人，不同的選取方法的種數為.

10.2022年冬奧會高山滑雪項目將在延慶小海坨山舉行。小明想測量一下小海坨山的高度,

他在延慶城區(qū)（海拔約5。0米）一塊平地上仰望小海坨山頂，仰角15度，他向小海坨山方

向直行3400米后，再仰望小海坨山頂，此時仰角30度，問小明測的小海坨山海拔約有

米.

11.如圖，在邊長為。的正六邊形A8CO由中，AECA=.

（11題圖）

12.如圖，半徑為2的0。中，ZAOB=90,。為。8的中點，A。的延長線交

。。于點，則線段OE的長為.

（12題圖）

13.等差數列伍，中，已知。225,外（3,則應能取得最_（大或小）值為—.

14.若動點P在直線4：x-），—2=0上，動點。在直線4：x—y-6=O上，設線段PQ的中

點為M（Xo，）b），且（%-2尸+（）b+2）Y8,則玉/+打？的取值范圍是.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知函數/（x）=^sin2x-cos2x-^

（I）求f。）的最小正周期和單調增區(qū)間;

（II）當xe［一看，著］時，求函數/（幻的最小值和最大值?

16.（本小題滿分13分）

在一次水稻試驗田驗收活動中，將甲、乙

兩種水稻隨機抽取各6株洋品，單株籽粒數制成

如圖所示的莖葉圖：

（I）一粒水稻約為0.1克，每畝水稻約為6萬株，估計甲種水稻畝產約為多少公斤？（II）

分別從甲、乙兩種水稻樣品中任取一株，甲品種中選出的籽粒數記為。，乙品種中選出的籽

粒數記為人，求。之8的概率.

(川)如從甲品種的6株中任選2株，記選到的超過187粒的株數為求J的分布列和數

學期望.

17.(本小題滿分14分)

如圖，已知在四棱錐S—A3CQ中，底面A8CO是邊長為2的菱形，ZABC=60,

側面SA。為正三角形，側面SWJJ氐面ABC。，E為線段AO的中點.

(I)求證：5￡_1_底面八8。'。；

(H)求證：二面角A-S8-C為直二面角；

(III)在側棱防上是否存在一點M,使得8。_L平面MAC?如果存在，求絲?的值;

如果不存在，說明理由.

18.(本小題滿分13分)

x

已知函數f(x)=e9xeR.

(I)求函數/(x)在x=l處的切線方程:

(H)若〃?>0,討論函數g(x)=/(x)-機(XT)?零點的個數.

19.（本小題滿分14分）

已知橢圓G:二+二=1（。＞人＞0）的長軸長為2啦，離心率e二立.

cr從2

（I）求橢圓G的方程：

（H）設過橢圓G的上頂點4的直線/與橢圓G的另一個交點為8,與x軸交于點C,線

段A8的中點為。，線段A8的垂直平分線分別交x軸、y軸于P、。兩點.問：是否存

在直線/使APOC與APOQ的面積相等（。為坐標原點）？若存在，求出所有滿足條件的

直線/的方程：若不存在，說明理由.

20.（本小題滿分13分）

已知數列｛4｝滿足q=q(q=0),對任意"z、〃eN"都有q,”=ant-ap.

從數列｛q｝中取出部分項，并將它們按原來順序組成一個數列，稱之為數列｛q｝的一個

子數列.

（I）求（：

（II）求數列｛%｝的通項公式：

（HI）證明：當夕＞（）且qwl時，數列｛%｝不存在無窮等差子數歹U.

延慶區(qū)2015—2016學年度一模統(tǒng)一考試

高三數學(理科答案)2016年3月

一、選擇題：(5^x8=40')

CAADCDBC

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.3210.2200米11.--a212.—13.大，一114.[8,16]

25

三、解答題：(5&6=30’)

15.(本小題滿分13分)

初/I、、l+cos2x1

解：(I)/(X)=——sin2%-------------???2分

222

省?019.

=——sin2x——cos2x-1

22

=sin(2x---)-1???4分

所以，/(x)的最小正周期為7=—=".1,,5分

2

71TC71

由----F2k兀?2x---4—+2k7t(kGZ),?,6分

262

717t

得——+k7t<X<—+k7T(kGZ)-7分

63

/'(x)的單調增區(qū)間為[一工+^r,2+GZ).…8分

63

/ii、上r兀5"[r?-i-c兀2冗、

(H)當[一二，一]時，2x--el--,—J,…9分

1212o33

JTTT7T

所以，當2x—-二一，即1=一時，/3)取得最大值0；-11分

623

當2不一?二一5,即冗=一自時，/(x)取得最小值一1一/-.......13分

16.(本小題滿分13分)

解：(1)甲種水稻樣本單株平均數為182粒，把樣本平均數看做總體平均數，則甲種水稻

畝產約為0.000Ixl82x60000=1092公斤.2分

6+2x5+2x25

(II)P(a2b)=.....7分

6x69

(III)J的可能取值為0,1,2,

8r2?

。("2)=浸=一

15C；15

.....13分

515153

17.（本小題滿分14分）

（【）證明：因為SA。為正三角形，E為線段AO的中點，所以SE_LAD,

又因為側面S4O_L底面A3CO,側面S4。、底面A3CZ）=A。，SEu平面S4O,所

以，SE_L底面A3CQ......3分

（H）證明：如圖，取0B、。。依次為x軸、y軸建立空間直角坐標系.

則4。-。）、8（"。,。）、C（。』,。）、S（-卓J,a-

證明一：8s=（-乎

,-；,拒),麗=(-4-1,0),8—,1,0),

設平面S8A的法向量為m=（&,）［,zj,平面S3C的法向量為〃=*2，M，Z2），

m_L8S=m-BS=0<=>；y+y/3zt=0,....①

m-LBA<=>m-=0<=>一y=0,...②

取x=l,由①②解得乂=二萬1=1,所以〃Z=H,一百,1)；.....7分

3yj

m上BSom?BS=0o——x2-—y2+\/3z2-0,.......③

m±BC<=>tn-BC=0o-y/3Xy+%=°，...④

取工2=1，由③。解得%="z2=2,

所以〃=（1,百,2）......9分

因為〃??〃=1x1—x6+1x2=0,

所以平面S8A_L平面S8C,

所以，二面角A-SB-C為直二面角.......10分

證明二：取S8的中點為尸，因為48=AS=2,所以4/_L8S,

所以A/_LBC,

又BS,BCu平面SBC,BS‘BC=B,

所以A/_L平面SBC,

又AFu平面584,所以平面SB4_L平面SBC,

所以，二面角A—SB-。為直二面角.......10分

(III)假設存在滿足題設的點M，設M(x,y,z),跑=2,

BS

則=X3S,UPU-V3,y,z)=A(--,

“22

解得M(———A+乖),—%>/§1/),

22

則OM=(—述丸+后,一......12分

22

向量BD的方向量為i=(1,0,0),i-OM=--2+6=0,

2

解得4=2......13分

3

2

當丸=一時，QMJLB。，又5OJLAC,所以8。_1_平面M4c.

3

所以，在棱S4上存在一點M,使得3DJL平面MAC,—=.....14分

BS3

18.(本小題滿分13分)

解：(I)/(x)=e*,/'(l)=e,切點為(l,e),

則切線方程為y-e=u(x-l),即ex-y=0......3分

(II)函數&*)=/1)一機(1一1尸零點的個數即是方程/")一〃心一1)2=0根的

個數，等價于兩個函數〃與函數y=m圖象交點的個數.…4分

U-1)''

gA(3)

/2(x)=V.....5分

X

當X￡(-8,0)時，h(A)>0,/?(x)在(-OO,0)上單調遞增；......6分

當XG(0,2)時，/?(x)<0,,力(幻在(0,3)上單調遞減；7分

當X￡(3,+8)時，/⑶>(),,〃(外在(3,+8)上單調遞增，8分

Ah(x)在(0,+co)上有最小值為力⑶=—9分

4

當〃2W(0,J)時，函數/?(1)=一--與函數y=〃?圖象交點的個數為1；…10分

4(x-1)

當w=?時，函數/?(/)=1幺/3■與函數y=〃?圖象交點的個數為2；.......11分

3X

當團￡(一,+8)時，曲函數h(x)=——與函數y二6圖象交點的個數為3.

4U-1)-

12分

綜上所述，當〃?E(J,+8)時，函數g(X)有三個零點;當m=J時，函數g(x)有兩個

44

零點;當"76(0,J)時函數g")有一個零點.]3

4

19.(本小題滿分14分)

解：（I）,/2a=2V2,—=9:.a=5/2,c=1.

a2

護=a

G:----Fy2=1.

2?

(II)假設滿足題設條件的直線/存在，則宜線/的斜率存在且不等于零.

由(I)知4(0,1),設直線，的方程為y=H+l.5分

令…，解得嘉

7分

y=kx+\

?f消去），，得（2公+1）/+4左、=0,8分

—+y2=1

12'

?3肅????9分

I12k

直線PQ的方程：),一內=一工(》藥)，10分

.』°,一蛙711分

2|%|（1+