新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)十八簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則北師大版選擇性必修第二冊

課時作業(yè)(十八)簡潔復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則[練基礎(chǔ)]1．函數(shù)y＝e－x的導(dǎo)函數(shù)為()A．y＝－exB．y＝－e－xC.y＝exD．y＝e－x2．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))eq\s\up12(2)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)為()A.0B．1C.3D．43．下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)))′＝－sineq\f(π,6)B.(3x)′＝x3x－1C.(log2x)′＝eq\f(log2e,x)D.(sin2x)′＝cos2x4．曲線f(x)＝sin2x在原點處的切線方程是()A.y＝xB．y＝2xC.y＝－xD．y＝－2x5．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x，那么f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A.－2B．2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)6．(多選題)設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則以下求導(dǎo)運算中，正確的有()A.若f(x)＝sin2x，則f′(x)＝cos2xB.若f(x)＝xex－ln2，則f′(x)＝(x＋1)exC.若f′(x)＝2x－1，則f(x)＝x2－xD.若f(x)＝tanx，則f′(x)＝eq\f(1,cos2x)7．曲線f(x)＝e4x－x－2在點(0，f(0))處的切線方程是________．8．若函數(shù)f(x)＝eax＋ln(x＋1)，f′(0)＝4，則a＝________．9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)f(x)＝lnx＋xax；(2)f(x)＝cos2x＋xeq\s\up6(\f(1,2)).10．已知曲線y＝e2x·cos3x在點(0，1)處的切線與直線l的距離為eq\r(5)，求直線l的方程．[提實力]11．日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知1t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100).那么凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時改變率是()A.－40元/tB．－10元/tC.10元/tD．40元/t12．(多選題)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”．下列函數(shù)中，有“巧值點”的是()A.f(x)＝x2B．f(x)＝e－xC.f(x)＝lnxD．f(x)＝eq\f(1,x)13．函數(shù)f(x)＝eq\r(2x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝______，其圖象在點(1，eq\r(2))處的切線方程為________________________．14．已知a，b為正實數(shù)，直線y＝x－a與曲線y＝ln(x＋b)相切于點(x0，y0)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是________．15．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).(1)若b＝c，求曲線y＝f(x)在點(b，f(b))處的切線方程；(2)求eq\f(1,f′（a）)＋eq\f(1,f′（b）)＋eq\f(1,f′（c）)的值．[培優(yōu)生]16．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－1))eq\s\up12(n)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋an；(2)我們知道二項式(1＋x)n的綻開式(1＋x)n＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))x＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))x2＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))xn，若等式兩邊對x求導(dǎo)得n(1＋x)n－1＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋2Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))x＋3Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))x2＋…＋nCeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))xn－1，令x＝1得Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋2Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋3Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))＋…＋nCeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝n·2n－1.利用此方法解答下列問題：①求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan；②求12a1＋22a2＋32a3＋…＋n2an.課時作業(yè)(十八)簡潔復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1．解析：y′＝(e－x)′＝e－x·(－x)′＝e－x×(－1)＝－e－x.故選B.答案：B2．解析：因為y′＝4(2x＋1)，所以函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))eq\s\up12(2)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)為4×1＝4.故選D.答案：D3．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)))′＝0，A選項錯誤；(3x)′＝3xln3，B選項錯誤；(log2x)′＝eq\f(1,xln2)＝eq\f(log2e,x)，C選項正確；(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，D選項錯誤．故選C.答案：C4．解析：∵f(x)＝sin2x，則f′(x)＝2cos2x，∴f′(0)＝2，因此，曲線f(x)＝sin2x在原點處的切線方程是y＝2x.故選B.答案：B5．解析：由題意知，f′(x)＝2cos2x－2sin2x，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2cosπ－2sinπ＝－2.故選A.答案：A6．解析：因為f(x)＝sin2x，所以f′(x)＝(sin2x)′(2x)′＝2cos2x，A錯誤；因為f(x)＝xex－ln2，所以f′(x)＝x′ex＋x(ex)′－0＝(x＋1)ex，B正確；若f′(x)＝2x－1，則f(x)＝x2－x＋c(c為隨意常數(shù))，C錯誤；因為f(x)＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)，所以f′(x)＝eq\f(（sinx）′cosx－sinx（cosx）′,cos2x)＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x)，D正確，故選BD.答案：BD7．解析：因為f(x)＝e4x－x－2，故f′(x)＝4e4x－1，故f′(0)＝4e0－1＝3，又因為f(0)＝e0－0－2＝－1，故f(x)＝e4x－x－2在點(0，f(0))處的切線方程為y－(－1)＝3(x－0)，即為y＝3x－1.答案：y＝3x－18．解析：由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，得f′(x)＝aeax＋eq\f(1,x＋1)，∵f′(0)＝4，∴f′(0)＝a＋1＝4，∴a＝3.答案：39．解析：(1)因為f(x)＝lnx＋xax，所以f′(x)＝(lnx)′＋x′ax＋x(ax)′＝eq\f(1,x)＋ax＋xaxlna.(2)因為f(x)＝cos2x＋xeq\s\up6(\f(1,2))，所以f′(x)＝－2sin2x＋eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).10．解析：∵y′＝(e2x·cos3x)′＝2e2x·cos3x＋(－3sin3x)e2x＝e2x(2cos3x－3sin3x)∴y′|x＝0＝e0·(2cos0－3sin0)＝2，∴曲線在點(0，1)處的切線方程為：y＝2x＋1，設(shè)直線l：y＝2x＋t，由d＝eq\f(|t－1|,\r(1＋4))＝eq\r(5)解得t＝6或t＝－4.所以直線l的方程為y＝2x＋6或y＝2x－4.11．解析：凈化費用的瞬時改變率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因為c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100).所以c′(x)＝(eq\f(4000,100－x))′＝eq\f(4000,（100－x）2)，又因為c′(90)＝eq\f(4000,（100－90）2)＝40，所以凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時改變率是40元/t，故選D.答案：D12．解析：若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，則x2＝2x，這個方程明顯有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，則f′(x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,e)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程無解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x)，由lnx＝eq\f(1,x)，令y＝lnx，y＝eq\f(1,x)(x>0)，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由兩函數(shù)圖象有一個交點可知該方程存在實數(shù)解，故C符合要求；若f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(x)＝－eq\f(1,x2)，由eq\f(1,x)＝－eq\f(1,x2)，可得x＝－1，故D符合要求．故選ACD.答案：ACD13．解析：f(x)＝eq\r(2x)，則f′(x)＝eq\f(1,2)·eq\f(1,\r(2x))·2＝eq\f(1,\r(2x))＝eq\f(\r(2),2)x－eq\f(1,2)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(1，eq\r(2))處的斜率為k＝eq\f(\r(2),2)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(1，eq\r(2))處切線方程為x－eq\r(2)y＋1＝0.答案：eq\f(\r(2),2)x－eq\f(1,2)x－eq\r(2)y＋1＝014．解析：對y＝ln(x＋b)求導(dǎo)得y′＝eq\f(1,x＋b)，因為直線y＝x－a與曲線y＝ln(x＋b)相切于點(x0，y0)，所以eq\f(1,x0＋b)＝1即x0＝1－b，所以y0＝ln(x0＋b)＝ln(1－b＋b)＝0，所以切點為(1－b，0)，由切點(1－b，0)在切線y＝x－a上可得1－b－a＝0即b＋a＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a＝eq\f(1,2)時，等號成立．所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是4.答案：415．解析：(1)若b＝c，則f(x)＝(x－a)(x－b)2，所以f′(x)＝(x－b)2＋(x－a)·2(x－b)，則f′(b)＝(b－b)2＋(b－a)·2(b－b)＝0，即曲線y＝f(x)在點(b，f(b))處的切線斜率為0，又因為f(b)＝(b－a)(b－b)2＝0，所以所求切線方程為：y＝0；(2)由f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)得f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－b）（x－c）))′＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)(x－b)，所以f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)，因此eq\f(1,f′（a）)＋eq\f(1,f′（b）)＋eq\f(1,f′（c）)＝eq\f(1,（a－b）（a－c）)＋eq\f(1,（b－a）（b－c）)＋eq\f(1,（c－a）（c－b）)＝eq\f(1,a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－c)－\f(1,b－c)))＋eq\f(1,（c－a）（c－b）)＝eq\f(1,a－b)·eq\f(b－a,（a－c）（b－c）)＋eq\f(1,（a－c）（b－c）)＝－eq\f(1,（a－c）（b－c）)＋eq\f(1,（a－c）（b－c）)＝0.16．解析：(1)對于(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，取x＝1得a0＋a1＋a2