甘肅省武威市六中2025屆高三第三次測評數(shù)學試卷含解析

甘肅省武威市六中2025屆高三第三次測評數(shù)學試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合的所有三個元素的子集記為．記為集合中的最大元素，則（）A． B． C． D．2．為了進一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種3．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．4．函數(shù)（）的圖像可以是（）A． B．C． D．5．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導線相連(弧的兩端各一個，導線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米6．已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．7．已知x，y滿足不等式，且目標函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]8．的展開式中的系數(shù)為()A．－30 B．－40 C．40 D．509．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．812．已知復數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)a=（）A．-1 B．1 C．0 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知滿足且目標函數(shù)的最大值為7，最小值為1，則___________．14．現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．15．設(shè)變量，，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值是______.16．設(shè)，滿足條件，則的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.18．（12分）某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險，現(xiàn)從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時的最小值；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元，如果參保，保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲，若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元；若沒有購買該項保險，針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項保險是否劃算？19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若恒成立，求整數(shù)的最大值；（2）求證：.20．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點，滿足，為的中點，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點（端點除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.22．（10分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！保?Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù)，即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素為的集合有個；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；所以．故選：．【點睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題，其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理，分類討論，分別求解.2、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數(shù)原理，共有種方案。故選：C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.3、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應選答案B．4、B【解析】

根據(jù)，可排除，然后采用導數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，所以當時，，又，令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標進行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調(diào)性；（5）值域，屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導線長度約為63(厘米).故選：B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.6、C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.7、B【解析】

作出可行域，對t進行分類討論分析目標函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時，可行域即為如圖中的△OAM，此時目標函數(shù)z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時可知目標函數(shù)Z＝9x+6y在的交點（）處取得最大值，此時Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【點睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.8、C【解析】

先寫出的通項公式，再根據(jù)的產(chǎn)生過程，即可求得.【詳解】對二項式，其通項公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令，可得的系數(shù)為；令，可得的系數(shù)為；故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．10、C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數(shù)．【詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.【點睛】本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認識，本題中集合都是曲線上的點集．11、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．12、B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù)，故a-1=0故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)復數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可．【詳解】由題意得：目標函數(shù)在點B取得最大值為7，在點A處取得最小值為1，∴，，∴直線AB的方程是：，∴則，故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由題意容積，求導研究單調(diào)性，分析即得解.【詳解】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點也是最大值點，此時.故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)在實際問題中的應用，考查了學生數(shù)學建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.15、7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設(shè)z=F(x,y)=2x+3y，將直線l:z=2x+3y進行平移，當l經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z達到最小值∴z最小值=F(2,1)=716、【解析】

作出可行域，由得，平移直線，數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得，則是直線在軸上的截距.平移直線，當直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點時，最小，此時最大.解方程組，得，..故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）的遞減區(qū)間為和【解析】

（1）化簡函數(shù)，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合即可求出.【詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數(shù)的所有減區(qū)間為，考慮到，取，可得，，故的遞減區(qū)間為和.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.18、（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據(jù)的值求出保費的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果，最后取近似值即可；（2）分別計算參保與不參保時的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本，則，即解得∴.（2）①若該老人購買了此項保險，則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險，則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學生利用相關(guān)統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì)，知道數(shù)學期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學語言，為容易題.19、（1）整數(shù)的最大值為；（2）見解析.【解析】

（1）將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并確定其最值，從而得到正整數(shù)的最大值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】（1）由得，令，，令，對恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，故存在使得，即，從而當時，有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，，，因此，整數(shù)的最大值為；（2）由（1）知恒成立，，令則，，，，，上述等式全部相加得，所以，，因此，【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應用，以及放縮法證明不等式的技巧，屬于難題．20、（1）證明見解析；（2）存在點是線段的中點，使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】

（1）在直角梯形中，根據(jù)，，得為等邊三角形，再由余弦定理求得，滿足，得到，再根據(jù)平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.（2）建立空間直角坐標系：假設(shè)在上存在一點使直線與平面所成角的正弦值為，且，，求得平面的一個法向量，再利用線面角公式求解.【詳解】（1）證明：在直角梯形中，，，因此為等邊三角形，從而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折疊后與位置關(guān)系不變，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵為等邊三角形，為的中點，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中點，連結(jié)，則，從而，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，則，假設(shè)在上存在一點使直線與平面所成角的正弦值為，且，，∵，∴，故，∴，又，該平面的法向量為，，令得，∴，解得或（舍），綜上可知，存在點是線段的中點，使得直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向量法研究線面角問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推導出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點為G,推導出EC//FG,取BC的中點為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標原點，以過點O且與