新教材2025版高中數(shù)學第二章平面向量及其應(yīng)用4平面向量基本定理及坐標表示4.2平面向量及運算的坐標表示學案北師大版必修第二冊

4．2平面對量及運算的坐標表示[教材要點]要點一平面對量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為標準正交基．對于坐標平面內(nèi)的隨意向量a，以坐標原點O為起點作eq\o(OP,\s\up14(→))＝a(通常稱eq\o(OP,\s\up14(→))為________向量)．由平面對量基本定理可知，有且僅有一對實數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up14(→))＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把________稱為向量a在標準正交基{i，j}下的坐標，記作a＝________.eq\x(狀元隨筆)1.對平面對量坐標的幾點相識(1)設(shè)eq\o(OA,\s\up14(→))＝xeq\o(i,\s\up14(→))＋yeq\o(j,\s\up14(→))(O為坐標原點)，則向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(x，y)就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標就是向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(x，y)．因此，在直角坐標系內(nèi)，每一個平面對量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數(shù)對是一一對應(yīng)的．(2)兩向量相等的等價條件是它們對應(yīng)的坐標相等．(3)要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開來，相等的向量的坐標是相同的，但起點和終點的坐標卻可以不同．2．符號(x，y)的意義符號(x，y)在直角坐標系中有兩重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(x，y)或向量(x，y)．要點二平面對量運算的坐標表示文字敘述符號表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________________減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝________________數(shù)乘向量實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝________向量的坐標一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up14(→))＝(x2－x1，y2－y1)eq\x(狀元隨筆)(1)向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的詳細位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系，即兩向量的坐標相同時，兩個向量相等，但它們的起點和終點的坐標卻不肯定相同．例如，若A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，則eq\o(AB,\s\up14(→))＝(3,3)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(3,3)，明顯eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→))，但A，B，C，D各點的坐標都不相同．(2)運算時，留意向量的起點與終點的依次不要顛倒．要點三中點坐標公式設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝,y＝.))要點四平面對量平行的坐標表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)向量a，b(b≠0)共線的充要條件是____________．eq\x(狀元隨筆)已知eq\o(a,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up14(→))＝(x2，y2)，(1)當eq\o(b,\s\up14(→))≠0時，eq\o(a,\s\up14(→))＝λeq\o(b,\s\up14(→)).這是幾何運算，體現(xiàn)了向量eq\o(a,\s\up14(→))與eq\o(b,\s\up14(→))的長度及方向之間的關(guān)系．(2)x1y2－x2y1＝0.這是代數(shù)運算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不須要引入?yún)?shù)“λ”，從而削減未知數(shù)個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點、程序化的特征．(3)當x2y2≠0時，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即兩向量的對應(yīng)坐標成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤．[基礎(chǔ)自測]1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標肯定不同．()(2)向量的坐標就是向量終點的坐標．()(3)在平面直角坐標系中，兩個相等向量的坐標相同．()(4)兩向量差的坐標與兩向量的依次無關(guān)．()(5)點的坐標與向量的坐標相同．()(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，則x1y2＝x2y1.()2．已知M(2,3)，N(3,1)，則eq\o(NM,\s\up14(→))的坐標是()A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(1，－2)3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，則m＝()A．－9B．9C．3D．－34．已知A(1,2)，B(4,5)．若eq\o(AP,\s\up14(→))＝2eq\o(PB,\s\up14(→))，則點P的坐標為________.題型一平面對量的坐標表示——師生共研例1(1)設(shè)i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，求a＋b與a－b的坐標．(2)如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B，D的坐標和eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))的坐標．方法歸納在向量的坐標表示中，肯定要分清表示向量的有向線段的起點與終點的坐標，同時留意區(qū)分點的坐標與向量的坐標寫法的不同．跟蹤訓練1(1)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量，且a＝4e1－3e2，則向量a的坐標為()A．(4e1,3e2)B．(4e1，－3e2)C．(4,3)D．(4，－3)(2)已知O是坐標原點，點A在其次象限，|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝6，∠xOA＝150°，向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標為________．題型二平面對量的坐標運算——自主完成已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝b，eq\o(CA,\s\up14(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up14(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up14(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求滿意a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求點M，N的坐標及向量eq\o(MN,\s\up14(→))的坐標．

方法歸納1．向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算，另外，解題過程中要留意方程思想的運用．2．利用向量的坐標運算解題，主要依據(jù)相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解．題型三平面對量共線的坐標表示——微點探究微點1向量共線的判定與證明例2已知A，B，C三點的坐標分別為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(BF,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up14(→))，求證：eq\o(EF,\s\up14(→))∥eq\o(AB,\s\up14(→)).方法歸納向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))干脆推斷a與b是否平行．微點2利用向量共線的坐標表示求參數(shù)例3已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)．若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2方法歸納依據(jù)向量共線的條件求參數(shù)問題的兩種思路(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0求解．微點3三點共線問題例4已知向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝i－2j，eq\o(BC,\s\up14(→))＝2i＋μj，其中i，j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)μ的值，使A，B，C三點共線．方法歸納利用向量解決三點共線問題的一般思路：(1)利用三點構(gòu)造出兩個向量，求出唯一確定的實數(shù)λ；(2)利用向量運算的坐標表示得出兩向量共線，再結(jié)合兩向量過同一點，可得兩向量所在的直線必重合，即三點共線．跟蹤訓練2(1)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，推斷eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))是否共線，假如共線，它們的方向相同還是相反？(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)∥c，則λ＝()A．3B．－3C.eq\f(1,7)D．－eq\f(1,7)(3)已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三點共線，則點C的坐標可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)易錯辨析誤把向量的坐標當作點的坐標運算致誤例5已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋λeq\o(AC,\s\up14(→))(λ∈R)，試求當點P在第三象限時λ的取值范圍．解析：由已知得eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋λeq\o(AC,\s\up14(→))＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，設(shè)點P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up14(→))＝(x－2，y－3)．于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ.))又點P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ<0，,y＝4＋7λ<0，))解得λ<－1.故λ的取值范圍為(－∞，－1)．易錯警示易錯緣由糾錯心得誤把向量eq\o(AP,\s\up14(→))的坐標當作點P的坐標運算致錯，得到錯誤答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,5))).向量的坐標反映的是向量的長度和向量的方向，與終點坐標無關(guān)，只有當向量的起點是坐標原點時，向量的坐標與終點的坐標才是一樣的.4．2平面對量及運算的坐標表示新知初探·課前預習[教材要點]要點一位置(x，y)(x，y)要點二(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)要點三eq\f(x1＋x2,2)eq\f(y1＋y2,2)要點四x1y2－x2y1＝0[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√2．解析：eq\o(NM,\s\up13(→))＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．答案：B3．解析：因為a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若a∥b，則－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.答案：B4．解析：設(shè)P(x，y)，所以eq\o(AP,\s\up13(→))＝(x－1，y－2)，eq\o(PB,\s\up13(→))＝(4－x,5－y)，又eq\o(AP,\s\up13(→))＝2eq\o(PB,\s\up13(→))，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝24－x，,y－2＝25－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))答案：(3,4)題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)∵a＝3i＋4j，b＝－i＋j，∴a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j，a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j.又∵i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴a＋b與a－b的坐標分別是(2,5)與(4,3)．(2)由題意知，點B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函數(shù)的定義，得x1＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq\f(1,2)，x2＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y2＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).∴eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).跟蹤訓練1解析：(1)∵e1，e2是相互垂直的單位向量，且a＝4e1－3e2，∴a＝(4，－3)．(2)設(shè)點A(x，y)則x＝|eq\o(OA,\s\up13(→))|cos150°＝6cos150°＝－3eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up13(→))|sin150°＝6sin150°＝3即A(－3eq\r(3)，3)，∴eq\o(OA,\s\up13(→))＝(－3eq\r(3)，3)．答案：(1)D(2)(－3eq\r(3)，3)題型二解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝－1.))∴實數(shù)m的值為－1，n的值為－1.(3)設(shè)O為坐標原點．∵eq\o(CM,\s\up13(→))＝eq\o(OM,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up13(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\o(ON,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up13(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up13(→))＝(9，－18)．題型三例2解析：設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．由題意知eq\o(AC,\s\up13(→))＝(2,2)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝(－2,3)，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(4，－1)，∴eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，eq\o(BF,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴(x1，y1)－(－1,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，(x2，y2)－(3，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).∴(x1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，(x2，y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).∴eq\o(EF,\s\up13(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).∵4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－(－1)×eq\f(8,3)＝0，∴eq\o(EF,\s\up13(→))∥eq\o(AB,\s\up13(→)).例3解析：方法一：由題意得a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．∵(a＋2b)∥(2a－2b)，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2).方法二：假設(shè)a，b不共線，則由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝2μ，,2＝－2μ，))方程組明顯無解，∴a＋2b與2a－2b不共線，這與(a＋2b)∥(2a－2b)沖突，∴假設(shè)不成立，∴a，b共線，∴eq\f(1,λ)＝2，解得λ＝eq\f(1,2).答案：A例4解析：方法一：∵A，B，C三點共線，即eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(BC,\s\up13(→))共線，∴存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BC,\s\up13(→))，即i－2j＝λ(2i＋μj)．可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝1，,μλ＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－4.))故當μ＝