數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義下冊（適合藝術(shù)生、基礎(chǔ)生一輪復(fù)習(xí)）第26講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示坐標(biāo)運(yùn)算含答案及解析

第26講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使.其中，不共線的向量，叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(2)向量的坐標(biāo)求法已知，，則

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，，其中，則【題型一：用基底表示向量】1．（全國高三專題練習(xí)）如圖所示，矩形的對角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C．1 D．2．（三亞華僑學(xué)校高三月考）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．3．（汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)學(xué)校）已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿足，則可表示為（）A． B．C． D．4．（巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)高一月考）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．5．（福建廈門一中高二開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形中，，，，則（）（用，表示）A． B． C． D．6．（廣東普寧·高一期中）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，若，，則等于（）A． B．C． D．7．（陜西富平·高一期末）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)．若，，則（）A． B． C． D．8．（福建省福州第八中學(xué)高一期中）在中，點(diǎn)為對角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連結(jié)并延長交于，則（）A． B．C． D．9．（江西省萬載中學(xué)高一期末（理））如圖，已知，用，表示，則等于（）A． B．C． D．10．（正陽縣高級中學(xué)高三模擬預(yù)測（理））在中，點(diǎn)是線段上靠近的五等分點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．【題型二：用坐標(biāo)表示向量】1．（渾源縣第七中學(xué)校高一月考（文））已知A(3，1)，B(2，－1)，則的坐標(biāo)是（）A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)2．（重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高一期中）設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．（江蘇海陵·泰州中學(xué)高一期中）已知兩點(diǎn)，，則與向量同向的單位向量是（）A． B． C． D．4．（北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校高一期中）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，向量，向量，那么中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．（博野縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）設(shè)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．6．（浙江）已知，，則與向量共線的單位向量為（）A．或 B．或C．或 D．或7．（云南昆明八中高一期中）已知四邊形是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（）.A． B． C． D．【題型三：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示】1．（全國高一單元測試）如果點(diǎn)按向量平移后得到點(diǎn)，則點(diǎn)按向量平移后得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．（全國高一單元測試）設(shè)，向量，.若，則m，n的值分別是（）A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，23．（全國高一單元測試）在中，，的中點(diǎn)為，的重心，則B，C的坐標(biāo)分別為（）A．， B．， C．， D．，4．（湖南高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，，若，則（）A．-2 B． C． D．25．（全國高三專題練習(xí)）已知向量，則（）A． B．2C． D．506．（山東棗莊·高一期中）已知向量，，．若λ為實(shí)數(shù)，()∥，則λ＝（）.A． B． C．1 D．27．（四川巴中·高一期末（理））若三點(diǎn)、、共線，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．8．（滄源佤族自治縣民族中學(xué)高二期末）向量，，，若與共線，則（）A．-3 B．-2 C．-1 D．19．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知向量，若與共線，則實(shí)數(shù)（）A．0 B．1 C． D．210．（全國高三專題練習(xí)（文））已知向量，向量，若，則（）A． B．5 C． D．

第26講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使.其中，不共線的向量，叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(2)向量的坐標(biāo)求法已知，，則

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，，其中，則題型一：用基底表示向量1．（全國高三專題練習(xí)）如圖所示，矩形的對角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選：A．2．（三亞華僑學(xué)校高三月考）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連結(jié)，則為的中位線，，故選：A3．（汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)學(xué)校）已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿足，則可表示為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由，可得，整理可得，所以，故選：A4．（巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)高一月考）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)闉樗谄矫鎯?nèi)一點(diǎn)，，所以.故選：A．5．（福建廈門一中高二開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形中，，，，則（）（用，表示）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，在平行四邊形中，，，，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，可得.故選：D.6．（廣東普寧·高一期中）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，若，，則等于（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵，∴.故選：D.7．（陜西富平·高一期末）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)．若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A8．（福建省福州第八中學(xué)高一期中）在中，點(diǎn)為對角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連結(jié)并延長交于，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)為對角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以∥，所以，所以，所以?故選：B9．（江西省萬載中學(xué)高一期末（理））如圖，已知，用，表示，則等于（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，故選：A.10．（正陽縣高級中學(xué)高三模擬預(yù)測（理））在中，點(diǎn)是線段上靠近的五等分點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，故選：A．題型二：用坐標(biāo)表示向量1．（渾源縣第七中學(xué)校高一月考（文））已知A(3，1)，B(2，－1)，則的坐標(biāo)是（）A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)【答案】C【詳解】因?yàn)锳(3，1)，B(2，－1)，所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．故選：C2．（重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高一期中）設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由已知條件可得，，因此，.故選：B.3．（江蘇海陵·泰州中學(xué)高一期中）已知兩點(diǎn)，，則與向量同向的單位向量是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，所以與同向的單位向量為.故選：A4．（北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校高一期中）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，向量，向量，那么中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．5．（博野縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）設(shè)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：D.6．（浙江）已知，，則與向量共線的單位向量為（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以向量，所以與向量共線的單位向量為或.故選：B7．（云南昆明八中高一期中）已知四邊形是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（）.A． B． C． D．【答案】C【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，.設(shè)，則，，，，所以.所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值.故選：C題型三：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．（全國高一單元測試）如果點(diǎn)按向量平移后得到點(diǎn)，則點(diǎn)按向量平移后得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)N的坐標(biāo)為．故選：C．2．（全國高一單元測試）設(shè)，向量，.若，則m，n的值分別是（）A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，2【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，解得．故選：A．3．（全國高一單元測試）在中，，的中點(diǎn)為，的重心，則B，C的坐標(biāo)分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】設(shè)，所以，解得，，解得，所以B，C的坐標(biāo)分別為，．故選：B．4．（湖南高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，，若，則（）A．-2 B． C． D．2【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，，所以，所以所以．故選：C5．（全國高三專題練習(xí)）已知向量，則（）A． B．2C． D．50【答案】A【詳解】由已知，，所以，故選：A.6．（山東棗莊·高一期中）已知向量，，．若λ為實(shí)數(shù)，()∥，則λ＝（）.A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，因?yàn)?)∥，，所以，解得，故選：B7．（四川巴中·高一期末（理））若三點(diǎn)、、共線，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，由題意可得，則，解得.故選：A.8．（滄源佤族自治縣民族中學(xué)高二期末）向量，，，若與共線